數(shù)形結合思想在初中數(shù)學解題中的應用

梁濃慶

摘 要：數(shù)形結合是解決數(shù)學問題的重要數(shù)學思想。為了讓學生學會用數(shù)學的思維思考，文章主要從“以形輔數(shù)，以數(shù)解形，數(shù)形互變”三個方面來闡述數(shù)形結合思想方法在初中數(shù)學討論含絕對值的式子的最值、平面直角坐標系及數(shù)與式的應用。

關鍵詞：數(shù)形結合思想；數(shù)學思想方法；數(shù)學核心素養(yǎng)

“數(shù)缺形欠直觀，形缺數(shù)難入微”，數(shù)形結合是解決數(shù)學問題最重要的數(shù)學思想方法之一。所謂數(shù)形結合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法。數(shù)形結合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形，數(shù)形互變”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質，是數(shù)學的規(guī)律性與靈活性的有機結合。下面筆者就談談數(shù)形結合思想在初中數(shù)學解題中的應用。

一、以形輔數(shù)，凸顯“圖解法”

一般來說，代數(shù)問題不依賴于幾何都是可以解決的，然而由于代數(shù)關系比較抽象，因此，若能結合問題將代數(shù)關系賦予幾何意義，那么往往就能借助直觀形象對問題做出透徹分析，從而探求出解決問題的途徑。許多應用性問題的分析，如果有圖形輔助便可使隱含問題直觀化，如含絕對值式子的最值問題，函數(shù)應用題等更需要圖解幫助，從而達到優(yōu)化解題的效果。

例1：求[x-7+x-8+x-9]的最小值。

在七年級上冊學習絕對值這部分內容中，常常出現(xiàn)以上求含絕對值式子的最值問題，討論含絕對值式子的最值一般有兩種方法，一是根據(jù)絕對值的代數(shù)意義，用零點分段法討論；二是根據(jù)絕對值的幾何意義，用數(shù)形結合法分析。

解法一：利用絕對值的代數(shù)意義，用零點分段法討論：

設[y=x-7+x-8+x-9]

①當x≤7時

y＝7－x＋8－x＋9－x

＝-3x＋24

∵-3＜0

∴y隨x的增大而減小

∴此時，當x＝7時，y有最小值，最小值為3。

②當7＜x≤8時

y＝x－7＋8－x＋9－x

＝-x＋10

∵-1＜0

∴y隨x的增大而減小

∴此時，當x＝8時，y有最小值，最小值為2。

③當8≤x＜9時

y＝x－7＋x－8＋9－x

＝x－6

∵1＞0

∴y隨x的增大而增大

∴此時，當x＝8時，y有最小值，最小值為2。

④當x≥9時

y＝x－7＋x－8＋x－9

＝3x－24

∵3＞0

∴y隨x的增大而增大

∴此時，當x＝9時，y有最小值，最小值為3。

綜上所述，當x＝8時，y有最小值，最小值為2。

解法二：根據(jù)絕對值的幾何意義，用數(shù)形結合分析法：

[x-7+x-8+x-9]表示數(shù)軸上表示x的數(shù)所在的點到7和8及9的距離和，又因為兩點之間線段最短，所以表示x的點在數(shù)軸上表示8的位置。如圖：

即當x＝8時，[x-7+x-8+x-9]的最小值為2。以上的解法一中，應用絕對值的代數(shù)意義，將問題轉化為一次函數(shù)的單調性來解決，這對于初一的學生來說有相當?shù)碾y度，但解法二中，利用絕對值的幾何意義的同時，再通過數(shù)形結合的思想，將問題轉化為我們的數(shù)學公理：兩點之間線段最短。顯然，解法二的求解來得簡單、直觀，學生更容易理解和接受。

本題解題借助圖形，通過“以形助數(shù)”方法，將形象思維與抽象思維相結合，借助于“形”的幾何直觀性來闡明“數(shù)”的大小關系，思維碰撞，更好地幫助學生理解題意，讓學生看圖便知道了答案。

用一種直觀而有效的策略、簡化易懂的方法，找到了問題的結論，學生耳目一新，激發(fā)了興趣，幫助學生分析數(shù)量關系。體驗“數(shù)形結合”在解決問題中的使用價值，讓學生清晰而明確認識“數(shù)形結合”的妙處，感知數(shù)學思想之妙用。

