回歸分析對比GRA探究底板破壞深度影響因素的研究

朱進鵬 余照陽

摘? 要：為探究礦井底板破壞深度的影響因素及其影響關系，各因素之間的復合相關性分析常用的方法有灰色關聯(lián)法（GRA）和相關分析，回歸分析是相關分析中的一個分支?；疑P聯(lián)分析在分析灰色數(shù)據(jù)中的線性關聯(lián)程度等方面應用非常廣泛，但對于數(shù)據(jù)完整且充足的情況，灰色關聯(lián)分析在處理數(shù)據(jù)后使數(shù)據(jù)損失了大量有用信息；本文借助相關分析和回歸分析結合使用分析數(shù)據(jù)之間的關聯(lián)性（包括非線性關聯(lián)），利用回歸方程進行預測并對其進行顯著性檢驗以及進行方差分析，在張文泉等人利用灰色關聯(lián)研究影響底板破壞深度的因素的基礎上，利用多元統(tǒng)計建立了新的選回歸模型，對模型進行了顯著性檢驗以及方差分析，該模型預測表現(xiàn)良好并可應用于實際生產(chǎn)中，該方法是對研究底板破壞深度的新補充，并可遷移運用于其他相關領域，且回歸方程將隨樣本量的增加而更加精確。

關鍵詞：回歸分析 GRA 底板破壞 深度影響 研究

煤層底板的破壞因素分析數(shù)據(jù)之間的關聯(lián)性目前已有許多方法，在工業(yè)、農業(yè)、管理等實際項目中灰色關聯(lián)分析與回歸分析是工程實際中最為常用的方法，灰色關聯(lián)分析的產(chǎn)生基于灰色系統(tǒng)，適用于快速分析數(shù)據(jù)關聯(lián)性，同時也存在一些無法避免的缺陷；回歸分析相較與灰色關聯(lián)分析較為復雜，但能夠有效的彌補灰色關聯(lián)分析存在的不足，在建立了顯著的回歸模型之后，合理利用該模型，可在實際生產(chǎn)中進行應用預測并取得良好效果。

1、選用回歸分析的依據(jù)

灰色關聯(lián)分析[1]（以下簡稱GRA），是譚學瑞等教授于1995年提出的多因素統(tǒng)計新方法，其理論基礎是基于鄧聚龍教授灰色系統(tǒng)理論[2]。利用GRO來描述因素間關系的相互影響的強弱關系、大小關系、次序關系等?；舅枷胧且灾饕芯繉ο蟮臄?shù)據(jù)列作為參考依據(jù)，采用簡單的數(shù)學關系來研究各個因素相對于主要研究對象數(shù)據(jù)的對應關系[3]。能夠在一定層面上體現(xiàn)指標的動態(tài)變化，在量化分析上體現(xiàn)了一定的動態(tài)意義。目前在醫(yī)藥衛(wèi)生、農業(yè)、工業(yè)、管理等方面應用較為廣泛。

灰色關聯(lián)分析核心思想是將數(shù)據(jù)無量綱化后構建差序列，并以最大差和最小差構建如下公式

式中，為母序列，計算出母序列與每一個子序列的關聯(lián)度系數(shù)，對該序列的關聯(lián)度取平均，即得該序列與主序列之間的關聯(lián)度

灰色關聯(lián)分析的優(yōu)點與不足：近年來，灰色關聯(lián)雖然得到了廣泛的應用，但沒有得到持續(xù)的發(fā)展，許多學者在白色系統(tǒng)上應用灰色關聯(lián)法，以簡化計算相關的復雜統(tǒng)計計算，張文泉[4]等人將其用于分析影響底板破壞深度的影響因素研究。該方法的無量綱化的數(shù)據(jù)處理會不同程度的導致原始數(shù)據(jù)的描述性、峰值和正負性等信息損失，尤其初值法具有很大的風險，當初值為噪音的時候，得到的關聯(lián)度結果往往都大于0.5，其結果也只能大致判定關聯(lián)程度的大小，沒有顯著的區(qū)分度以及正負相關的區(qū)分能力，且對于結果的正確性缺乏必要的檢驗，此方法還有待進一步研究。下面從回歸分析的角度重新研究影響底板破壞深度的因素。

