2023年高考“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”復(fù)習(xí)指導(dǎo)

蔣海燕 甘志國(guó)

【摘要】為了高效復(fù)習(xí)備考，文章結(jié)合《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)》，并參考前幾年高考數(shù)學(xué)試卷的命制規(guī)律，對(duì)2023年高考數(shù)學(xué)“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”部分的熱點(diǎn)、重點(diǎn)和難點(diǎn)作簡(jiǎn)要分析，并編擬了46道試題供復(fù)習(xí)參考.

【關(guān)鍵詞】2023年高考；函數(shù)與導(dǎo)數(shù)；復(fù)習(xí)備考；試題；原創(chuàng)

2023年高考數(shù)學(xué)試卷的使用情況是除浙江有所調(diào)整外（2022年是自主命題，2023年使用新高考卷1），其余各省市區(qū)使用的試卷均與2022年保持一致［1］.

函數(shù)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的一條主線，導(dǎo)數(shù)又是研究函數(shù)的有力工具，因而“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的重要內(nèi)容之一.

涉及“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”的復(fù)習(xí)內(nèi)容很多，為了高效復(fù)習(xí)備考，本文將結(jié)合教育部制定的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)》［2］，并參考前幾年高考數(shù)學(xué)試卷的命制規(guī)律，對(duì)2023年的高考數(shù)學(xué)“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”部分的熱點(diǎn)、重點(diǎn)和難點(diǎn)作簡(jiǎn)要分析，并編擬了46道相關(guān)試題.

文章的敘述僅代表作者個(gè)人觀點(diǎn)，謹(jǐn)供讀者參考.

12023年數(shù)學(xué)高考“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”部分熱點(diǎn)、重點(diǎn)和難點(diǎn)分析

考生應(yīng)熟練掌握函數(shù)（尤其是冪、指、對(duì)等基本初等函數(shù)及三次函數(shù)）的概念、基本性質(zhì)（包括定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性與圖象），了解其他性質(zhì)（包括連續(xù)性、周期性、對(duì)稱性、有界性、可導(dǎo)性、凹凸性、極值與最值等）.函數(shù)最重要的性質(zhì)是單調(diào)性，若求出了一個(gè)函數(shù)的所有單調(diào)區(qū)間及其單調(diào)性，就可畫出該函數(shù)的圖象，進(jìn)而可得到該函數(shù)的極值、最值、值域等性質(zhì).

2023年函數(shù)高考重點(diǎn)：冪、指、對(duì)等基本初等函數(shù)的概念及基本性質(zhì)，尤其是函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性.

2023年函數(shù)高考熱點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)，求參數(shù)的取值范圍（往往需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論），多次求導(dǎo)（考生要能看出何時(shí)需要再求導(dǎo).導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的有力工具（重點(diǎn)是研究單調(diào)性），如果函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的性質(zhì)（主要是單調(diào)性）已經(jīng)很清楚了，就沒有必要再對(duì)函數(shù)f′（x）求導(dǎo)；否則，需對(duì)f′（x）再求導(dǎo).解答2021年高考數(shù)學(xué)天津卷第20（2）題時(shí)，需要對(duì)函數(shù)f（x）二次求導(dǎo)，還需要對(duì)函數(shù)f′（a）二次求導(dǎo)；解答2021年高考數(shù)學(xué)天津卷第20（3）題時(shí)，也需要多次求導(dǎo)），數(shù)學(xué)文化，新定義問題.

2023年函數(shù)高考難點(diǎn)：抽象函數(shù)問題，用導(dǎo)數(shù)研究與三角函數(shù)結(jié)合的函數(shù)，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，函數(shù)不等式問題，找點(diǎn)問題，極值點(diǎn)偏移問題，與整數(shù)相關(guān)的問題（比如文＼[1＼]的題13）.

2023年數(shù)學(xué)高考變化：純數(shù)字的比較大小問題可能會(huì)在選擇題中以難題的形式出現(xiàn)（比如下文的試題5，23）；《中國(guó)高考報(bào)告2023》［3］中還提出2023年數(shù)學(xué)高考的命題變化：數(shù)學(xué)的出題方式將加入復(fù)雜情景（比如下文的試題6，40），重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)思維方法的考查.

