基于PID代價(jià)函數(shù)的魯棒型永磁同步電機(jī)模型預(yù)測(cè)控制

劉錫均，谷愛(ài)昱，龐城潔

（廣東工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，廣東 廣州 510006）

永磁同步電機(jī)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、工作效率高和寬調(diào)速范圍等優(yōu)點(diǎn)，在電動(dòng)汽車(chē)領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用[1-2]。為了提高PMSM系統(tǒng)的控制性能衍生出很多先進(jìn)控制算法，近年來(lái)有限集模型預(yù)測(cè)控制受到越來(lái)越多的關(guān)注[3-4]。FCS-MPC具有簡(jiǎn)單的控制結(jié)構(gòu)、直觀的控制原理和其目標(biāo)函數(shù)可實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)協(xié)同控制等優(yōu)點(diǎn)[5-6]，F(xiàn)CS-MPC對(duì)控制量的預(yù)測(cè)是實(shí)現(xiàn)控制的前提，代價(jià)函數(shù)對(duì)控制目標(biāo)有著決定性意義，因此，通過(guò)對(duì)代價(jià)函數(shù)的改進(jìn)可實(shí)現(xiàn)不同的優(yōu)化目標(biāo)[7]。但FCS-MPC的控制性能高度依賴模型參數(shù)，存在參數(shù)魯棒性較差的問(wèn)題。目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者主要是圍繞多目標(biāo)協(xié)同開(kāi)展研究[8-10]，而關(guān)于系統(tǒng)參數(shù)魯棒性問(wèn)題的研究并不多。在另一方面，為了滿足電動(dòng)汽車(chē)用PMSM系統(tǒng)寬調(diào)速范圍的需求，控制策略通常在基速以下采用最大轉(zhuǎn)矩電流比(Maximum Torque Per Ampere，MTPA)控制；基速以上，通過(guò)弱磁控制實(shí)現(xiàn)電機(jī)轉(zhuǎn)速進(jìn)一步的提高[11]。在這過(guò)程中，尤其是高速弱磁區(qū)，PMSM的電感會(huì)隨著磁路飽和程度變化，電阻和永磁體磁鏈隨著溫度變化，這些電機(jī)參數(shù)的變化會(huì)導(dǎo)致FCS-MPC電流控制誤差變大，影響系統(tǒng)的控制性能[12]。

為了提高FCS-MPC在PMSM控制系統(tǒng)的參數(shù)魯棒性，文獻(xiàn)[13]采用基于預(yù)測(cè)誤差補(bǔ)償?shù)牟呗?，?dāng)PMSM的參數(shù)失配時(shí)，通過(guò)在線誤差補(bǔ)償實(shí)現(xiàn)模型預(yù)測(cè)電流的準(zhǔn)確性。但是該策略的預(yù)測(cè)誤差信息需要更新，會(huì)出現(xiàn)停滯的狀態(tài)導(dǎo)致預(yù)測(cè)電流不準(zhǔn)確的問(wèn)題。文獻(xiàn)[14]針對(duì)FCS-MPC策略高度依賴預(yù)測(cè)模型而參數(shù)失配會(huì)導(dǎo)致預(yù)測(cè)誤差變大的問(wèn)題，提出基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(Expansion State Observer, ESO)的預(yù)測(cè)誤差補(bǔ)償方案，該方法采用兩步預(yù)測(cè)流程，利用ESO觀測(cè)的結(jié)果構(gòu)建延遲補(bǔ)償?shù)念A(yù)測(cè)模型，但增大了預(yù)測(cè)環(huán)節(jié)的計(jì)算量。文獻(xiàn)[15]引入了電感參數(shù)辨識(shí)的方法，對(duì)電機(jī)電感參數(shù)進(jìn)行在線辨識(shí)，通過(guò)實(shí)時(shí)調(diào)整電機(jī)電感提高模型參數(shù)的準(zhǔn)確度，從而得到良好的控制性能。然而電機(jī)的參數(shù)除了電感，還有電阻、永磁體磁鏈等，同時(shí)辨識(shí)全部參數(shù)會(huì)產(chǎn)生欠秩問(wèn)題，因此采用參數(shù)辨識(shí)的方法一般只是辨識(shí)幾個(gè)關(guān)鍵的參數(shù)，并且其辨識(shí)精度也會(huì)受到多方面的因素影響，如飽和、逆變器死區(qū)等，使得該方法在實(shí)際上很難精確。文獻(xiàn)[16]針對(duì)FCS-MPC參數(shù)敏感的問(wèn)題，提出一種PID型代價(jià)函數(shù)的FCS-MPC改善系統(tǒng)的控制性能，但只是研究基速以下的情況，并未涉及高速弱磁區(qū)的PMSM系統(tǒng)參數(shù)敏感性的問(wèn)題。

