回歸分析對比GRA探究底板破壞深度影響因素的研究

朱進(jìn)鵬 余照陽

摘? 要：為探究礦井底板破壞深度的影響因素及其影響關(guān)系，各因素之間的復(fù)合相關(guān)性分析常用的方法有灰色關(guān)聯(lián)法（GRA）和相關(guān)分析，回歸分析是相關(guān)分析中的一個分支。灰色關(guān)聯(lián)分析在分析灰色數(shù)據(jù)中的線性關(guān)聯(lián)程度等方面應(yīng)用非常廣泛，但對于數(shù)據(jù)完整且充足的情況，灰色關(guān)聯(lián)分析在處理數(shù)據(jù)后使數(shù)據(jù)損失了大量有用信息；本文借助相關(guān)分析和回歸分析結(jié)合使用分析數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)性（包括非線性關(guān)聯(lián)），利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測并對其進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)以及進(jìn)行方差分析，在張文泉等人利用灰色關(guān)聯(lián)研究影響底板破壞深度的因素的基礎(chǔ)上，利用多元統(tǒng)計建立了新的選回歸模型，對模型進(jìn)行了顯著性檢驗(yàn)以及方差分析，該模型預(yù)測表現(xiàn)良好并可應(yīng)用于實(shí)際生產(chǎn)中，該方法是對研究底板破壞深度的新補(bǔ)充，并可遷移運(yùn)用于其他相關(guān)領(lǐng)域，且回歸方程將隨樣本量的增加而更加精確。

關(guān)鍵詞：回歸分析 GRA 底板破壞 深度影響 研究

煤層底板的破壞因素分析數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)性目前已有許多方法，在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、管理等實(shí)際項(xiàng)目中灰色關(guān)聯(lián)分析與回歸分析是工程實(shí)際中最為常用的方法，灰色關(guān)聯(lián)分析的產(chǎn)生基于灰色系統(tǒng)，適用于快速分析數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)性，同時也存在一些無法避免的缺陷；回歸分析相較與灰色關(guān)聯(lián)分析較為復(fù)雜，但能夠有效的彌補(bǔ)灰色關(guān)聯(lián)分析存在的不足，在建立了顯著的回歸模型之后，合理利用該模型，可在實(shí)際生產(chǎn)中進(jìn)行應(yīng)用預(yù)測并取得良好效果。

1、選用回歸分析的依據(jù)

灰色關(guān)聯(lián)分析[1]（以下簡稱GRA），是譚學(xué)瑞等教授于1995年提出的多因素統(tǒng)計新方法，其理論基礎(chǔ)是基于鄧聚龍教授灰色系統(tǒng)理論[2]。利用GRO來描述因素間關(guān)系的相互影響的強(qiáng)弱關(guān)系、大小關(guān)系、次序關(guān)系等。基本思想是以主要研究對象的數(shù)據(jù)列作為參考依據(jù)，采用簡單的數(shù)學(xué)關(guān)系來研究各個因素相對于主要研究對象數(shù)據(jù)的對應(yīng)關(guān)系[3]。能夠在一定層面上體現(xiàn)指標(biāo)的動態(tài)變化，在量化分析上體現(xiàn)了一定的動態(tài)意義。目前在醫(yī)藥衛(wèi)生、農(nóng)業(yè)、工業(yè)、管理等方面應(yīng)用較為廣泛。

灰色關(guān)聯(lián)分析核心思想是將數(shù)據(jù)無量綱化后構(gòu)建差序列，并以最大差和最小差構(gòu)建如下公式

式中，為母序列，計算出母序列與每一個子序列的關(guān)聯(lián)度系數(shù)，對該序列的關(guān)聯(lián)度取平均，即得該序列與主序列之間的關(guān)聯(lián)度

灰色關(guān)聯(lián)分析的優(yōu)點(diǎn)與不足：近年來，灰色關(guān)聯(lián)雖然得到了廣泛的應(yīng)用，但沒有得到持續(xù)的發(fā)展，許多學(xué)者在白色系統(tǒng)上應(yīng)用灰色關(guān)聯(lián)法，以簡化計算相關(guān)的復(fù)雜統(tǒng)計計算，張文泉[4]等人將其用于分析影響底板破壞深度的影響因素研究。該方法的無量綱化的數(shù)據(jù)處理會不同程度的導(dǎo)致原始數(shù)據(jù)的描述性、峰值和正負(fù)性等信息損失，尤其初值法具有很大的風(fēng)險，當(dāng)初值為噪音的時候，得到的關(guān)聯(lián)度結(jié)果往往都大于0.5，其結(jié)果也只能大致判定關(guān)聯(lián)程度的大小，沒有顯著的區(qū)分度以及正負(fù)相關(guān)的區(qū)分能力，且對于結(jié)果的正確性缺乏必要的檢驗(yàn)，此方法還有待進(jìn)一步研究。下面從回歸分析的角度重新研究影響底板破壞深度的因素。