《中國(guó)高考報(bào)告2023》中還提出2023年數(shù)學(xué)高考命題的四大趨勢(shì)：落實(shí)立德樹人，鮮明體現(xiàn)時(shí)代主題；高考由“考知識(shí)”向“考能力”轉(zhuǎn)變；聚焦“關(guān)鍵能力”和“思維品質(zhì)”的考查；高考由“以綱定考”到“考教銜接”轉(zhuǎn)變.

筆者認(rèn)為2023年數(shù)學(xué)高考關(guān)于“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”的命題趨勢(shì)是：用基本初等函數(shù)的圖象解決相關(guān)問題（不用導(dǎo)數(shù)）；用導(dǎo)數(shù)先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再作出函數(shù)圖象進(jìn)而研究函數(shù)的性質(zhì)（包括極值與最值、零點(diǎn)個(gè)數(shù)等等），這是2023年數(shù)學(xué)高考的兩大總趨勢(shì).考生還要注意2023年數(shù)學(xué)高考試題可能呈現(xiàn)以下10個(gè)特點(diǎn)：

（1）可能有選填題源于課本，比如2020年高考全國(guó)卷1文科第8題，2021年高考天津卷第7題.

（2）在分段函數(shù)中求參數(shù)的取值范圍.

（3）關(guān)于函數(shù)圖象對(duì)稱性與周期性的綜合問題可能在選填壓軸題中出現(xiàn)［4］.

（4）考查函數(shù)最重要的性質(zhì)——單調(diào)性.

（5）重點(diǎn)考查函數(shù)的極值與最值.

（6）函數(shù)零點(diǎn)問題依然是重要題型.

證明函數(shù)存在零點(diǎn)［5］時(shí)，或直接求出零點(diǎn)；或由零點(diǎn)存在定理（也叫堪根定理）證明函數(shù)存在零點(diǎn)，不可僅由圖象代替嚴(yán)格證明，往往需要找點(diǎn)（比如2016年高考北京卷文科第20題），這也是解答過程的難點(diǎn).

（7）函數(shù)不等式是難度較大的題目.

不等式恒成立、能成立、恰成立問題可能在選填題中出現(xiàn)，雙量詞、雙參數(shù)問題可能出現(xiàn)，求參數(shù)取值范圍問題會(huì)?？汲Ｐ?，考生要熟練掌握用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式的四種常用方法［6］.

（8）重視對(duì)高等數(shù)學(xué)知識(shí)的考查（特別是極限思想，比如2013年高考新課標(biāo)卷1文科第12題即理科第11題）.

（9）2023年數(shù)學(xué)高考全國(guó)卷較2022年的整體難度會(huì)保持穩(wěn)定（包括整體運(yùn)算量較大）.

（10）多項(xiàng)選擇題、數(shù)學(xué)文化［7］試題及結(jié)構(gòu)不良問題是近年高考試題的熱點(diǎn).

結(jié)構(gòu)不良問題也叫劣構(gòu)題（比如2021年新高考全國(guó)卷2第22題）是近幾年高考試題的熱點(diǎn)，它多了一項(xiàng)考查功能：考查考生對(duì)選項(xiàng)難易度的甄別，及對(duì)所求問題進(jìn)行合理搭配再完成求解的能力.

2 2023年數(shù)學(xué)高考“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”部分知識(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的試題

2.1選擇題

試題1（考查知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的最值，絕對(duì)值不等式的性質(zhì)）函數(shù)y=x－1+2x－2+3x－3（x∈R）的最小值是（）.

A.1B.2C.3D.4

試題2（考查知識(shí)點(diǎn)：二次函數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)，基本不等式）已知函數(shù)f（x）=2x2+bx+c（b，c為實(shí)數(shù)），f（－10）=f（12）.若方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x1，x2，則1x1+1x2的最小值是（）.

