怎樣找出圖形變化的規(guī)律

陳興華

圖形變化問題就是觀察一組由簡到繁的圖形的變化過程，然后歸納猜想，找出一般規(guī)律，進(jìn)而列出通用的代數(shù)式的一類問題.我們在解答這類問題時，需從第 1、2、3 個甚至更多個簡單圖形開始，分析其變化規(guī)律，然后借助代數(shù)式推算出后面更復(fù)雜圖形的變化形式，從而得出結(jié)果.圖形規(guī)律題通常分為“同增幅”與“變增幅”兩大類，下面舉例予以說明.

一、“同增幅”圖形的變化規(guī)律

“同增幅”圖形是指相鄰兩個圖形增加的量是相同的，即增幅相等.我們可以借助“做標(biāo)記”的方法找出相同增幅，從而將圖形變化規(guī)律轉(zhuǎn)化為數(shù)字變化規(guī)律，并將數(shù)量關(guān)系用代數(shù)式表示出來.

1.單一增加型

單一增加型是指圖形的變化是以某一個小整體依次連續(xù)不斷的增加組成的.解答的策略即先觀察分析遞增的組合圖， 然后用作差法確定圖形變化的增幅，進(jìn)而探尋圖形的變化規(guī)律.

例1 圖1為一組有規(guī)律的圖案，第1個圖案由4個基礎(chǔ)圖形構(gòu)成，第2個圖案由7個基礎(chǔ)圖形構(gòu)成，……，第 n（n 為正整數(shù)）個圖案中由__________個基礎(chǔ)圖形構(gòu)成.

分析：該圖案每兩個之間增加的圖形是相同的，即其增加的“幅度”是相等的.可以通過“做標(biāo)記”

（如圖1-1所示）的方法將其增加部分表示出來.這樣就可以清楚地看出增加的部分是相同的.然后利用歸納和推理找出其中的規(guī)律.圖1-1

解：通過觀察和歸納發(fā)現(xiàn)：

第1個圖案：4個基本圖形；

第2個圖案：4個基本圖形+3個基本圖形（陰影標(biāo)注），共4+3個基本圖形；

第3個圖案：4個基本圖形+3個基本圖形（陰影標(biāo)注）+3個基本圖形（空心標(biāo)注），共4+3+3=4+2×3個基本圖形；

……

由此可以推理出：

第 n 個圖案：4 個基本圖形+3 個基本圖形+…+3 個基本圖形，共 4+3+…+3=4+（n-1）×3=3n+1個基本圖形；所以，第 n 個圖案由（3n+1）個基本圖形組成.

評注：單一增加型圖形的變化規(guī)律比較明顯，同學(xué)們只需要耐心地畫出兩個相連圖案之間的增幅，通過觀察、歸納和整理即可解題.

2.成倍增加型

這類圖形不是以圖形的整體增加組成，而是圖形各部分依次成倍地增加，通常很難快速找出增量，需要仔細(xì)觀察，慢慢分析才可以找到突破口.解答這類問題應(yīng)分步思考：第一步，把每次增加的部分表示出來；第二步，各部分相加表示出整體；第三步，確定增幅，找出規(guī)律.

例 2 如圖 2，每個圖形都是由若干個棋子圍成的正方形圖案，圖案的每條邊（包括兩個頂點）上都有 n（n≥2）個棋子，每個圖案的棋子總數(shù)為S，按下圖的分布規(guī)律推斷，S與n之間的關(guān)系可以用式子_________去表示.

分析：此題的圖案是正方形，仔細(xì)觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，第2個圖案四條邊各增加一個棋子，第3個圖案每條邊各增加2個棋子，增量構(gòu)成了邊長為“2”的正方形.各圖案間的增幅構(gòu)成規(guī)則的正方形，且相鄰圖形的增量是相等的，因此，此題可以轉(zhuǎn)化為求正方形周長問題.

解：用空心圓標(biāo)注圖案“增幅”如圖 2-1所示.

第1圖案：4個棋子

第 2 圖案：4 個棋子+4 棋子（空心），即共4+4個棋子；

第 3 圖案：4 個棋子+4 棋子（空心）+4 棋子（空心），即共4+2×4棋子；

第 4 圖案：4 個棋子+4 棋子（空心）+4 棋子（空心）+4棋子（空心），即共4+3×4個棋子；

……

由此可以推算出：

第 n 圖案：4 個棋子+4 棋子（空心）+…+4棋子（空心），即共4+（n-1）×4=4n個棋子；所以，S=4n.

評注：此類題的增幅雖然是“相同”的，但很容易讓人產(chǎn)生增幅不等的錯覺，同學(xué)們在研究分析圖形變化規(guī)律時，要準(zhǔn)確找出相鄰圖案間的“增幅”.

二、“變增幅”圖形的變化規(guī)律

“變增幅”圖形變化規(guī)律是指相鄰兩個圖形增加的量是不同的.這類問題比較復(fù)雜，我們需要仔細(xì)觀察圖案，首先借助“做標(biāo)記”的方法找到相鄰圖形之間的變化，并確定變化的增幅，然后找出增幅的數(shù)字變化規(guī)律，最后結(jié)合圖形中的不變量與增幅的變化規(guī)律得出圖形的變化規(guī)律.

例3 將一些半徑雷同的小圓按如下圖的規(guī)律擺放：第 1 個圖形有 6 個小圓，第 2 個圖形有10個小圓，第3個圖形有16個小圓，第4個圖形有 24 個小圓，……，依次規(guī)律，第 6 個圖形有_________個小圓.第n個圖形呢？

分析：此題圖案比較復(fù)雜，但細(xì)細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，每個圖案的四個角的小圓數(shù)量相等，屬于不變量.因此我們只需要找出中間小圓的變化規(guī)律即可解題.再次觀察圖案發(fā)現(xiàn)，中間的小球相鄰的圖案每增加一行，同時增加一列，構(gòu)成一個矩形，如圖3-1所示.

解：第 1 圖案：4 個球+2 球（中間），即共4+2=4+1×2個球；

第 2 圖案：4 個球+2×3 球（中間矩形），即共4+2×3個球；

第 3 圖案：4 個球+3×4 球（中間矩形），即共4+3×4個球；

第 4 圖案：4 個球+4×5 球（中間矩形），即共4+4×5個球；

……

由此可以推算出：

第 6 圖案：4 個球+6×7 球（中間矩形），即共4+6×7=46個球

……

第n圖案：4個球+n×（n+1）球（中間矩形）4+n×（n+1）= n2 +n+4個球.

評注：“變增幅”圖形比較復(fù)雜，規(guī)律比較難尋，但只要我們仔細(xì)觀察，找出“變”與“不變”的量，問題便可迎刃而解.

在解答圖形規(guī)律題時，同學(xué)們要多羅列出前幾個圖形的變化情況，找出變化趨勢，然后建立每一個圖形都符合的數(shù)量關(guān)系，這樣就抓住了解答這一類問題的核心.