臨界底坡變化規(guī)律及相應均勻流流態(tài)判別

林 峰，王克忠，歐陽明

(浙江工業(yè)大學建筑工程學院，杭州 310014)

正常水深、臨界水深和臨界底坡在水力學相關知識體系中均是比較重要的概念［1－2］。國內外眾多的研究者就不同的斷面形式下的正常水深、臨界水深等均進行過諸多的探討和計算［3－15］，所得到的成果也在各個領域得到了較為廣泛的應用。但有關臨界底坡隨流量的變化規(guī)律的研究和文獻卻較為少見［16－18］。

在現(xiàn)實生活與生產實踐中，圓形過水斷面因具有良好的受力條件等常被應用，如輸水隧道、城市給排水以及農田排灌等;而U形斷面因其具有較好的水力條件、邊坡穩(wěn)定性好、防滲襯砌造價低等優(yōu)點，在實際工程中更被廣泛采用。在水利工程中，水流的流態(tài)判別是比較重要的內容，對于均勻流，可以用實際底坡和臨界底坡相比較來確定水流流態(tài)。臨界底坡與斷面形狀與尺寸、流量及渠道的糙率有關，而與實際底坡無關［1－2］。韓梅［16］和劉曾美等［17］對矩形和梯形斷面的臨界底坡變化規(guī)律及最小值已進行過相關的研究。本文更進一步推導分析圓形斷面和U形斷面臨界底坡隨流量的變化規(guī)律，并通過計算實例結合臨界水深與正常水深加以驗證，為判斷明流均勻流流態(tài)提供新方法、新思路和可以參考的依據(jù)。

1 臨界底坡滿足條件

在臨界底坡上作均勻流時，一方面要滿足臨界流的條件，另一方面又要滿足均勻流的基本方程，根據(jù)這兩方面的條件可以求得臨界底坡的一般計算公式［1－2］

式中:iK為臨界底坡;α為動能修正系數(shù)，取1.0;g為重力加速度，取9.8 m3/s;AK，CK，RK，BK，χK分別為發(fā)生臨界流時的過水面積、謝才系數(shù)、水力半徑、水面寬度和濕周。

由于臨界水深是關于流量的單調函數(shù)，若研究臨界底坡和流量的關系，只需分析臨界底坡與臨界水深的關系即可。

2 3種斷面臨界底坡隨流量的變化規(guī)律

2.1 矩形斷面臨界底坡隨流量的變化規(guī)律

對于矩形斷面，根據(jù)文獻［16］的研究，當hK=(其中hK為臨界水深，b為矩形過水斷面寬度)，hK是關于流量Q的增函數(shù)，可以用iK隨hK的變化規(guī)律反映iK隨Q的變化規(guī)律，因此是臨界底坡隨流量變化曲線的極小值，也是最小點，該曲線為一條下凹曲線，即

2.2 圓形斷面臨界底坡隨流量的變化規(guī)律

圓形斷面不能直接求出臨界水深的精確解答［11－12］，由此，許多學者得到了各種近似解答［13－14］。然而圓形斷面臨界底坡隨流量的變化規(guī)律，目前尚無人進行過相關的研究，圓形斷面如圖1所示。為此，筆者結合韓梅［16］和劉曾美［17］等人關于矩形和梯形斷面的研究，進行了相關的探索。

圖1 圓形斷面示意圖Fig.1 Sketch of circular section

將圓形斷面的水力要素［11－12，19］及代入式(1)可得:

式中:d為圓形斷面的直徑;θK為發(fā)生臨界流時的圓心角，其余參數(shù)如前述。

由于hK是關于流量Q的增函數(shù)，而θK又是hK增函數(shù)，因此可以用iK隨θK的變化規(guī)律反映iK隨Q的變化規(guī)律。將式(3)對θK微分，計算整理可以得到:

