巧用數(shù)學(xué)思想，提升解題效率

何映霞

【摘要】數(shù)學(xué)是一門抽象性與邏輯性兼具的學(xué)科，考查學(xué)生思維和計(jì)算能力.在解題中引入數(shù)學(xué)思想可簡化題目難度，提升解題效率.教師在教學(xué)中不僅要指導(dǎo)學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，更要指導(dǎo)掌握數(shù)學(xué)思想，提升解題質(zhì)量.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思想；解題策略

數(shù)學(xué)作為一門重要的工具學(xué)科，其重要的教學(xué)任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和綜合素質(zhì)，推動(dòng)素質(zhì)教育與核心素養(yǎng)的深入發(fā)展.在初中數(shù)學(xué)解題中巧用數(shù)學(xué)思想可幫助學(xué)生簡化解題難度，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)不同的數(shù)學(xué)知識(shí)與解題技巧，提升解題效率.

1 運(yùn)用分類討論，提升解題效率

1.1 應(yīng)用分類討論解答函數(shù)問題

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)考查重點(diǎn)，如果學(xué)生在解答函數(shù)問題時(shí)缺少技巧，必然會(huì)陷入困境，無法提升解題效率.再加上二次函數(shù)相關(guān)題目涵蓋參數(shù)，故而要求學(xué)生運(yùn)用分類討論思想分析和解決問題.

例1 函數(shù)y=kx2－8x+8圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求k的取值范圍.

上述函數(shù)問題涉及參數(shù)，大部分學(xué)生在審題時(shí)會(huì)率先發(fā)現(xiàn)x軸與函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，下意識(shí)運(yùn)用Δ>0解答，列出式子Δ=（－8）2－32k＞0，得出k<2.緊接著教師提問：“該函數(shù)必然是二次函數(shù)嗎？”思維敏捷的學(xué)生已發(fā)現(xiàn)，字母k才是函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)，當(dāng)k有不同取值時(shí)則會(huì)對應(yīng)不同函數(shù).所以，學(xué)生針對k=0與k≠0做出以下討論：①當(dāng)k=0時(shí)，原函數(shù)為一次函數(shù)，解析式為y=－8x+8，該解析式圖象與x軸的交點(diǎn)僅有一個(gè)，不符題意.②當(dāng)k≠0時(shí)，原函數(shù)為二次函數(shù)，解析式為y=kx2－8x+8，由Δ>0，解得k＜2且k≠0，所以，k的取值范圍即k＜2且k≠0.

學(xué)生在解答上述題目時(shí)較易遺忘討論函數(shù)解析式二次項(xiàng)系數(shù)是否為0情況，所以，教師總結(jié)道：一個(gè)函數(shù)是否為二次函數(shù)的前提條件即二次項(xiàng)系數(shù)是否為0，若二次函數(shù)為含有參數(shù)或參數(shù)式子則需討論是否為0.

1.2 應(yīng)用分類討論解答絕對值問題

教師在解題教學(xué)中需引導(dǎo)學(xué)生形成良好的分類討論思想，因?yàn)榉诸愑懻撚衅涔逃性瓌t，只有遵循原則才能避免分類缺乏條理或胡亂分類.在分類中要求每部分相互獨(dú)立且根據(jù)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類，再逐級(jí)分類.教師可選取典型或代表題目引導(dǎo)學(xué)生分類，絕對值問題是初中代數(shù)重難點(diǎn)之一，教師可選取此類問題引導(dǎo)學(xué)生掌握分類討論思想技巧并做出解答.

例2 已知0≤a≤4，簡化|a－2|+|3－a|.