A.4B.2C.1D.12

試題3（考查知識(shí)點(diǎn)：對(duì)數(shù)運(yùn)算，對(duì)數(shù)函數(shù)，函數(shù)的奇偶性）若a為常數(shù)，且f（x）=lg2xx+1+a是奇函數(shù)，則a=（）.

A.1B.-1C.0D.2

試題4（考查知識(shí)點(diǎn)：冪的運(yùn)算，指數(shù)函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，不等式的基本性質(zhì)）若關(guān)于x的不等式1x+2x+3x+…+（n－1）x+nxa>0（n>1，n是已知的整數(shù)）恰在x<1時(shí)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）.

A.－∞，1－n2B.－∞，1－n2

C.1－n2? D.

注：若將本題中的“x<1”改為“x≤1”，則所求答案是D.

試題5（考查知識(shí)點(diǎn)：無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的意義，冪的運(yùn)算性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，近似計(jì)算）把（2）2寫成十進(jìn)制小數(shù)，其第一位小數(shù)是（）.

A.0B.9C.8D.6

試題6（考查知識(shí)點(diǎn)：對(duì)復(fù)雜情境問題的閱讀理解，指數(shù)函數(shù)）華夏人壽保險(xiǎn)股份有限公司推出了一種叫“華夏富貴竹年金保險(xiǎn)（3年期）”的保險(xiǎn)產(chǎn)品：購(gòu)買者須在三年的同一時(shí)間段均買一筆保險(xiǎn)a（a≥1，10a∈N*）萬(wàn)元（共購(gòu)買3次，每次a萬(wàn)元），從第一次購(gòu)買后可續(xù)存b（0.01b∈N*）元，且續(xù)存的這些錢將從次日起按每天0.11‰的利率復(fù)利計(jì)息，續(xù)存款的本息可隨時(shí)取出來(lái)（3個(gè)工作日內(nèi)到自己的銀行賬戶）.G先生于2017年3月1日買了1.5萬(wàn)元這種保險(xiǎn)產(chǎn)品，接著又于2017年4月1日續(xù)存了2.22萬(wàn)元，等到2018年4月1日（到了這一天，存期是1年即365天）G先生的這筆續(xù)存款產(chǎn)生的本息和是（）.

A.2.22×1.00011365萬(wàn)元B.2.22×1.00011366萬(wàn)元

C.2.22×1.00011367萬(wàn)元D.2.22×1.00011368萬(wàn)元

試題7（考查知識(shí)點(diǎn)：量詞，分段函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)圖象）已知函數(shù)f（x）=x2－4x+3，x≤0，

－x2－2x+3，x>0，若x∈［a，a+1］，f（x+a）>f（2a－x），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）.

A.（－2，0）B.（－∞，0）

C.（0，2）D.（－∞，－2）

試題8（考查知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性，周期函數(shù)，判斷命題的真假）（2016年高考上海卷理科第18題）設(shè)f（x），g（x），h（x）是定義域?yàn)镽的三個(gè)函數(shù)，對(duì)于命題：①若f（x）+g（x），f（x）+h（x），g（x）+h（x）均為增函數(shù)，則f（x），g（x），h（x）中至少有一個(gè)為增函數(shù)；②若f（x）+g（x），f（x）+h（x），g（x）+h（x）均是以T為周期的函數(shù)，則f（x），g（x），h（x）均是以T為周期的函數(shù)，下列判斷正確的是（）.

A.①和②均為真命題

B.①和②均為假命題

C.①為真命題，②為假命題

D.①為假命題，②為真命題

試題9（考查知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的概念，函數(shù)的奇偶性，復(fù)合函數(shù)，抽象函數(shù)）（2021年新高考全國(guó)卷2第8題）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（x+2）為偶函數(shù)，f（2x+1）為奇函數(shù)，則（）.

A.f－12=0 B.f（－1）=0

C.f（2）=0D.f（4）=0

試題10（考查知識(shí)點(diǎn)：構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值）（由普通高中教科書《數(shù)學(xué)·選擇性必修·第二冊(cè)·A版》（人民教育出版社，2020）第104頁(yè)第9題改編）已知函數(shù)f（x）=x（x－c）2在x=2處有極大值，則常數(shù)c=（）.