令

若令式(4)等于零，經分析計算［20－21］，可得θK=2.305 rad，即 θK=132°。此時取到極小值，也是最小值，即

由于θK＜180°，整個推導過程也未引入特殊的參數(shù)，因此上述分析計算結果也可適用于半圓形或者其它角度的圓形斷面，但該角度必須大于132°，否則臨界坡度隨角度θK的增大而減小。

2.3 U形斷面臨界底坡隨流量的變化規(guī)律

U形是一個半圓形與矩形的組合(本文暫不探討邊坡系數(shù)m≠0的弧底梯形斷面)，集合了圓形斷面和矩形斷面的特點，在水利輸水建筑物中常被采用，如U形襯砌渠道、U形渡槽等。關于U形斷面的臨界底坡的變化規(guī)律，目前尚無人進行過探討，U形斷面如圖2所示。

根據(jù)圖2或者文獻［14，17－19］可知，當其水深大于半圓半徑時，水力要素為和，代入式(1)得到:

其中:r為底部半圓形部分的半徑;hK為臨界水深，其余參數(shù)如前述。

對hK微分，經過計算整理可以得到:

圖2 U形斷面示意圖Fig.2 Sketch of U-shaped section

由于上述的求解計算前提是臨界水深大于半圓半徑，即hK＞r，因此式(7)顯然恒大于0，故 iK=f(hK)為單調遞增函數(shù)，而當水深小于半圓半徑時需要按照圓形斷面進行處理。

結合矩形斷面和圓形斷面進行分析，當水深大于半圓半徑，從矩形斷面角度分析，有hK＞r，即滿足則其在極小值的右側，所以呈現(xiàn)為單調遞增，符合上述分析結果;從圓形斷面角度分析，有 θK=π rad，即有 θK=180°＞132°，亦在極小值的右側，單調遞增，符合上述分析結果。而當水深小于半圓半徑，可按照圓形斷面分析，即當θK=132°時，hK=0.594r，iK取得極小值，有 iKmin=22.335 ×故當水深從小到大變化時，其與圓形斷面的變化規(guī)律類似，且均在 hK=r時(θK=132°)，iK取得極小值，也是最小值。

2.4 3種斷面水流流態(tài)判別方法

根據(jù)對矩形斷面、圓形斷面和U形斷面這3種斷面的臨界底坡隨流量的變化規(guī)律的計算和分析，發(fā)現(xiàn)這3種斷面的臨界底坡均存在最小臨界底坡iKmin，因此可以以 iKmin作為流態(tài)判別的依據(jù)［17］:

(1)當i＜iKmin時，水流流態(tài)恒為緩流;

(2)當i=iKmin時，水流流態(tài)可能會出現(xiàn)臨界流和緩流2種可能。當Q=Qm時，水流出現(xiàn)臨界流;當Q≠Qm時，水流出現(xiàn)緩流;

(3)當i＞iKmin時，水流隨著流量的變化可能出現(xiàn)3種流態(tài):緩流、臨界流和急流。由圖3，令iK=i，則有出現(xiàn)2個流量與之對應，分別記作Q1和Q2。當Q1＜Q＜Q2時，水流流態(tài)為急流;當Q1=Q=Q2時，水流流態(tài)為臨界流;當Q＜Q1或Q＞Q2時，水流流態(tài)為緩流。

圖3 iK=f(Q)示意圖Fig.3 Sketch of iKvarying with discharge Q

3 算例分析

由于關于矩形以及梯形斷面的相關分析計算在文獻［16］和［17］已有較詳細的介紹，故本文主要對圓形斷面和U形斷面臨界底坡變化的計算進行介紹。

3.1 圓形斷面實例

某無壓流圓形斷面隧洞，初設直徑d為15 m，糙率n為0.016，設計底坡為i，現(xiàn)分析水流流態(tài)隨流量變化的規(guī)律。

根據(jù)式(5)計算得iKmin=2.32‰，若實際底坡i＜iKmin=2.32‰，則水流恒為緩流;若實際底坡 i＞iKmin，不妨設 i=3‰，則令 iK=i=3‰，運用試算法［4］或相關的近似公式可求得與之相應的2個臨界水深所對應的角度分別為1.070 1，3.725 8 rad，則流量Q1和 Q2分別為14.299，1 089.847 m3/s，設實際流量為Q，當Q1＜Q＜Q2時，水流為急流;當Q=Q1或Q=Q2時，水流為臨界流;Q＜Q1或Q＞Q2時，水流為緩流。