2 、利用選回歸模型探究影響底板破壞深度的因素

2.1 回歸分析建模

從19世紀初Gauss提出最小二乘法算起，回歸分析已有200多年的歷史，其在生產(chǎn)實踐中的廣泛應用是回歸分析不斷自我發(fā)展和完善的根本動力[5]。回歸分析研究的主要對象是客觀事物變量間的相關關系或回歸關系，回歸關系和相關關系是現(xiàn)代統(tǒng)計學中關于統(tǒng)計關系的研究形成的兩個重要分支。回歸分析相較與相關分析不僅可以刻畫變量間的線性相關的密切程度，還可以揭示變量對變量的影響大小，回歸模型建立檢驗后還可以服務于預測和控制，因而在生產(chǎn)實踐中具有更加重要的意義[6、7]。

在研究底板破壞深度與其他因素之間關系的時候，使用灰色關聯(lián)分析僅能夠大致得到影響程度的大小順序，最后形成的底板破壞公式也忽略了其他因素的影響。通過多元回歸，分析，建立多因素的回歸分析模型可以得到更加貼合實際的經(jīng)驗公式。

首先概覽數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于張文泉由于初始數(shù)據(jù)近似于橫截面數(shù)據(jù)，受時間序列的影響較小，故首先要做的就是將整個數(shù)據(jù)表按照地板破壞深度的數(shù)值進行升序排列，從而直觀的了解數(shù)據(jù)間的大致關系，看能不能簡單的用線性回歸對其進行分析。如若不是簡單的線性關系，還應利用合適的數(shù)學變換將其處理成線性數(shù)據(jù)。具體的處理方法包括倒數(shù)變換，對數(shù)變換，開方變換等。

圖2數(shù)據(jù)為方便觀察，做了中心標準化處理，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)據(jù)略微雜糅離散，但總體上是有線性關系的。研究的底板破壞深度涉及多個因素，因此這里選擇采用多元線性回歸分析[8]。設隨機變量（實測底板破壞深度y）與一般變量（埋深x1，傾角x2，煤厚x3，工作面斜長x4，底板抗破壞能力x5）的線性回歸模型為式中：是未知參數(shù)，稱之為回歸常數(shù)，稱為回歸系數(shù)，研究對象y稱之為因變量（被解釋變量），是可以測量并對其控制的一般變量，稱為自變量（解釋變量），為隨機誤差，對于假定隨機誤差項有零均值和等方差則此式為各自變量與因變量y的理論回歸方程。

對獲得的30組觀測數(shù)據(jù)（n=30），則線性回歸模型可以表示為：

寫成矩陣形式為

式中：

R語言將上述繁瑣的過程封裝起來，可以很方便的利用函數(shù)調用，重新對張文泉一文中的數(shù)據(jù)采用回歸分析的方法重新進行處理。表1為利用R語言做底板破壞深度y關于5個自變量多元線性回歸結果。

則相應的線性回歸方程為：

式5為建立在已有數(shù)據(jù)上的全模型回歸，在實際中，影響底板破壞深度的因素實際上還有許多，比如工作面所處的單斜、向斜、背斜構造，以及煤的堅固性系數(shù)、底板的堅固性系數(shù)等都會對實測的底板破壞深度等均有不同程度的影響（在本例中，底板的堅固性系數(shù)可以從底板抗破壞能力的方面進行取代）。從值F=24.48相較于24（F分布的自由度）可知，顯著性并不明顯，這是由于部分因素沒有與底板破壞深度顯著相關，下面利用相關系數(shù)剔除明顯不相關的因素[9]。各因素之間的相關系數(shù)矩陣如下表所示：

根據(jù)表2相關系數(shù)表中與各自變量之間的關系，可以發(fā)現(xiàn)采厚對底板破壞深度幾乎沒有關聯(lián)，將其剔除，進一步利用R語言建立選回歸模型，模型結果如表5所示：

由表3可知，剔除后的選回歸模型為：

決定系數(shù)，由決定系數(shù)可以看出回歸方程是顯著的。方程整體顯著性檢驗，，表明回歸方程是顯著的。這與工程中的實際經(jīng)驗相符，底板破壞深度與埋深、傾角、工作面斜長均呈現(xiàn)正相關關系，與底板抗破壞強度呈現(xiàn)出負相關關系，各回歸系數(shù)的值不能夠僅憑數(shù)值大小來判定哪個因素的影響更大或者更小?；貧w模型的具體解釋為：當保持不變時，為一常數(shù)，則有：