為了解決基于FCS-MPC的PMSM系統(tǒng)參數(shù)敏感性問(wèn)題，本文提出將基于PID型代價(jià)函數(shù)的FCSMPC(簡(jiǎn)稱PID-MPC) 應(yīng)用在PMSM弱磁控制中。在低速M(fèi)TPA區(qū)和高速弱磁區(qū)預(yù)測(cè)模型參數(shù)失配時(shí)，PID-MPC分別通過(guò)代價(jià)函數(shù)的積分誤差項(xiàng)和微分誤差項(xiàng)抑制電流穩(wěn)態(tài)誤差和電流紋波誤差，不僅提升了FCS-MPC控制系統(tǒng)的參數(shù)魯棒性，還保留了傳統(tǒng)FCS-MPC的良好動(dòng)態(tài)性能。

1 PMSM的數(shù)學(xué)模型及弱磁控制原理

1.1 PMSM數(shù)學(xué)模型

為了建立PMSM的d、q軸數(shù)學(xué)模型，首先假設(shè)：(1) 忽略鐵心的飽和；(2) 不計(jì)渦流和磁滯損耗；(3) 定子電流為對(duì)稱的三相正弦波電流。

由此可得到PMSM在d-q坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型。

電壓方程為

電磁轉(zhuǎn)矩方程為

式中：ud、uq分別為d、q軸電壓；id、iq分別為d、q軸電流；Ld、Lq分別為d、q軸電感；Rs為定子電阻；ωe為轉(zhuǎn)子的電角速度；ψf為轉(zhuǎn)子永磁體磁鏈；pn為電機(jī)極對(duì)數(shù)。

1.2 弱磁控制原理

PMSM弱磁控制的思想是利用氣隙磁場(chǎng)的電樞反應(yīng)，通過(guò)調(diào)節(jié)定子電流的分配來(lái)削弱主磁場(chǎng)，增加電機(jī)的d軸去磁電流分量和減少q軸電流分量來(lái)維持電機(jī)在高速運(yùn)行中的電壓平衡的關(guān)系，即弱磁控制。

由于受逆變器的最大電壓Umax輸出能力和所允許最大電流Imax限制，在d-q坐標(biāo)系下，PMSM的電流、電壓約束方程為

式中：is、us分別為電機(jī)定子電流和電壓。

當(dāng)PMSM在高速運(yùn)行時(shí)，電機(jī)的電阻遠(yuǎn)小于電抗，因此可忽略Rs以及電阻上的壓降，可得高速時(shí)穩(wěn)態(tài)電壓方程為

將式(5) 代入式(4) 中，可得電壓橢圓方程為

如圖1所示，建立id-iq坐標(biāo)系，由式(3) 電流約束方程，可畫(huà)出以原點(diǎn)O為圓心，電流Imax為半徑的電流極限圓；由式(6) 電壓橢圓方程，可畫(huà)出以點(diǎn)C(ψf/Ld,0) 為中心，隨著轉(zhuǎn)速升高而向點(diǎn)C縮小的電壓極限橢圓。

圖1 定子電流控制軌跡Fig.1 Stator current control trajectory

電機(jī)在基速以下運(yùn)行時(shí)，采用最大轉(zhuǎn)矩電流比控制，即工作點(diǎn)在OA曲線段上。當(dāng)電機(jī)在基速以上運(yùn)行時(shí)，采用弱磁控制，通過(guò)負(fù)向增大id來(lái)減小主磁場(chǎng)，此時(shí)弱磁工作點(diǎn)沿著電流極限圓AD線段移動(dòng)。

2 永磁同步電機(jī)FCS-MPC電流控制

2.1 預(yù)測(cè)模型

用歐拉法將式(1) 進(jìn)行離散化處理后的PMSM預(yù)測(cè)模型為

式中：Ts為采樣周期；上標(biāo)p是預(yù)測(cè)值；id(k)、iq(k)為k時(shí)刻d、q軸的電流值；ud(k)、uq(k)為k時(shí)刻d、q軸的電壓值，可由Park變換得到