若按正常水深與臨界水深的方法判別水流流態(tài):

(1)假定流量為780 m3/s，由文獻［11］算例1可得，其臨界水深hK為8.13 m，正常水深h按文獻［10］的圓形斷面正常水深近似計算公式可得7.84 m，由于h＜hK，故為急流，與本文分析結果一致。

(2)假定流量為500 m3/s，由文獻［12］算例1可得，其臨界水深hK為6.43 m，正常水深h按文獻［10］的圓形斷面正常水深近似計算公式可得6.05 m，同理為急流，符合本文分析結果。

(3)假定流量為1 m3/s，由文獻［12］算例2可得，其臨界水深 hK為0.28 m，正常水深 h按文獻［10］的圓形斷面正常水深近似計算公式可得0.30 m，由于 h＞hK，其為緩流，依然與本文分析結果一致。

3.2 U形斷面實例

某U形斷面輸水渠道，設計底部半圓的直徑d為5 m，也就是半徑r為2.5 m，糙率n為0.014，設計底坡為i，試分析水流流態(tài)隨流量變化的規(guī)律。

根據(jù)式(5)可計算求得iKmin=2.56‰，則最小底坡對應的臨界水深 hK=1.48 m，若實際底坡 i＜iKmin=2.56‰，則水流恒為緩流;若實際底坡 i＞iKmin，不妨設i=5‰，則令iK=i=5‰，同圓形斷面一樣按式(3)可以求得與之相應的2個臨界水深所對應的角度分別為0.535，4.554 rad，與之對應的流量Q1和 Q2分別為0.060，115.694 m3/s。由于計算所得的結果是按照圓形斷面求解而得，故要舍去圓心角超過180°的值，此處棄去Q2，需重新按式(6)求解計算。同樣運用試算法可易得與之對應的水深為6.619 m，則相應的流量 Q2為234.798 m3/s。設實際流量為Q，當Q1＜Q＜Q2時，水流為急流;當Q=Q1或Q=Q2時，水流為臨界流;當Q＜Q1或Q＞Q2時，水流為緩流。

若按正常水深與臨界水深的方法判別水流流態(tài):

(1)假定流量為0.05 m3/s，若按文獻［14］和［15］中的U形斷面臨界水深公式可得臨界水深hK為0.558 m，顯然該結果小于半徑，所以應按圓形斷面計算臨界水深。按照文獻［12］的無壓流圓形斷面臨界水深的近似計算公式可以求得臨界水深hK為0.081 m。正常水深h按文獻［13］中U形斷面分析應按圓形斷面的直接計算公式計算，根據(jù)文獻［10］中的圓形斷面正常水深近似計算公式可以求得正常水深h為0.082 m，由于h＞hK，故為緩流，與本文分析所得一致。

(2)假定流量為300 m3/s，按文獻［14］和［15］中的U形斷面臨界水深公式可得臨界水深hK為7.698 m，正常水深h按文獻［13］中的U形斷面正常水深直接近似計算公式求得7.829 m，由于h＞hK，故為緩流，與本文分析結果一致。

(3)假定流量為100 m3/s，按文獻［14］和［15］中的U形斷面臨界水深公式可得臨界水深hK為3.980 m，正常水深h按文獻［13］中的U形斷面正常水深直接近似計算公式求得3.543 m，由于h＜hK，故為急流，與本文分析結果一致。