2 、利用選回歸模型探究影響底板破壞深度的因素

2.1 回歸分析建模

從19世紀(jì)初Gauss提出最小二乘法算起，回歸分析已有200多年的歷史，其在生產(chǎn)實(shí)踐中的廣泛應(yīng)用是回歸分析不斷自我發(fā)展和完善的根本動力[5]?；貧w分析研究的主要對象是客觀事物變量間的相關(guān)關(guān)系或回歸關(guān)系，回歸關(guān)系和相關(guān)關(guān)系是現(xiàn)代統(tǒng)計學(xué)中關(guān)于統(tǒng)計關(guān)系的研究形成的兩個重要分支。回歸分析相較與相關(guān)分析不僅可以刻畫變量間的線性相關(guān)的密切程度，還可以揭示變量對變量的影響大小，回歸模型建立檢驗(yàn)后還可以服務(wù)于預(yù)測和控制，因而在生產(chǎn)實(shí)踐中具有更加重要的意義[6、7]。

在研究底板破壞深度與其他因素之間關(guān)系的時候，使用灰色關(guān)聯(lián)分析僅能夠大致得到影響程度的大小順序，最后形成的底板破壞公式也忽略了其他因素的影響。通過多元回歸，分析，建立多因素的回歸分析模型可以得到更加貼合實(shí)際的經(jīng)驗(yàn)公式。

首先概覽數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于張文泉由于初始數(shù)據(jù)近似于橫截面數(shù)據(jù)，受時間序列的影響較小，故首先要做的就是將整個數(shù)據(jù)表按照地板破壞深度的數(shù)值進(jìn)行升序排列，從而直觀的了解數(shù)據(jù)間的大致關(guān)系，看能不能簡單的用線性回歸對其進(jìn)行分析。如若不是簡單的線性關(guān)系，還應(yīng)利用合適的數(shù)學(xué)變換將其處理成線性數(shù)據(jù)。具體的處理方法包括倒數(shù)變換，對數(shù)變換，開方變換等。

圖2數(shù)據(jù)為方便觀察，做了中心標(biāo)準(zhǔn)化處理，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)據(jù)略微雜糅離散，但總體上是有線性關(guān)系的。研究的底板破壞深度涉及多個因素，因此這里選擇采用多元線性回歸分析[8]。設(shè)隨機(jī)變量（實(shí)測底板破壞深度y）與一般變量（埋深x1，傾角x2，煤厚x3，工作面斜長x4，底板抗破壞能力x5）的線性回歸模型為式中：是未知參數(shù)，稱之為回歸常數(shù)，稱為回歸系數(shù)，研究對象y稱之為因變量（被解釋變量），是可以測量并對其控制的一般變量，稱為自變量（解釋變量），為隨機(jī)誤差，對于假定隨機(jī)誤差項(xiàng)有零均值和等方差則此式為各自變量與因變量y的理論回歸方程。

對獲得的30組觀測數(shù)據(jù)（n=30），則線性回歸模型可以表示為：

寫成矩陣形式為

式中：

R語言將上述繁瑣的過程封裝起來，可以很方便的利用函數(shù)調(diào)用，重新對張文泉一文中的數(shù)據(jù)采用回歸分析的方法重新進(jìn)行處理。表1為利用R語言做底板破壞深度y關(guān)于5個自變量多元線性回歸結(jié)果。

則相應(yīng)的線性回歸方程為：

式5為建立在已有數(shù)據(jù)上的全模型回歸，在實(shí)際中，影響底板破壞深度的因素實(shí)際上還有許多，比如工作面所處的單斜、向斜、背斜構(gòu)造，以及煤的堅固性系數(shù)、底板的堅固性系數(shù)等都會對實(shí)測的底板破壞深度等均有不同程度的影響（在本例中，底板的堅固性系數(shù)可以從底板抗破壞能力的方面進(jìn)行取代）。從值F=24.48相較于24（F分布的自由度）可知，顯著性并不明顯，這是由于部分因素沒有與底板破壞深度顯著相關(guān)，下面利用相關(guān)系數(shù)剔除明顯不相關(guān)的因素[9]。各因素之間的相關(guān)系數(shù)矩陣如下表所示：

根據(jù)表2相關(guān)系數(shù)表中與各自變量之間的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)采厚對底板破壞深度幾乎沒有關(guān)聯(lián)，將其剔除，進(jìn)一步利用R語言建立選回歸模型，模型結(jié)果如表5所示：

由表3可知，剔除后的選回歸模型為：

決定系數(shù)，由決定系數(shù)可以看出回歸方程是顯著的。方程整體顯著性檢驗(yàn)，，表明回歸方程是顯著的。這與工程中的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)相符，底板破壞深度與埋深、傾角、工作面斜長均呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系，與底板抗破壞強(qiáng)度呈現(xiàn)出負(fù)相關(guān)關(guān)系，各回歸系數(shù)的值不能夠僅憑數(shù)值大小來判定哪個因素的影響更大或者更小?；貧w模型的具體解釋為：當(dāng)保持不變時，為一常數(shù)，則有：