式中：θ是轉(zhuǎn)子的電角度。α 、β 坐 標(biāo)系下的電壓uα和uβ可由逆變器開(kāi)關(guān)狀態(tài)表1得到。

表1 逆變器開(kāi)關(guān)狀態(tài)表Table 1 Switching table of inverter

在微控制器實(shí)際工作時(shí)，控制算法與采樣周期有2個(gè)周期的延遲時(shí)間，考慮到系統(tǒng)延遲對(duì)電機(jī)性能的不利影響，對(duì)系統(tǒng)采用延時(shí)補(bǔ)償策略，由式(7)預(yù)測(cè)k+2時(shí)刻的電流為

2.2 傳統(tǒng)代價(jià)函數(shù)

傳統(tǒng)代價(jià)函數(shù)為

根據(jù)式(8) 預(yù)測(cè)逆變器8組開(kāi)關(guān)狀態(tài)下的電流值，代入式(10) 評(píng)估，傳統(tǒng)代價(jià)函數(shù)的FCS-MPC選擇代價(jià)函數(shù)最小值所對(duì)應(yīng)的開(kāi)關(guān)狀態(tài)作為最優(yōu)解，并在下一個(gè)周期輸出。

由上分析可知，傳統(tǒng)的代價(jià)函數(shù)的目標(biāo)是使預(yù)測(cè)電流與給定電流的控制誤差最小的點(diǎn)，但未考慮電機(jī)預(yù)測(cè)模型的精確，在電機(jī)運(yùn)行中，電機(jī)的電感會(huì)隨著磁路飽和程度而變化，電阻和永磁體磁鏈會(huì)隨著溫度而變化，在弱磁高速區(qū)，電感的耦合程度加深。這些參數(shù)的不確定會(huì)導(dǎo)致預(yù)測(cè)電流值與參考電流值的控制誤差增大。因此，在考慮上述問(wèn)題的情況下，提出采用PID型代價(jià)函數(shù)改善在弱磁控制時(shí)電機(jī)參數(shù)敏感對(duì)控制性能的影響。

2.3 PID型代價(jià)函數(shù)

其思想來(lái)自于PID控制器，控制輸出是由3部分之和組成：比例控制能迅速反映誤差，從而減小誤差，但比例控制不能消除穩(wěn)態(tài)誤差；積分控制作用就不斷地積累，輸出控制量以消除穩(wěn)態(tài)誤差；微分控制能預(yù)測(cè)電流誤差的趨勢(shì)，對(duì)預(yù)測(cè)電流誤差進(jìn)行補(bǔ)償。

對(duì)電流控制誤差的積分項(xiàng)I后向差分方程為

式中：Id(k)、Iq(k)分 別為d、q軸電流誤差的積分項(xiàng)，kI是積分增益系數(shù)。在傳統(tǒng)代價(jià)函數(shù)中加入該積分項(xiàng)，在理論上電流控制誤差積分項(xiàng)I能夠徹底消除穩(wěn)態(tài)誤差，但在實(shí)際情況下，不可能完全消除穩(wěn)態(tài)誤差，只能降低系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

紋波誤差是由電機(jī)模型預(yù)測(cè)不準(zhǔn)確而產(chǎn)生的電流變化率的預(yù)測(cè)誤差所致，且該預(yù)測(cè)誤差不能通過(guò)積分項(xiàng)I來(lái)消除。此外，由于FCS-MPC的控制量不連續(xù)，不能用傳統(tǒng)PID中的微分項(xiàng)來(lái)預(yù)測(cè)，但FCSMPC的代價(jià)函數(shù)中包含預(yù)測(cè)輸出值與給定值的偏差項(xiàng)，可采用低通濾波器函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)給定值柔化，避免給定值的變化導(dǎo)致控制作用過(guò)于激進(jìn)，系統(tǒng)超調(diào)大。因此，根據(jù)紋波誤差的原理，將每個(gè)采樣周期單位變化電流導(dǎo)致的預(yù)測(cè)誤差作為電流控制誤差的微分項(xiàng)的系數(shù)D，即