(4)假定流量為200 m3/s，按文獻［14］和［15］中的U形斷面臨界水深公式可得臨界水深hK為6.002 m，正常水深h按文獻［13］中的U形斷面正常水深直接近似計算公式求得5.796 m，由于h＜hK，故為急流，與本文分析結果一致。

4 結語

本文研究分析圓形斷面和U形斷面明流的臨界底坡的變化規(guī)律，并通過相關例證討論了臨界底坡變化規(guī)律的實際應用。對于圓形斷面和U形斷面這2種斷面形式，由于其存在臨界底坡的最小值，故可以利用該性質來分析水流流態(tài)情況。只要斷面形式及相關參數(shù)確定，針對不同的流量，均可以比較方便地直接判定其屬于緩流、急流還是臨界流，從而避免了流量不同所導致的臨界水深和正常水深變化而均需要重新計算的繁雜。

［1］吳持恭.水力學(第四版)［M］.北京:高等教育出版社，2007.(WU Chi-gong.Hydraulics(Version 4)［M］.Beijing:Higher Education Press，2007.(in Chinese))

［2］趙振興，何建京.水力學(第二版)［M］.北京:清華大學出版社，2010.(ZHAO Zhen-xing，HE Jian-jing.Hydraulics(Version 2)［M］.Beijing:Tsinghua University Press，2010.(in Chinese))

［3］WONG T S W.Exact Solutions for Normal Depth Problem［J］.Journal of Hydraulic Research，2007，45(4):567－571.

［4］RAJESH S.Exact Solutions for Normal Depth Problem［J］.Journal of Hydraulic Research，2006，44(3):427－428.

［5］LIU Ji-liang，WANG Zheng-zhong，F(xiàn)ANG Xing.Iterative Formulas and Estimation Formulas for Computing Normal Depth of Horseshoe Cross-Section Tunnel［J］.Journal of Irrigation＆ Drainage Engineering(ASCE)，2010，136(11):786－790.

［6］趙延風，張寬地，蘆 琴.矩形斷面明渠均勻流水力計算的直接計算公式［J］.西北農林科技大學學報(自然科學版)，2008，36(9):224－228.(ZHAO Yanfeng，ZHANG Kuan-di，LU Qin.Formula on Direct Calculation of Water Depth of Uniform Flow in Rectangular Open Channel［J］.Journal of Northwest A＆F University(Natural Science Edition)，2008，36(9):224 － 228.(in Chinese))

［7］趙延風，祝晗英，王正中，等.梯形明渠正常水深的直接計算方法［J］.西北農林科技大學學報(自然科學版)，2009，37(4):220 －224.(ZHAO Yan-feng，ZHU Han-ying，WANG Zheng-zhong，et al.A Direct Formula for Normal Depth in Trapezoidal Open Channel［J］.Journal of Northwest A＆F University(Natural Science Edition)，2009，37(4):220－224.(in Chinese))

［8］廖云鳳.梯形斷面渠道臨界水深顯式計算［J］.陜西水力發(fā)電，2001，17(4):22－23.(LIAO Yun-feng.Direct Calculation Formula of Critical Depth for Trapezoidal Canal［J］.Journal of Shaanxi Water Power，2001，17(4):22 －23.(in Chinese))

［9］趙延風，王正中，張寬地.梯形明渠臨界水深的直接計算方法［J］.山東大學學報(工學版)，2007，37(6):101 － 105.(ZHAO Yan-feng，WANG Zhengzhong，ZHANG Kuan-di.Direct Calculation Method for the Critical Depth of an Open Trapezoidal Channel［J］.Journal of Shandong University(Engineering Science)，2007，37(6):101 －105.(in Chinese))

［10］趙延風，祝晗英，王正中.一種新的圓形過水斷面正常水深近似計算公式［J］.河海大學學報(自然科學版)，2010，38(1):68 －71.(ZHAO Yan-feng，ZHU Han-ying，WANG Zheng-zhong.New Approximate Formula for Circular Cross Section of Normal Depth［J］.Journal of Hohai University(Natural Sciences)，2010，38(1):68 －71.(in Chinese))