即可解釋為在除開之外的因素保持不變時，每增加一個單位，即為y的平均增加幅度，，埋深每增加1米底板破壞深度平均增加0.019米，埋深增加100米時，底板破壞深度平均增加幅度為1.9米。

2.2 對回歸方程做顯著性檢驗

為觀察自變量x從整體上對隨機變量y是否產(chǎn)生了明顯的影響，利用F檢驗，提出原假設H0

若沒有足夠的理由拒絕H0，則說明隨機變量y與自變量x之間的關系不適合用線性回歸模型表示，利用總離差平方和的分解式[10]

簡寫為

構造F檢驗統(tǒng)計量[11]

在正態(tài)假設下，當原假設，成立，F(xiàn)服從自由度為的F分布，在本例中，n=30，p=4，取顯著性水平，在上述選模型中，F(xiàn)值=31.75，對應的P值為，由此可判斷，選回歸模型的回歸方程在整體上是顯著的，即做出這4個自變量整體對因變量產(chǎn)生的顯著線性影響的判斷所犯錯誤的概率是極低的。

2.3 對線性回歸方程做方差分析

利用R語言將方差分析具體到每個自變量，并通過P值可以看出每個自變量y對因變量是否產(chǎn)生顯著的影響，從上述結果看出，在回歸方程中，x1和x4相較x2和x4產(chǎn)生較為顯著的影響（顯著性水平），這與回歸方程整體的顯著性檢驗是一致的[12]。

2.4 中心化和標準化求出標準化回歸系數(shù)

在多元線性回歸分析中，因涉及多個變量，自變量的單位和數(shù)量級往往不同，給進行結構分析帶來一定的困難，數(shù)據(jù)量級懸殊過大會導致出現(xiàn)較大誤差。故在進行結構分析時，需要對數(shù)據(jù)進行如下處理

中心化：

標準化：

利用R語言中的QuantPsyc包，使用lm.beta（）即可得到各因素的標準化回歸系數(shù)如下：

相應的標準化回歸方程為：

從標準化回歸系數(shù)可以看出對y影響最大的因素是x1，其次是x2，表示底板破壞深度每增加1%，埋深會平均增加0.6163%，傾角會增加0.1%，工作面斜長增加0.455%，而底板抗破壞能力會降低0.13%，因為自變量是客觀存在的，這樣的解釋在實際中是行不通的，因此只能作為判斷的依據(jù)，實際預測必須采用理論回歸方程[13]。

2.5 應用理論回歸方程做出預測

在張文泉擬合的底板破壞公式中，在分析誤差的時候，不應利用原始數(shù)據(jù)推導出的擬合公式去預測與原始數(shù)據(jù)的誤差，得到的誤差也只是基于擬合公式的自擬合度。利用其去預測其他數(shù)據(jù)則會產(chǎn)生過擬合現(xiàn)象，導致誤差擴大，而應利用新的數(shù)據(jù)去做預測來驗證模型的可靠性。筆者在施龍青等人基于GWO改進的PCA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡預測模型的數(shù)據(jù)中應用多元回歸模型，得到表6。

由表6可以看到，30個煤礦預測的平均相對誤差為21.7%，這與其他方法所建立的模型誤差基本一致，因為還有諸如構造、水壓等因素影響底板破壞深度，故這個誤差是完全可以接受的。30個煤礦預測的平均絕對誤差僅為-0.31m，雖然每個煤礦的地質、開采等條件不一樣，但還是基本符合所建立的選回歸模型，說明模型的效果是非常貼合實際的。

3 、總結

1.灰色關聯(lián)算法簡單，便于計算，但區(qū)分度不夠顯著且不能用于非線性數(shù)據(jù)，適合用于數(shù)據(jù)的初步判斷和觀測，在預測煤層低板深度時不能夠深入分析各元素之間的相關程度。

2.回歸分析可以有效彌補灰色關聯(lián)的缺點，結合相關分析可以篩選出影響因素中主要相關因素，對數(shù)據(jù)采用非線性變換還可應用于非線性數(shù)據(jù)，從而構建具有較高顯著性的選回歸模型，從各角度揭示了埋深、傾角、工作面斜長等因素對于底板深度的影響程度。且模型應用較為簡單，便于應用到實際預測和驗證中。

3.在繪制簡單折線圖時，底板破壞深度隨埋深的震蕩現(xiàn)象不能排除是由周期性的影響，由于樣本量不足，需要進一步的研究。

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（作者單位：貴州大學礦業(yè)學院）