隨機Dirichlet級數在右半平面的廣義逼近

洪甜甜，霍穎瑩

（廣東工業(yè)大學 數學與統(tǒng)計學院，廣東 廣州 510520）

1 基本介紹

在Dirichlet級數增長性和相關方面，眾多數學工作者已經取得了一系列重要研究成果[1-4]。其中有很多關于整函數的研究，例如，Ritt定義了由Dirichlet級數所確定的增函數的級和下級，用來描述級數的增長性。隨后，2010年孔蔭瑩和甘會林[5]通過引入一族函數，定義了更精確的廣義級，并得到廣義級與其系數和指數之間的關系。另一方面，徐洪焱和易才鳳[6]從Dirichlet多項式估計Dirichlet級數時得到的誤差著手，探討了其與Dirichlet級數的級之間的關系。隨機Dirichlet級數本質上是一族Dirichlet級數。1932年，Paley和Zygmund研究了Steinhaus-Dirichlet級數和Rademacher-Dirichlet級數兩類以獨立隨機變量序列為系數的隨機Dirichlet級數的收斂性。隨后，余家榮[7]進一步討論了以獨立隨機變量序列為系數的隨機Dirichlet級數的收斂性問題。丁曉慶和肖益民[8]借助Dirichlet級數研究了系數為獨立且一致非退化的隨機Dirichlet級數的自然邊界問題。2012年，孔蔭瑩和霍穎瑩[9]在廣義級的基礎上，探討了一類以獨立隨機變量序列為系數的隨機Dirichlet級數的最大模與最大項指標之間的關系。但在現實中，獨立這一條件并不具有普遍性，而且也難以檢驗。自然的想法是，當隨機變量序列為非獨立時，隨機Dirichlet級數會具有什么性質？本文將在此基礎上，去研究一類系數是非獨立的隨機變量序列 φ混合序列的隨機Dirichlet級數的廣義逼近。其中，φ混合序列是由Ibragimov[10]引入的，表明了變量在指標之差趨于無窮時漸進獨立，關于其更多的性質可以參考文獻[10-11]。

下面給出與本文相關的定義與記號，為了方便起見，本文將C表示為一個常數，并且出現先后表示不同的常數。其他記號請參看文獻[1]。

定義1[1]設Dirichlet級數

式中：{bn} 是 一正實數數列，0 <λn↑∞,s=σ+it表示一復變量。

假設級數g(s)滿足

那么由式(3)和文獻[1]中引理3.1.1可得

式(3)、(4)中：Dh≤1。從而有

若令σc, σu, σa分 別表示級數g(s)的收斂、一致收斂和絕對收斂橫坐標，則由Valiron公式

可得

即級數g(s)在右半平面是收斂、一致收斂和絕對收斂的。因此，對于任意的 σ>0，可以分別定義級數g(s)的最大模、最大項以及最大項指標為

為了描述慢增長( ρ=0)整函數的增長性，下面引入廣義級和廣義型。令Λ 表示滿足以下兩個條件的函數α (x)所構成的集合。

條件1 α(x) 是定義在( ?∞, +∞)上的函數，當x≤0 時，α (x) 為常數；當x>0 時，α (x)為嚴格遞增，取值為正的可微函數。

條件2 令d 表示微分符號，存在p∈N，使得

式中：l n[p]x=ln[p?1]lnx。

定義2[12]設α (x)∈Λ ，則級數g(s)的廣義級為

若ρ ∈(0, ∞)，則級數g(s)的廣義型為

式中：β(lnx)=α(x) 。特別地，當α (x)=lnx時，廣義級和型分別為Ritt級和Ritt型。此外，根據參考文獻[12]中的引理2.3可知，對于級數g(s)，當E∈(0,∞)時，有

為了證明本文所得到的結論，在這里將構造與級數相應的Newton多邊形，并得到與級數式(1)具有相同廣義級和廣義型的Dirichlet級數。具體作法如下。

第1步 取定σ >0 ，過XOY平面上點列

中的每一點，作斜率為 ?σ的直線，進而可以得到斜率為? σ的直線所構成的集合

由于每一條直線都對應一個在y軸的截距，因此可以得到級數g(s)在 σ 時的最大項滿足

第2步 根據 σ的任意性，便可以得到對于任意的一個σ >0 ，級數g(s)的 最大項m(σ,g)和最大項指標n(σ)。又n(σ)為 關于σ 的增函數，從而為階梯函數且至多只有可數個間斷點，其間斷點集記為 {σl}，相應地，n(σl)=nl+1。最后再通過依次連接最大項指標所對應的點