式中：kD為微分增益系數(shù)；LPF是低通濾波器函數(shù)。

當(dāng)采用的是一階低通濾波時(shí)，可知其LPF的差分表達(dá)式為

式中：α為濾波器系數(shù)。因此，微分項(xiàng)D為系數(shù)D′與預(yù)測(cè)電流變化量的乘積，即

因此，PID型代價(jià)函數(shù)為

式中：Pd(k)、Pq(k)分別為傳統(tǒng)函數(shù)中d、q軸電流誤差項(xiàng)，即

采用基于PID-MPC的弱磁控制系統(tǒng)框圖如圖2所示，與傳統(tǒng)的代價(jià)函數(shù)的FCS-MPC相比，改變了代價(jià)函數(shù)的評(píng)估式和添加了虛線框里的誤差代價(jià)運(yùn)算部分，PID-MPC不僅保留FCS-MPC的特點(diǎn)，還能在參數(shù)失配時(shí)降低電流穩(wěn)態(tài)和紋波誤差，提高系統(tǒng)的參數(shù)魯棒性。

圖2 基于PID-MPC的弱磁控制系統(tǒng)框圖Fig.2 Block diagram of flux-weakening control system based on PIDMPC

3 仿真結(jié)果分析

為了驗(yàn)證所提出的PID-MPC在弱磁控制中對(duì)電流控制誤差的抑制作用以及提高控制系統(tǒng)的參數(shù)魯棒性，在Matlab/Simulink進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，仿真結(jié)果將與傳統(tǒng)代價(jià)函數(shù)的FCS-MPC和PID-MPC進(jìn)行比較，其中仿真模型的參數(shù)如表2所示。

表2 仿真模型的參數(shù)Table 2 Parameters of simulation model

仿真時(shí)電機(jī)轉(zhuǎn)速由0 r/min到6 000 r/min給定，負(fù)載由空載開(kāi)始，在0.5 s時(shí)負(fù)載轉(zhuǎn)矩由空載變成額定負(fù)載轉(zhuǎn)矩20 N·m，當(dāng)速度達(dá)到6 000 r/min時(shí)保持不變。對(duì)比傳統(tǒng)代價(jià)函數(shù)的FCS-MPC和PID-MPC在永磁同步電機(jī)弱磁控制中的性能，仿真結(jié)果如圖3～5所示。

圖3 d軸和q軸電流仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of d- and q-axis current

3.1 動(dòng)態(tài)性能對(duì)比研究

PMSM控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能評(píng)估需要考慮3個(gè)關(guān)鍵方面，即穩(wěn)定時(shí)間、電流超調(diào)和轉(zhuǎn)矩響應(yīng)速度。對(duì)基于傳統(tǒng)代價(jià)函數(shù)FCS-MPC和PID-MPC的永磁同步電機(jī)弱磁控制進(jìn)行對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)。如圖3所示，在0.5 s時(shí)d-q軸電流階躍響應(yīng)結(jié)果反映了所采用的PIDMPC和傳統(tǒng)代價(jià)函數(shù)的FCS-MPC之間的明顯差異，盡管2種方案都能很好地跟蹤給定電流的命令并沒(méi)有超調(diào)，但PID-MPC的電流響應(yīng)更快。在0.5 s時(shí)負(fù)載轉(zhuǎn)矩發(fā)生突變，轉(zhuǎn)矩階躍響應(yīng)的結(jié)果如圖4所示，2種代價(jià)函數(shù)算法轉(zhuǎn)矩都能準(zhǔn)確跟蹤給定轉(zhuǎn)矩值并沒(méi)有超調(diào)，但PID-MPC的轉(zhuǎn)矩響應(yīng)調(diào)節(jié)更快，而且轉(zhuǎn)矩波動(dòng)更小。如圖5所示，在0.5 s時(shí)由于負(fù)載轉(zhuǎn)矩突變，速度會(huì)有輕微的波動(dòng)，局部放大圖可以看出PIDMPC的轉(zhuǎn)速波動(dòng)更小。以上分析表明了PID-MPC具有快速響應(yīng)的能力，并提高了系統(tǒng)對(duì)負(fù)載轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)的魯棒性。