［11］張文倬.圓形斷面臨界水深計算［J］.四川水力發(fā)電，2002，21(1):15 －17.(ZHANG Wen-zhuo.Computa-tion for Critical Depth of Flow in Circular Section of Tunnel［J］.Sichuan Water Power，2002，21(1):15 － 17.(in Chinese))

［12］趙延風，何曉軍，祝晗英，等.無壓流圓形斷面臨界水深的新近似計算公式［J］.人民長江，2009，40(11):76 －79.(ZHAO Yan-feng，HE Xiao-jun，ZHU Han-ying，et al.A New Approximate Formula for Critical Water Depth Calculation of Free Flow in Circular Cross-Section Pipe［J］.Yangtze River，2009，40(11):76 －79.(in Chinese))

［13］滕 凱，郭鐵良，胡允坤，等.U形斷面渠槽的實用設計法［J］.黑龍江水利科技，1995，(1):55－57.(TENG Kai，GUO Tie-liang，HU Yun-kun，et al.Practical Design Method of U-shaped Section Channel［J］.Heilongjiang Science and Technology of Water Conservancy，1995，(1):55 －57.(in Chinese))

［14］葛節(jié)忠，劉東康，劉金柱，等.明渠均勻流水深h0和臨界水深 hk的迭代計算法［J］.海河水利，2004，(6):41 －43.(GE Jie-zhong，LIU Dong-kang，LIU Jinzhu，et al.Iterative Computation Method of Critical Depth hkand Uniform Flow Depth h0of Uncovered Canal［J］.Haihe Water Resources，2004，(6):41 －43.(in Chinese))

［15］蘆 琴.明渠特征水深直接計算方法的研究［D］.陜西楊凌:西北農林科技大學，2005.(LU Qin.Method of Calculating the Characteristic Depth of Open Channel［D］.Yangling:Northwest A＆F University，2005.(in Chinese))

［16］韓 梅.棱柱體渠道臨界底坡變化規(guī)律及最小值研究［J］.黑龍江水專學報，2004，31(3):4－6.(HAN Mei.Research on Critical Bed Slope Varied Rule and the Minimum Value in the Prism Canal［J］.Journal of Heilongjiang Hydraulic Engineering College，2004，31(3):4 －6.(in Chinese))

［17］劉曾美，吳俊校.梯形斷面棱柱體渠道水流流態(tài)規(guī)律研究［J］.水利水運工程學報，2009，(3):54－58.(LIU Zeng-mei，WU Jun-xiao.Variation in Flow Pattern with Unit Width Discharge in the Prism Canal with Trapezoidal Section［J］.Hydro-Science and Engineering，2009，(3):54 －58.(in Chinese))

［18］李大美，張申澤.臨界底坡的水面曲線分析［J］.水電能源科學，2000，18(4):44 －45，58.(LI Da-mei，ZHANG Shen-ze.Analysis of Flow Profiles on Critical Slope［J］.Journal of Hydroelectric Energy，2000，18(4):44 －45，58.(in Chinese))

［19］李 煒.水力計算手冊(第二版)［M］.北京:中國水利水電出版社，2006.(LI Wei.Hydraulic Computation Manual(Version 2)［M］.Beijing:China Water Power Press，2006.(in Chinese))

［20］王沫然.MATLAB與科學計算(第二版)［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2003.(WANG Mo-ran.MATLAB and Scientific Computing(Version 2)［M］.Beijing:Publishing House of Electronics Industry，2003.(in Chinese))

［21］甄西豐.實用數(shù)值計算方法［M］.北京:清華大學出版社，2006.(ZHEN Xi-feng.Applied Numerical Method［M］.Beijing:Tsinghua University Press，2006.(in Chinese ))