便得到級數g(s)所 對應的Newton多邊形Π (g)。

由Newton多邊形 Π (g) 的作法，不難發(fā)現Π (g)的頂點是點列 {An} 中 的部分點，因此不妨設Π (g)的頂點為

若令

則

此外，由 σl的作法可知，對于任意的σ >0，存在σl和σl+1，使得σ ∈(σl+1,σl]，有n(σ)=nl。

從而得到級數

式中：{nl}?{n} ，則對于任意的正數σ ，存在 σl，滿足σ ∈(σl+1,σl]，從而

即級數g(s)和g(s)有相同的廣義級和廣義型。

下文還需要給出級數誤差的定義。

定義3[6]令 ?k表示階數不大于k的所有Dirichlet多項式所構成的集合，則對于任意給定的α(0<α<∞)和 正整數n，可以定義級數g(s)的誤差為

為了證明本文提出的結論，還要給出φ 混合序列的定義。

定義4[10]{Xn}是 定義在概率空間( ?,F, P)上的復值隨機變量，P 為F上的概率，對于任意的n,m∈N，當n→∞時，若

則稱{Xn}是 φ 混合序列，其中

為σ 域。

通過φ 混合序列的定義不難發(fā)現，如果對于任意的n∈N ，都滿足φ (n)=0 ，那么對于任意的A∈Fm0,B∈，可以得到

即隨機序列{Xn}獨立。

定義5[1]設隨機Dirichlet級數

式中：0<λn↑∞,s=σ+it(σ,t∈R)，{Xn}是定義在概率空間( ?,F, P)上 的φ 混 合序列，并且滿足( MZ)*[13]條件，即對于任意的正整數n，存在正數d1，使得