A.2B.6C.2或6D.0或2或6

試題11（考查知識(shí)點(diǎn)：集合，三次函數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)）已知多項(xiàng)式p（x）=x3－3x+1有三個(gè)零點(diǎn)a，b，c（a

A.是aB.是bC.是cD.不是b且不是c

試題12（考查知識(shí)點(diǎn)：構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，解方程，極限，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性）已知函數(shù)f（x）=xlnx+ax，若過點(diǎn)（1，1）可作兩條直線與曲線y=f（x）相切，則a的取值范圍是（）.

A．［1，+∞）B．（1，+∞）

C．（－∞，1） D．（－∞，1］

試題13（考查知識(shí)點(diǎn)：構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性）已知直線y=2x與函數(shù)f（x）=ln（ax+b）的圖象相切，則ab的最大值為（）.

A．e4B．e2C．eD．2e

試題14（考查知識(shí)點(diǎn)：構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性）若R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）滿足f′（x）<2f（x），則5fln32與3fln52的大小關(guān)系是（）.

A.5fln32>3fln52B.5fln32=3fln52

C.5fln32<3fln52D.不確定

試題15（考查知識(shí)點(diǎn)：構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極限，兩條曲線的公共點(diǎn)）已知函數(shù)f（x）=exx+x與g（x）=lnxx+k的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則常數(shù)k的取值范圍是（）.

A.（0，1）B.（e，e+1）

C.（e，+∞）D.（e+1，+∞）

試題16（考查知識(shí)點(diǎn)：構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性）若關(guān)于x的不等式ax（x－2）+xlnx－x+3<0有解，則常數(shù)a的取值范圍是（）.

A.（－∞，－e）∪（2，+∞）

B.（－∞，0）∪（e，+∞）

C.（－∞，－1）∪（2，+∞）

D.（－∞，0）∪（2，+∞）

試題17（考查知識(shí)點(diǎn)：構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及求極值、最值）在R上，ex≥1+x，ex≥1+x+12x2，ex≥1+x+12x2+16x3這三個(gè)不等式中恒成立的個(gè)數(shù)是（）.

A.0B.1C.2D.3

注本題的一般情形是下面的結(jié)論（對(duì)n用數(shù)學(xué)歸納法可證）：

若fn（x）=ex－1+x1！+x22！+…+xnn?。╪∈N*），則當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)fn（x）≥0（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)fn（x）=0），當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)xfn（x）≥0（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)xfn（x）=0）.

試題18（多選題）（考查知識(shí)點(diǎn)：實(shí)數(shù)的比較大小，不等式的性質(zhì)，數(shù)學(xué)文化.本題由2004年上海高考數(shù)學(xué)文科、理科第16題改編）某地2004年第一季度應(yīng)聘和招聘人數(shù)排行榜前5個(gè)行業(yè)的情況列表如下：

行業(yè)名稱計(jì)算機(jī)機(jī)械營(yíng)銷物流貿(mào)易應(yīng)聘人數(shù)2158302002501546767457065280行業(yè)名稱計(jì)算機(jī)營(yíng)銷機(jī)械建筑化工招聘人數(shù)124620102935891157651670436若用同一行業(yè)中應(yīng)聘人數(shù)與招聘人數(shù)比值的大小來(lái)衡量該行業(yè)的就業(yè)情況，則根據(jù)表中數(shù)據(jù)，就業(yè)形勢(shì)一定是（）.

A.計(jì)算機(jī)行業(yè)好于化工行業(yè)

B.建筑行業(yè)好于物流行業(yè)

C.機(jī)械行業(yè)最緊張

D.貿(mào)易行業(yè)可能比營(yíng)銷行業(yè)緊張

試題19（多選題）（考查知識(shí)點(diǎn)：代數(shù)式的恒等變形，配方法，不等式的性質(zhì)）設(shè)a，b，c，d∈R，且ad－bc=1，Q=a2+b2+c2+d2+ac+bd，則Q的值不可能是（）.

A.-1B.0C.1D.2

試題20（多選題）（考查知識(shí)點(diǎn)：構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)，解方程組）記兩個(gè)函數(shù)f（x）=ksinx，g（x）=xα的圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是h（k，α），則（）.