上述題目要求對含有兩個(gè)絕對值的式子進(jìn)行化簡，在0≤a≤4范圍內(nèi)會(huì)有不同化簡結(jié)果，故而需分類討論，無法直接化簡.教師設(shè)置以下問題：①當(dāng)a=0，1，2，3，4時(shí)，化簡結(jié)果是否相同，若不同，為何？②哪些數(shù)會(huì)使兩個(gè)絕對值＝0？③若單對|a－2|進(jìn)行化簡，請問a的取值范圍需幾種情況？④若同時(shí)對|a－2|與|3－a|進(jìn)行化簡，請問需分為幾種情況？學(xué)生思考上述問題后發(fā)現(xiàn)，臨界值a=2與a=3是影響化簡結(jié)果的臨界值，所以，此兩個(gè)數(shù)將0≤a≤4分為：①0≤a≤2、②2＜a＜3、③3≤a≤4三種情況，故而，解答本題時(shí)只需討論上述三種情況即可.為提升解題效率，還可巧用數(shù)軸清晰形象地展示分類；學(xué)生在循序漸進(jìn)的提問中會(huì)發(fā)現(xiàn)與絕對值有關(guān)的分類討論的切入點(diǎn)，為后續(xù)解答復(fù)雜抽象的絕對值分類討論問題做好鋪墊.

1.3 應(yīng)用分類討論解答三角形相關(guān)問題

由于等腰三角形為特殊的三角形，導(dǎo)致學(xué)生在解決相關(guān)問題時(shí)陷入困境，對此，教師可指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用分類討論思想掌握高效且正確的解題方式.縱觀歷年數(shù)學(xué)考試重點(diǎn)發(fā)現(xiàn)，壓軸題中常見的解題思路即分類討論，學(xué)生借助分類討論可高效解題，形成舉一反三思維.針對壓軸題中特殊三角形與四邊形問題都可采取分類討論方式，或運(yùn)用分類討論思想解答直角三角形存在性問題，即根據(jù)直角頂點(diǎn)不確定性展開分類討論.

在對三角形相似存在分類討論中主要確定已知三角形特征，以等腰三角形分類討論為例，通?？煞譃橐韵骂愋停?/p>

1.3.1 遇邊問題可討論

例3 a，b為等腰三角形兩條邊長，且a、b滿足|a－1|+|2a+3b－11|=0，求該等腰三角形周長.

學(xué)生對于上述題目可先根據(jù)絕對值非負(fù)性列式解出a=1和b=3，隨后求解三角形周長，由于題目未明確指出底邊與腰，故而需分類討論：（1）a為底邊時(shí)，三邊分別為3，3，1，且周長為7；（2）若底邊為b，則三邊為1，1，3，且周長為5.大部分學(xué)生認(rèn)為此題目答案為5或7.教師讓學(xué)生思考以下問題：上述兩種情況下的邊長是否可構(gòu)成三角形？部分思維敏捷學(xué)生已獲知，三邊為1，1，3時(shí)無法構(gòu)成三角形.從上述可總結(jié)，只有三角形兩邊之和大于第三邊才能構(gòu)成三角形.

1.3.2 遇角問題可討論

例4 已知等腰三角形一個(gè)內(nèi)角為70°，求三角形另兩個(gè)角.[HT]

上述題目并未說明已知角究竟為底角還是頂角，需采取分類討論，將已知角分為底角與頂角后再運(yùn)用三角形定理與內(nèi)角和計(jì)算.

1.3.3 遇中線問題可討論

例5 一個(gè)等腰三角形腰上中線將三角形分為了兩個(gè)周長分別為9厘米與12厘米部分，求三角形腰與底.

針對上述問題需作圖分析，之后再通過分類討論明確9厘米與12厘米為等腰三角形上下哪部分；若9厘米為上部分，則假設(shè)腰與底邊為未知數(shù)并列出方程，求得腰為6厘米，底邊為9厘米，若上部分為12厘米時(shí)，則求得底邊為5厘米，腰為8厘米.

2 運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，提升解題效率

轉(zhuǎn)化思想即在分析和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)借助聯(lián)想、轉(zhuǎn)換、歸納等方式將未知轉(zhuǎn)為已知，簡化抽象復(fù)雜問題，促使順利解題.學(xué)生借助轉(zhuǎn)化思想不僅能提升解題效率，還可掌握處理其他問題技巧，為全面發(fā)展奠定基礎(chǔ).轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用可促使學(xué)生從抗拒和厭煩解題轉(zhuǎn)至帶有興趣探究，切實(shí)體驗(yàn)數(shù)學(xué)解題特有的樂趣與魅力，所以，初中數(shù)學(xué)教師可從以下方面應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，提升解題效率.