即可解釋為在除開之外的因素保持不變時，每增加一個單位，即為y的平均增加幅度，，埋深每增加1米底板破壞深度平均增加0.019米，埋深增加100米時，底板破壞深度平均增加幅度為1.9米。

2.2 對回歸方程做顯著性檢驗(yàn)

為觀察自變量x從整體上對隨機(jī)變量y是否產(chǎn)生了明顯的影響，利用F檢驗(yàn)，提出原假設(shè)H0

若沒有足夠的理由拒絕H0，則說明隨機(jī)變量y與自變量x之間的關(guān)系不適合用線性回歸模型表示，利用總離差平方和的分解式[10]

簡寫為

構(gòu)造F檢驗(yàn)統(tǒng)計量[11]

在正態(tài)假設(shè)下，當(dāng)原假設(shè)，成立，F(xiàn)服從自由度為的F分布，在本例中，n=30，p=4，取顯著性水平，在上述選模型中，F(xiàn)值=31.75，對應(yīng)的P值為，由此可判斷，選回歸模型的回歸方程在整體上是顯著的，即做出這4個自變量整體對因變量產(chǎn)生的顯著線性影響的判斷所犯錯誤的概率是極低的。

2.3 對線性回歸方程做方差分析

利用R語言將方差分析具體到每個自變量，并通過P值可以看出每個自變量y對因變量是否產(chǎn)生顯著的影響，從上述結(jié)果看出，在回歸方程中，x1和x4相較x2和x4產(chǎn)生較為顯著的影響（顯著性水平），這與回歸方程整體的顯著性檢驗(yàn)是一致的[12]。

2.4 中心化和標(biāo)準(zhǔn)化求出標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)

在多元線性回歸分析中，因涉及多個變量，自變量的單位和數(shù)量級往往不同，給進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析帶來一定的困難，數(shù)據(jù)量級懸殊過大會導(dǎo)致出現(xiàn)較大誤差。故在進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析時，需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行如下處理

中心化：

標(biāo)準(zhǔn)化：

利用R語言中的QuantPsyc包，使用lm.beta（）即可得到各因素的標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)如下：

相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化回歸方程為：

從標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)可以看出對y影響最大的因素是x1，其次是x2，表示底板破壞深度每增加1%，埋深會平均增加0.6163%，傾角會增加0.1%，工作面斜長增加0.455%，而底板抗破壞能力會降低0.13%，因?yàn)樽宰兞渴强陀^存在的，這樣的解釋在實(shí)際中是行不通的，因此只能作為判斷的依據(jù)，實(shí)際預(yù)測必須采用理論回歸方程[13]。

2.5 應(yīng)用理論回歸方程做出預(yù)測

在張文泉擬合的底板破壞公式中，在分析誤差的時候，不應(yīng)利用原始數(shù)據(jù)推導(dǎo)出的擬合公式去預(yù)測與原始數(shù)據(jù)的誤差，得到的誤差也只是基于擬合公式的自擬合度。利用其去預(yù)測其他數(shù)據(jù)則會產(chǎn)生過擬合現(xiàn)象，導(dǎo)致誤差擴(kuò)大，而應(yīng)利用新的數(shù)據(jù)去做預(yù)測來驗(yàn)證模型的可靠性。筆者在施龍青等人基于GWO改進(jìn)的PCA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型的數(shù)據(jù)中應(yīng)用多元回歸模型，得到表6。

由表6可以看到，30個煤礦預(yù)測的平均相對誤差為21.7%，這與其他方法所建立的模型誤差基本一致，因?yàn)檫€有諸如構(gòu)造、水壓等因素影響底板破壞深度，故這個誤差是完全可以接受的。30個煤礦預(yù)測的平均絕對誤差僅為-0.31m，雖然每個煤礦的地質(zhì)、開采等條件不一樣，但還是基本符合所建立的選回歸模型，說明模型的效果是非常貼合實(shí)際的。

3 、總結(jié)

1.灰色關(guān)聯(lián)算法簡單，便于計算，但區(qū)分度不夠顯著且不能用于非線性數(shù)據(jù)，適合用于數(shù)據(jù)的初步判斷和觀測，在預(yù)測煤層低板深度時不能夠深入分析各元素之間的相關(guān)程度。

2.回歸分析可以有效彌補(bǔ)灰色關(guān)聯(lián)的缺點(diǎn)，結(jié)合相關(guān)分析可以篩選出影響因素中主要相關(guān)因素，對數(shù)據(jù)采用非線性變換還可應(yīng)用于非線性數(shù)據(jù)，從而構(gòu)建具有較高顯著性的選回歸模型，從各角度揭示了埋深、傾角、工作面斜長等因素對于底板深度的影響程度。且模型應(yīng)用較為簡單，便于應(yīng)用到實(shí)際預(yù)測和驗(yàn)證中。

3.在繪制簡單折線圖時，底板破壞深度隨埋深的震蕩現(xiàn)象不能排除是由周期性的影響，由于樣本量不足，需要進(jìn)一步的研究。

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（作者單位：貴州大學(xué)礦業(yè)學(xué)院）