圖4 轉(zhuǎn)矩仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of torque

圖5 轉(zhuǎn)速仿真結(jié)果Fig.5 Simulation results of speed

3.2 穩(wěn)態(tài)性能對(duì)比研究

為了進(jìn)一步驗(yàn)證該算法在PMSM弱磁控制中，可以抑制電流預(yù)測(cè)誤差，提高電流控制精度的作用，比較了2種控制器在6 000 r/min時(shí)的電流預(yù)測(cè)平均誤差，如圖6所示。傳統(tǒng)FCS-MPC的d-q軸電流預(yù)測(cè)平均誤差為1.003 5 A和0.910 3 A；PID-MPC的電流預(yù)測(cè)平均誤差分別是0.523 4 A和0.502 5 A。而且傳統(tǒng)FCSMPC的q軸電流預(yù)測(cè)誤差在弱磁過(guò)程中有較大的波動(dòng)。

圖6 q軸和d軸的電流預(yù)測(cè)誤差Fig.6 q- and d-axis current predictive errors

兩種方法的相電流波形如圖7所示，其相電流的總諧波畸變率(Total Harmonic Distortion, THD) 分別為9.66%和8.89%。由以上分析可知PID-MPC控制器電流預(yù)測(cè)誤差小，電流和轉(zhuǎn)矩的波動(dòng)也較小，表明PID-MPC預(yù)測(cè)模型更精確，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能更好。

圖7 相電流仿真結(jié)果Fig.7 Simulation results of phase current

3.3 參數(shù)魯棒性對(duì)比研究

為了驗(yàn)證PID-MPC對(duì)電機(jī)內(nèi)部參數(shù)變化具有較好的魯棒性，對(duì)傳統(tǒng)的代價(jià)函數(shù)FCS-MPC和PIDMPC的參數(shù)魯棒性進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。當(dāng)電機(jī)在弱磁區(qū)運(yùn)行時(shí)，內(nèi)部電機(jī)參數(shù)會(huì)發(fā)生較大的變化，MPC性能影響較大的主要參數(shù)是電阻、電感和磁鏈，因此本節(jié)對(duì)比這3種參數(shù)分別變化時(shí)的電流控制誤差。定義電流平均誤差Eav和 方均根誤差ERMS為

式中：Ed(k)=i?d(k)?id(k)，Eq(k)=i?q(k)?iq(k)。

設(shè)定2 種參數(shù)為額定值，其中1 種參數(shù)在50%～150%的額定值范圍內(nèi)變化。如圖8所示，在相同運(yùn)行條件下，PID-MPC的電流控制誤差Eav和ERMS都小于傳統(tǒng)代價(jià)函數(shù)；當(dāng)電阻參數(shù)不匹配時(shí)，2種控制器電流控制誤差沒(méi)有明顯變化，表明都對(duì)電阻參數(shù)有較好的魯棒性；當(dāng)電感和磁鏈參數(shù)不匹配時(shí)，隨著參數(shù)不匹配程度增大，傳統(tǒng)代價(jià)函數(shù)MPC的電流控制誤差增大明顯，而PID-MPC對(duì)電感和磁鏈參數(shù)變化不敏感。以上分析說(shuō)明，PID-MPC在永磁同步電機(jī)弱磁控制中對(duì)電感、磁鏈和電阻參數(shù)都具有較好的魯棒性，具有較小的電流控制誤差。

圖8 傳統(tǒng)的MPC與PID-MPC的平均控制誤差 Eav和 方均根控制誤差E RMS隨模型參數(shù)變化曲線Fig.8 Mean and RMS control error of traditional MPC and PID-MPC with parameter variations

4 結(jié)論

本文將PID-MPC應(yīng)用在PMSM弱磁控制中，解決基于傳統(tǒng)代價(jià)函數(shù)的FCS-MPC策略參數(shù)敏感性問(wèn)題。PID型代價(jià)函數(shù)在傳統(tǒng)代價(jià)函數(shù)基礎(chǔ)上，通過(guò)增加積分誤差代價(jià)降低穩(wěn)態(tài)電流控制誤差，增加微分誤差代價(jià)抑制紋波電流誤差，提高系統(tǒng)的參數(shù)魯棒性。仿真結(jié)果證明，基于PID-MPC的PMSM調(diào)速系統(tǒng)具有良好動(dòng)態(tài)性能和比傳統(tǒng)代價(jià)函數(shù)FCS-MPC更優(yōu)的參數(shù)魯棒性，適用于電動(dòng)汽車(chē)寬轉(zhuǎn)速范圍運(yùn)行。