2.1 直接轉(zhuǎn)化

所謂直接轉(zhuǎn)化，即運(yùn)用對應(yīng)數(shù)學(xué)理論與公式將復(fù)雜抽象題型轉(zhuǎn)至學(xué)生廣泛熟知的知識(shí)，促使其梳理解題思路.教師在教學(xué)中應(yīng)著重講解數(shù)學(xué)理論與公式并指導(dǎo)其深入理解，并應(yīng)用知識(shí)分析和解決問題.

例如 在計(jì)算圓形內(nèi)接多邊形角度題目時(shí)，數(shù)學(xué)教師先讓學(xué)生回顧之前所學(xué)相關(guān)定理與公式，如同一弦所對圓周角及圓的內(nèi)接四邊形對角和為180°，旨在讓學(xué)生轉(zhuǎn)化角度計(jì)算方式，將多邊形連接對角線并形成四邊形，最后將內(nèi)角計(jì)算轉(zhuǎn)至學(xué)生熟悉計(jì)算部分，提升解題效率.

2.2 降次轉(zhuǎn)化

學(xué)生在解答方程式問題中難免需解決高次方程組問題，部分學(xué)生因未理解和掌握解答高次項(xiàng)式方法而面臨較大困難，直接解答更不知從何下手，對此，教師可指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用降次轉(zhuǎn)化思想，將原有方程轉(zhuǎn)至學(xué)生可計(jì)算內(nèi)容，促使學(xué)生高效運(yùn)用已學(xué)知識(shí)對計(jì)算方式行降次轉(zhuǎn)化，由此一來，學(xué)生在未來解題中面臨相同題目即可采取降次轉(zhuǎn)化處理方式處理高次項(xiàng)式.

例6 b是方程x2－x－1=0的一個(gè)根，求b3－2b2+2021的值.

由于x2－x－1=0的根相對復(fù)雜，學(xué)生計(jì)算三次方難度較大，再加上此題考查學(xué)生是否會(huì)轉(zhuǎn)化多項(xiàng)式，所以，教師在解題教學(xué)中即可指導(dǎo)學(xué)生對題目進(jìn)行降次與變形處理.具體解答如下：先將x2－x－1=0轉(zhuǎn)為x2－x=1，再將b3－2b2+2021轉(zhuǎn)為b3－b2－b2+2021，緊接著將b3－b2－b2+2021轉(zhuǎn)化為b（b2－b）－b2+2021，之后將b2－b=1代入其中可得b－b2+2021，最后將b－b2+2021轉(zhuǎn)換為－1（b2－b）+2021，代入后可順利得出結(jié)果2020.

2.3 換元轉(zhuǎn)化

初中數(shù)學(xué)解題常見方式之一即換元轉(zhuǎn)換，教師在教學(xué)中需讓學(xué)生明確換元轉(zhuǎn)換法在解題中扮演重要角色，指導(dǎo)學(xué)生化繁為簡，更要強(qiáng)調(diào)換元中的等價(jià)性，保障順利換元后不會(huì)使原式數(shù)學(xué)定義發(fā)生變化.

例7 已知，a＞b＞0，3a+2b+1a－b=0，求ab的值.

原題中并未出現(xiàn)ab，必然無法直接換元，對此，教師指導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化原式并從中得出ab，為后續(xù)解題奠定基礎(chǔ).如，根據(jù)3a+2b+1a－b=0條件將式子兩邊與ab（a－b）相乘，即可將式子轉(zhuǎn)化為3b（a－b）+2a（a－b）+ab=0，整理式子后得2a2+2ab－3b2=0，兩邊同時(shí)除以b2后變?yōu)?a2b2+ab－3=0，此時(shí)，式子已具備換元條件，學(xué)生看到熟悉計(jì)算式子后直接運(yùn)用n=ab換元，最后圍繞題目要求解答一元二次方程式.