二、以數(shù)解形，精化解題方法

在平面直角坐標系這一部分，經常會遇到一些探索規(guī)律題，在教學中圖形規(guī)律題的探索也是常見一種形式，遇到這一類問題，我們必須學會分析圖形位置序號與圖形本身的一種聯(lián)系，將幾何圖形變化情況進行數(shù)字化、代數(shù)化，這就是“以數(shù)解形”。

例2：如圖，在平面直角坐標系中，一顆棋子從點P（0，-2）處開始依次關于點A（-1，-1），B（1，2），C（2，1）對稱作循環(huán)對稱跳動，即第一次跳到點P關于點A的對稱點M處，接著跳到點M關于點B的對稱點N處，第三次再跳到點N關于點C的對稱點處……如此下去，則經過第2022次跳動后，棋子落點的坐標為______。

本題是一道探究規(guī)律的題目，確定出點P跳動前三次的軌跡是解答本題的關鍵。根據(jù)對稱的性質，利用中點坐標的計算方法，先求出點M和點N的坐標，進而得到棋子跳動3次后又回到了點P，從而得到點P的跳動每3次一個循環(huán)，用2022除以3，結合余數(shù)即可找出第2022次跳動后的位置為（0，-2）。

近年的中考壓軸填空題大多是探索幾何圖形（或幾何圖案）的數(shù)量關系，教師指導學生用代數(shù)式表示幾何圖形（或幾何圖案）的數(shù)量關系，教師若注重了數(shù)形結合思想方法的滲透，會使學生很快領悟幾何圖形（或幾何圖案）的規(guī)律，從而找出其中的數(shù)量關系。

圖形規(guī)律探索題，重在考查學生的觀察、分析、歸納的能力，要使學生具備這些能力，需要教師在平常教學中多引導，懂得將圖形變化情況數(shù)字化，找到數(shù)字與序號間一種隱性關系，從而將一個在不斷變化中的幾何圖形代數(shù)化，達到精化解題目的。

三、數(shù)形互變，優(yōu)化解題方法

就是根據(jù)“數(shù)”與“形”既對立又統(tǒng)一的特性，觀察圖形的形狀，分析數(shù)與式的結構，引起聯(lián)想，適時將它們相互轉換，化抽象為直觀并揭示隱含的數(shù)量關系。

數(shù)形結合的基本思想方法，就是在研究問題的過程中，注意把數(shù)和形結合起來考察，斟酌問題的具體情形，把圖形的性質問題轉化為數(shù)量關系的問題，或者把數(shù)量關系的問題轉化為圖形性質的問題，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲得簡便易行的成功方案。

例3：試求[12+14+18+…+1210]的值。

分析：如果直接求出[12+14+18+…+1210]的值，對于初中學生來說還是非常難的。為了解決上面的問題，我們可以用數(shù)形結合的思想方法，通過不斷分割一個面積為1的正方形，把數(shù)量關系同幾何圖形結合起來，最終解決問題。

如圖所示，用剪刀去剪這個正方形紙片，第一次剪去正方形紙片的一半，正方形剩余面積是[12]，第二次剪去剩余圖形的一半，得到的圖形面積是[14]，第三次剪去第二次剪剩的圖形的一半，得到的圖形面積是[18]，即每次剪去前一次剩余圖形面積的一半……那么當?shù)?0次剪后得到的圖形面積是（[12]）10，把每次剪下來的圖形面積相加，即得到[12+14+18+…+1210=1-1210]。

總而言之，“數(shù)無形不直觀，形無數(shù)難入微?！边\用數(shù)形結合的思想解決數(shù)學問題。通過數(shù)與形緊密結合，學生的思維完成從“形象”到“抽象”的歸納，從“抽象”到“形象”的反映。

數(shù)形結合既是重要的數(shù)學思想方法，也是中學數(shù)學的基本解題技能，是將知識轉化為能力的紐帶，體現(xiàn)了數(shù)學核心素養(yǎng)的內化。因此教師要注意積累有關的素材，注重數(shù)學思想方法的滲透和應用，潛移默化地培養(yǎng)學生運用數(shù)形結合思想方法的意識，讓學生學會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界。這是發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的體現(xiàn)。

參考文獻：

［1］楊鋒潑.初中學生數(shù)形結合思想培養(yǎng)的探究［J］.讀與寫（教育教學刊），2010（07）.

［2］羅洪信.在初中數(shù)學中蘊藏著的數(shù)形結合思想［J］.桂林市教育學院學報（綜合版），2001（02）.