說說勾股定理在解代數(shù)題中的妙用

彭敏

勾股定理是數(shù)形結(jié)合的一個(gè)典范.它把直角三角形有一個(gè)直角的“形”的特點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為三邊“數(shù)”的關(guān)系，因此，它不僅在解答平面幾何題中有著廣泛的應(yīng)用，而且在解代數(shù)題中也被廣泛應(yīng)用.在運(yùn)用勾股定理解答代數(shù)題時(shí)，首先必須對(duì)有關(guān)的代數(shù)式進(jìn)行幾何說明，解釋它的幾何意義，并作出相應(yīng)的圖形，進(jìn)而將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成幾何問題求解.下面就勾股定理在求解代數(shù)式的最值與求證不等式問題中的應(yīng)用舉例說明.

一、利用勾股定理求代數(shù)式的最小值對(duì)于形如x2 + a +（m - x）2 + b 的二次根式求最小值的問題， 可以分別把 a，b 當(dāng)作a，b 的平方，然后再用勾股定理構(gòu)造直角三角形，利用兩點(diǎn)之間線段最短，將求原代數(shù)式的最小值問題轉(zhuǎn)化為求兩線段的和的最小值問題.

說明：利用勾股定理求代數(shù)式的最值問題，其關(guān)鍵在于要從問題的背景出發(fā)，根據(jù)題設(shè)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出相應(yīng)的圖形進(jìn)行求解.若能構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)闹苯侨切危瑒t求原代數(shù)式的最小值問題便轉(zhuǎn)化為求兩線段的和的最小值問題了.

二、利用勾股定理證明不等式

對(duì)于某些不等式證明問題，通過代數(shù)途徑求解不易入手時(shí)，同學(xué)們可以根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相應(yīng)的幾何圖形，并借助幾何圖形的特征、規(guī)律、性質(zhì)來證明.對(duì)于含有根式的不等式可以聯(lián)想到勾股定理，構(gòu)造直角三角形，將不等式中的各個(gè)代數(shù)式看作是直角三角形的兩條直角邊和斜邊，利用三角形的三邊關(guān)系證明不等式的結(jié)論.

點(diǎn)評(píng)：構(gòu)造幾何圖形也是證明不等式的一種手段.根據(jù)根號(hào)下兩數(shù)的平方和，聯(lián)想到勾股定理，構(gòu)造直角三角形，將不等式的求證結(jié)論看作是求證三角形中兩邊之和大于第三邊或兩邊之差小于第三邊，從而利用圖形的基本性質(zhì)解題.

許多代數(shù)題的結(jié)構(gòu)、形式都滲透著“幾何”的氣息.若能將抽象復(fù)雜的代數(shù)關(guān)系通過幾何圖形直觀形象地展現(xiàn)出來，往往可獲得顯而易見的等量關(guān)系或不等關(guān)系，從而借助幾何性質(zhì)，使問題變得直觀明了．