A.h（1，1）=3B.h（1，2）=2

C.h（1，3）=3D.h2，12=3

2.2填空題

試題21（考查知識(shí)點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，數(shù)學(xué)文化）甲、乙二人同解一道數(shù)學(xué)題：先求某個(gè)三位正整數(shù)的以2為底的對(duì)數(shù)，再把所得的結(jié)果減去另一個(gè)正整數(shù)b，最后求所得的差與b的商.甲在解題時(shí)把“以2為底”看成了“以3為底”而后進(jìn)行了正確的計(jì)算，乙計(jì)算出了正確的結(jié)果.當(dāng)兩人核對(duì)自己的計(jì)算結(jié)果時(shí)，發(fā)現(xiàn)他們所得的結(jié)果互為倒數(shù).根據(jù)這些信息，可知這道題的正確答案是.

試題22（考查知識(shí)點(diǎn)：正弦函數(shù)，解方程，分類討論，新定義）若把不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)記作［x］，則方程［x］=sinx的解集是.

試題23（考查知識(shí)點(diǎn)：無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的意義，冪的運(yùn)算性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，近似計(jì)算，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性）將23，32，π2，2π比較大?。ㄓ眯∮谔?hào)連接）的結(jié)果為.

注本題源于普通高中教科書《數(shù)學(xué)·必修·第一冊(cè)·A版》（人民教育出版社，2019）第109頁(yè)第3（2）題：按從小到大的順序，可將23，32，π5，2π重新排列為（可用計(jì)算工具）.

試題24（考查知識(shí)點(diǎn)：量詞，構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的最值）已知a>1，若函數(shù)f（x）=（x2+ax+1）e1－x，g（x）=2a－1+（2a－1）x－x2x+1滿足x1∈［0，1］，x2∈［0，1］，使得f（x1）≥g（x2），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

注解答雙參數(shù)問題時(shí)，可先把其中的一個(gè)參數(shù)（比如是x2）看作常數(shù)變成另一個(gè)參數(shù)（x1）的問題，求得參數(shù)x2滿足的條件，變成了一個(gè)參數(shù)x2的問題，最終可完成求解.具體求解時(shí)，先視哪一個(gè)參數(shù)為常數(shù)，可能解答的難度不一樣.

試題25（考查知識(shí)點(diǎn)：構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解不等式）若x∈R，f（x）+xf′（x）－xf（x）>0且f（1）=e，則f（x）

試題26（考查知識(shí)點(diǎn)：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，充分、必要條件）若x∈R，（x+m）ex+e≥3ex，則常數(shù)m的取值范圍是.

試題27（考查知識(shí)點(diǎn)：用導(dǎo)數(shù)研究基本初等函數(shù)的單調(diào)性，量詞）已知函數(shù)f（x）=x+a·2x，g（x）=lnx－4a·2－x，若x0>0，f（x0）－g（x0）=5，則正數(shù)a的取值范圍是.

試題28（考查知識(shí)點(diǎn)：量詞，函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)得到的常用不等式）若x∈（0，+∞），lnx≤ax+b（a，b是常數(shù)），則ba的取值范圍是.

試題29（考查知識(shí)點(diǎn)：構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性）若實(shí)數(shù)x，y滿足x+y+4=ex+ey+2，則x+y=.

試題30（考查知識(shí)點(diǎn)：一元二次方程，解方程，分段函數(shù)）已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，g（x）=mx2+nx+p（a，b，c，m，n，p均是非零參數(shù)，且b2－4ac=a2）.若d（x）=x，x是有理數(shù)，

0，x是無(wú)理數(shù)，則關(guān)于x的方程f（d（g（x）））=0的解的個(gè)數(shù)的最大值是.

試題31（考查知識(shí)點(diǎn)：構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論）已知函數(shù)f（x）=xex－asinxcosx（a是常數(shù)），若x∈0，π2，f（x）≥0，則a的取值范圍是.