本文假設隨機Dirichlet級數fω(s)滿足式(2)、(3)、(6)，那么對于級數fω(s)而言，可以得到有關于它的收斂性的結論。

定理1對于任意的ω ∈?, a.s.，級數fω(s)在右半平面上收斂、一致收斂、絕對收斂，即

式中：σc(ω)，σu(ω)，σa(ω) 分別為級數fω(s)的收斂、一致收斂和絕對收斂橫坐標。

此外，本文還得到誤差與級之間的關系。

定理2對于任意的 ω ∈?, a.s.，級數fω(s)和g(s)的偏差在右半平面上的廣義級一致，即

(1) 當p=1時，

(2) 當p=2, 3, ···時，

定理3若級數fω(s) 的 廣義級ρ ∈(1,∞)，則對于任意的ω ∈?, a.s.，級數fω(s)和g(s)的誤差在右半平面上的廣義型一致，即

推論1設級數fω(s)滿足式(2)、(3)、(6)，則對于任意的ω ∈?, a.s.，有

(1) 當p=1時，

(2) 當p=2, 3, ···時，

推論2設級數fω(s)滿足式(2)、(3)、(6)，并且級數fω(s) 的 廣 義 級ρ ∈(1,∞) ，則 對 于 任 意 的ω ∈?,a.s.，有

2 一些引理

引理1[14]若 {Xn}是 φ 混合序列，并且滿足式(6)，則對于任意的 ω ∈?, a.s.，存在N(ω)>0 ，當n>N(ω)時，有

且對于{Xn}的任意子列{Xnk}，有

為了證明所提出的結論，還需要用到誤差與系數、最大項之間的關系。

引理2[6]若級數g(s)滿足式(2)、(3)，那么對于任意的n∈N ，任意的α (0<α<∞)以及充分小的正數，有

式中：T是與σ ,n無關的常數。

其次，廣義級函數有以下性質。

引理3[12]設α (x)∈Λ，則

(1) 對于任意的正數C1,C2以 及實數A：

(2) 對于任意的0

(3) 當p=1時 ，對任意A>0，存在使得

證明 對于該引理(1)、(2)的證明，可以參考文獻[12]中的引理2.2。下證明(3)、(4)。

首先，由α (x)的性質

可知，對任意正數δ，存在X(δ)>0，當x>X(δ)時，

下文先證明引理3(3)。

下文再證明引理3(4)。

又由引理3(2) 可得

證畢。

引理4 對于級數fω(s) ，當E∈(0,∞)時，對于任意的ω ∈?, a.s.，

證明 與參考文獻[12]中的引理2.3類似，此處不再證明。

引理5[15]級數g(s)滿足式(2)、(3) ，則

(1) 當p=1時：

(2) 當p=2, 3, ···時：

最后，還需要用到以下結論。

引理6[7]設b, σ ∈(0,+∞)，則函數

3 定理證明

定理1證明 首先由式(4) ，即

和式(7)可知，對于任意的 ε>0 和任意的ω ∈?, a.s.，存在N1∈N ，當n>N1時，

其次由式(8)可知，序列{Xn}存 在一子列{Xnk}滿足

因此，有

最后由Valiron公式可得

證畢。

定理2證明 首先，根據引理4可知，對于任意的ω ∈?, a.s.，M(σ,fω) 可 以用m(σ,fω)替換。

下記An,α(g,α)=En?1(g,α)eλnα。并令

則對任意的正數ε ，存在N(ε)>0 ，使得當n>N(ε)時，有

再由引理2可得

最后由式(7)和式(4)可得，對于任意的 ε >0，存在N(ε)>0，使得當n>N(ε)時 ，對任意的ω ∈?, a.s.，有

情形(1) 當p=1時 ，首先由α (x)的單調性，引理

其次，由α (x)的性質

可知，對于任意的正數 δ ，存在N(δ)>0，使得當n>N(δ)時，有

最 后，當 σ>0 充 分 小時，有n(σ)>N(ε)，由α(x) 的單調性以及引理3(1) 可得，對于任意的ω ∈?，a.s.，有

且

因此，當σ >0充分小時，

當σ >0充分小時，令

則對任意n>N(ε)，當λn≤H時，有

所以對于任意的n>N(ε)，式(12)成立，因此對于任意的ω ∈?，a.s.，有

下證等式成立。

情形(1) 由Newton多邊形作法和引理5(1)可知，存在級數式(5)，滿足

并記n(σl)=nl。記

此外，由式(8)可知，存在 ?0滿足P (?0)=0，使得對任意的ω ∈(???0)，有

并且由 P(Fε0)>0 得，( ???0)∩Fm0≠?。從 而 存在ω0∈(???0)∩Fm0，對序列{Xnl(ω0)}存在的子列，不妨仍記為{Xnl(ω0)}，滿足

從而

即

因此

與式(13)式矛盾。證畢。

情形(2) 同情形1證明類似，此處不再證明。

定理3證明 首先由引理4可知，對于任意的ω ∈?，a.s.，M(σ,fω) 可以用m(σ,fω)替換。

下記An,α(g,α)=En?1(g,α)eλnα。并令

則對于任意的正數ε ，存在N(ε)>0 ，使得當n>N(ε)時，有

又由引理2可得

最后由式(4)，即

和式(17)可得，對于任意的ε >0 ，存在N(ε)>0，使得當n>N(ε) 時 ，對任意的ω ∈?, a.s.，有

由于 β(lnx)=α(x)，因此由引理3(4) 以及式(15)可得，存在 00，存在N(ε)>0 ，使得當n>N(ε) 時，對于任意的ω ∈?, a.s.，有

且

因此，當σ >0充分小時，

當σ >0充分小時，令

則對任意n>N(ε)，當λn≤H時，有

所以對任意n>N(ε)，式(16)成立，因此對于任意的ω ∈?, a.s.，有

下證等式成立。由Newton多邊形作法和引理5(3)可知，存在級數式(5)，滿足

再選取序列{ σ}的 子列{ σl}，使得

并記n(σl)=nl，記

若 P(F>0 ，則存在ε0>0 ，使得P (Fε0)>0成立，即對于任意的ω ∈Fε0，有

此外，由式(8)可知，存在 ?0滿足P (?0)=0，使得對任意的ω ∈(???0)，有

且 由 P(Fε0)>0 得，( ???0)∩Fm0≠?。從 而 存 在ω0∈(???0)∩Fm0，對序列{Xnl(ω0)}存在的子列，不妨仍記為{Xnl(ω0)}，滿足

從而

即

因此

與式(17)矛盾。證畢。