試題32（考查知識(shí)點(diǎn)：構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，簡(jiǎn)易邏輯）若函數(shù)f（x）=lnx－x+ax2在（1，e）上不單調(diào)，則常數(shù)a的取值范圍是．

試題33（考查知識(shí)點(diǎn)：判斷命題的真假，分段函數(shù)，函數(shù)的奇偶性，周期函數(shù)，平面解析幾何）設(shè)函數(shù)D（x）=1，x是有理數(shù)，

0，x是無(wú)理數(shù)，則下列五個(gè)命題中所有真命題的序號(hào)是.

①D（x）是偶函數(shù)；

②D（x）是周期函數(shù)；

③存在實(shí)數(shù)x0，使得D（D（x0））=0；

④存在實(shí)數(shù)x1，x2，x3，使得以點(diǎn)（x1，D（x1）），（x2，D（x2）），（x3，D（x3））為頂點(diǎn)的三角形是正三角形；

⑤存在實(shí)數(shù)x1，x2，x3，使得以點(diǎn)（x1，D（x1）），（x2，D（x2）），（x3，D（x3））為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形.

試題34（考查知識(shí)點(diǎn)：分段函數(shù)，解方程，新定義問題）若定義sgn（x）=－1，x<0，

0，x=0，

1，x>0，則

（1）sgn（x）=sgn（x）的解集是；

（2）xsgn（x）=x的解集是.

試題35（考查知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的概念，數(shù)學(xué)文化）下表（數(shù)據(jù)來(lái)源：著作＼[7＼]第213—214頁(yè)）是某班24名學(xué)生一次期末考試的分?jǐn)?shù)（試卷滿分150）：學(xué)號(hào)姓名分?jǐn)?shù)學(xué)號(hào)姓名分?jǐn)?shù)學(xué)號(hào)姓名分?jǐn)?shù)1賈琳悅1209王俊12517蘇奧952曲小凡10110張紫怡12618劉京883黃雨萌11511郭雪13019李鈺棋994龐錦平11612梁爽11020蘇昊澤1075甄亞楠13013吳南11321馮尊1136杜佳欣10714楊浩瀚12622欒旭1007劉甜11015龔敏13723鄒昕宇1178高慕瑀11516劉皓宇9824王義豐123

任課老師須在高中綜評(píng)平臺(tái)（http：//gzzp.bjedu.cn：8002/）登入學(xué)生的這次成績(jī)（滿分100），但年級(jí)將對(duì)分?jǐn)?shù)作以下處理后再登入：將學(xué)生考試分?jǐn)?shù)先按比例折算成滿分是100分的分?jǐn)?shù)（即學(xué)生的卷面分÷1.5），再將得到的分?jǐn)?shù)求算術(shù)平方根后×10，最后取整.即計(jì)算公式是f（x）=10x1.5（其中［a］表示不大于實(shí)數(shù)a的最大整數(shù)），其中x表示學(xué)生的這次期末考試分?jǐn)?shù)，f（x）表示在高中綜評(píng)平臺(tái)應(yīng)登入的分?jǐn)?shù).

若把分?jǐn)?shù)不低于滿分80%的叫優(yōu)秀，則該班學(xué)生這次考試成績(jī)?cè)谔幚砬芭c處理后的優(yōu)秀率分別是，處理后的成績(jī)是優(yōu)秀中最低分的人數(shù)是.

試題36（考查知識(shí)點(diǎn)：集合，不等式，拋物線，數(shù)形結(jié)合思想）（1）若關(guān)于x的不等式組a≤34x2－3x+4≤b的解集是［c，b］，則a，b，c的取值范圍分別是；

（2）若關(guān)于x的不等式組b≤x2+ax+5≤4的解集是單元素集，則a，b的取值范圍分別是.

試題37（考查知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性，周期性，函數(shù)的零點(diǎn)，解方程）已知f（x）是R上的奇函數(shù)，且滿足f（1－x）=f（1+x），當(dāng)x∈（0，1］時(shí)，f（x）=2x+m（m是常數(shù)）.

（1）若f（x）在（2020，2021）上存在零點(diǎn)，則m的取值范圍是；

（2）若f（2023）=0，則m=.

試題38（考查知識(shí)點(diǎn)：分段函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，函數(shù)最值，函數(shù)的零點(diǎn)）設(shè)函數(shù)f（x）=2x－a，x<1，

4（x－a）（x－2a），x≥1.

（1）若a=1，則f（x）的最小值為；

（2）若f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．

試題39（考查知識(shí)點(diǎn)：構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極限）（1）已知函數(shù)f（x）=2lnx+3x+x+m，若x0∈14，+∞，f（f（x0））=x0，則常數(shù)m的取值范圍是；

（2）已知函數(shù)f（x）=12x+lnx－a，若b∈［1，e］，f（f（b））=b，則常數(shù)a的取值范圍是.

試題40（考查知識(shí)點(diǎn)：對(duì)復(fù)雜情境問題的閱讀理解，百分?jǐn)?shù)的意義）王氏四兄弟，每人都有100元錢的本金.

（1）老大用手中的100元錢買了1只母雞，每只母雞每天會(huì)生1個(gè)雞蛋，每個(gè)雞蛋的收購(gòu)價(jià)是1元.這樣，老大1年（365天）賺了365元；

（2）老二從市場(chǎng)上了解到，租1只母雞要花20元錢（租期1年），就用手中的100元錢租了5只母雞，……這樣，老二1年（365天）賺了5×365-100=1725（元）；

（3）老三先用手中的100元錢從市場(chǎng)上租了5只母雞，然后對(duì)收購(gòu)雞蛋的老板說(shuō)，我把這5只母雞1年生的蛋按0.8元/個(gè)賣給你（若還有更多的雞蛋也按此價(jià)格賣給你），但你要預(yù)付給我1年的雞蛋款5×365×0.8=1460（元），老板認(rèn)為這是幾乎沒有風(fēng)險(xiǎn)的事情（因?yàn)槔先种杏?只每天都會(huì)生蛋的母雞），就欣然同意并立即預(yù)付了這筆雞蛋款.老三用這筆雞蛋款租了73只母雞，……這樣，老三1年（365天）賺了元；

（4）老四把四兄弟的400元錢集資在一起（由老四代管，這筆錢的收益由四兄弟均分），用這筆錢租20只雞，……收購(gòu)雞蛋的老板預(yù)付給老四1年的雞蛋款20×365×0.8=5840（元）.老四用這筆錢又在銀行按5%的年利率抵押貸款5840元，再用手中的5840×2=11680元租584只母雞，……這樣，四兄弟每人1年（365天）賺了元.

2.3解答題

試題41（考查知識(shí)點(diǎn)：構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性）求證：（1）f（x）=x－sinx（0

（2）x－sinx>0（0

（3）y=sinx+tanxx0

試題42（考查知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)，構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，解決極值點(diǎn)偏移問題，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性）已知函數(shù)f（x）=x－lnx－a（a是常數(shù)）.

（1）討論f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，求證：a>1且x1+x2

試題43（考查知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)，構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，解決函數(shù)不等式問題，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式）求證：

（1）x2+1≤2x－22lnx；

（2）若正數(shù)a1，a2，…，an之積是1，

則∑ni=1a2i+1≤2∑ni=1ai.

試題44（考查知識(shí)點(diǎn)：構(gòu)造新函數(shù)研究所給函數(shù)，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、解方程、冪與根式的恒等變形）（1）求函數(shù)f（x）=lnxx的單調(diào)區(qū)間；

（2）解方程mm=nn（m，n∈N，2≤m

（3）給出方程xx=yy（x，y∈Q+，x

注：y=lnxx是一個(gè)重要函數(shù)，很多高考題都與它有緊密聯(lián)系，比如2017年高考全國(guó)卷1理科第11題，2014年高考湖北卷文科第22題及理科第22題，2005年高考全國(guó)卷3理科第6題，2001年高考全國(guó)卷理科第20題，1983年高考全國(guó)卷理科第9題，詳見文＼[8＼].

筆者編擬的這道原創(chuàng)題，也是該函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.初看該題后兩問涉及不定方程，實(shí)際上用函數(shù)y=lnxx的單調(diào)區(qū)間可給出其簡(jiǎn)潔解答.

試題45（考查知識(shí)點(diǎn)：求參數(shù)的取值范圍（往往需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論），基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而研究函數(shù)的極值）設(shè)函數(shù)f（x）=（ax3－5ax2+10ax－2x－10a+6）ex（a∈R）.

（1）求函數(shù)f′（x）的與a無(wú)關(guān)的零點(diǎn)；

（2）已知函數(shù)f（x）在x=2處取得極小值，求a的取值范圍.

試題46（考查知識(shí)點(diǎn)：同試題45）已知函數(shù)g（t）=（pt3+5pt2+10pt+2t+10p+6）e－t（p∈R）.

（1）已知函數(shù)g（t）在t=－2處取極小值，求p的取值范圍；

（2）求函數(shù)g（t）的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)；

（3）當(dāng)p<－12時(shí)，求函數(shù)g（t）的極小值點(diǎn).

注：（?。┯稍囶}46（2）的解答也可得到試題46（1）的答案；

（ⅱ）由試題46（3）的答案可知，由試題46（1）得到的結(jié)論的逆命題是假命題；

（ⅲ）試題45，46及2018年高考北京卷理科第18題、2018年高考北京卷文科第19題、2016年高考山東卷文科第20題的背景都是可導(dǎo)函數(shù)極值第二判別法.

答案

單選題

1.D;2.B;3.B;4.C;5.D;6.A;7.D;8.D;9.B;10.B;

11.C;12.B;13.C;14.A;15.D;16.D;17.C.

多選題

18.BD;19.ABC;20.BCD.

填空

21.log23;22.0，π2;23.23<32<2π<π2；

24.1，2e+34；25.（0，1）；26.［1，+∞）;27.（0，1］；

28.［－1，+∞）；29.－2;30.4;31（－∞，1］;

32.32－ln2，1;33.①②④;34.R，R;35.13，1112;1;

36.（1）（－∞，1］，｛4｝，｛0｝；（2）｛－2，2｝，（－∞，4］；

37.（1）（－2，－1）；（2）－2；

38.（1）－1；（2）12，1∪［2，+∞）；

39.（1）［－2e，0）；（2）－12，ln2－1；

40.21 216;40 999.

解答題

略.

參考文獻(xiàn)

［1］甘志國(guó).回顧與展望——以高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷中函數(shù)與不等式的內(nèi)容為例＼[J＼].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2022（03）：32-38.

［2］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）＼[M＼].2版.北京：人民教育出版社，2020.

［3］中國(guó)高考報(bào)告學(xué)術(shù)委員會(huì).中國(guó)高考報(bào)告2023＼[M＼].北京：新華出版社，2023.

［4］甘志國(guó).關(guān)于函數(shù)圖象的對(duì)稱性與周期性的幾個(gè)結(jié)論＼[J＼].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版），2022（01）：3-4.

［5］蔣海燕.函數(shù)的零點(diǎn)＼[J＼].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2012（01）：19-21.

［6］甘志國(guó).用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式的4種常用方法＼[J＼].高中數(shù)理化，2018（03）：6-8.

［7］甘志國(guó).數(shù)學(xué)文化與高考研究＼[M＼].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2018.

［8］甘志國(guó).函數(shù)y=lnxx的單調(diào)性及其應(yīng)用＼[J＼].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2015（11）：34-37.

作者簡(jiǎn)介

蔣海燕（1977—），女，山東濟(jì)寧人，中學(xué)高級(jí)教師，北京市特級(jí)教師;榮獲濟(jì)寧市有突出貢獻(xiàn)的中青年專家、山東省教學(xué)能手（第一名）等榮譽(yù)稱號(hào)，當(dāng)選山東省第十二屆人民代表大會(huì)代表;發(fā)表論文20余篇，出版專著《中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)方略》.

甘志國(guó)（1971—），男，湖北竹溪人，研究生學(xué)歷；中學(xué)正高級(jí)教師，特級(jí)教師，湖北名師;主要研究解題、高考和初等數(shù)學(xué).