2.4 數(shù)形轉(zhuǎn)化

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)重難點(diǎn)之一為，良好的數(shù)形轉(zhuǎn)化是教學(xué)不可缺少的組成部分，即協(xié)助學(xué)生將文字、代數(shù)轉(zhuǎn)至直觀形象圖形，再從圖形中獲取解題思路.教師在教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生將抽象復(fù)雜方程問題轉(zhuǎn)至函數(shù)圖象問題并以交點(diǎn)形式梳理解題思路，提升學(xué)生解題效率.

例8 圖1中的△ABC與函數(shù)y=kx均處于第一象限，△ABC與函數(shù)圖象間存在交叉重合范圍，求k的取值范圍.

上述題目對于學(xué)生而言屬于中等難度，學(xué)生在解題中可借助之前所學(xué)反比函數(shù)分析已知條件，當(dāng)k>0，k值越大，函數(shù)圖象則與y軸越來越偏離，觀察圖形可知，A點(diǎn)位于函數(shù)圖形左邊臨界，右邊僅在BC邊與函數(shù)圖形相交才能順利解題.對此，教師可指導(dǎo)學(xué)生將問題從幾何圖形相交問題轉(zhuǎn)至函數(shù)交點(diǎn)，根據(jù)A點(diǎn)、B點(diǎn)、C點(diǎn)坐標(biāo)獲得三角形每條邊函數(shù)，最后轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)相交方程有解問題，順利解答.

3 運(yùn)用整體思想，提升解題效率

整體思想在數(shù)學(xué)解題中發(fā)揮重要作用，可以說貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)，也是后續(xù)高中數(shù)學(xué)重難點(diǎn).所以，中考數(shù)學(xué)命題將整體思想作為重點(diǎn)，更是數(shù)學(xué)教師深入剖析的數(shù)學(xué)思想之一.所謂整體思想即在解題過程中運(yùn)用集中眼光對研究對象的全部或一個(gè)部分進(jìn)行研究并將其視為整體，準(zhǔn)確把握條件與問題間緊密聯(lián)系，達(dá)到高效整體化處理問題.整體思想強(qiáng)調(diào)全局觀念.具體應(yīng)用如下.

3.1 在解答代數(shù)式求值類問題應(yīng)用整體思想

歷年中考重點(diǎn)題型之一即代數(shù)式求值類問題，大部分學(xué)生都習(xí)慣性逐一解答后再代入求值進(jìn)行解答，然而此方式計(jì)算量較大，學(xué)生十分容易因?yàn)榻忸}過程繁瑣造成計(jì)算錯(cuò)誤，降低解題效率.運(yùn)用整體思想將問題條件或結(jié)論看做整體后展開等價(jià)代換，明確問題本質(zhì)，提升解題效果.

例9 當(dāng)a+b=5，ab=2，求代數(shù)式3a+5ab+3b值.

解析 如果在解答上述題目時(shí)從局部解出a與b的值，之后代入求值則需解二次方程，解題過程繁瑣，計(jì)算量大，較易失誤.深入觀察該題目代數(shù)式3a+5ab+3b結(jié)構(gòu)，即可得到代數(shù)式3（a+b）+5ab，最后用整體代入計(jì)算可順利獲得答案.

3.2 在解答方程組或不等式應(yīng)用整體思想

例10 某工廠預(yù)計(jì)采購A、B、C三種貨物，如果購進(jìn)4件A貨物，3件B貨物，2件C貨物，花費(fèi)32元；如果購進(jìn)2件A貨物，3件B貨物，4件C貨物，花費(fèi)28元，當(dāng)前工廠預(yù)計(jì)購買A、B、C三件貨物各1件，共花費(fèi)多少元？

解析 上述題目情境相對簡單，運(yùn)用常規(guī)思路即可一一求出A、B、C三種貨物，但從題目提供兩個(gè)等量關(guān)系無法順利解題，可運(yùn)用整體思想將A、B、C看作一個(gè)整體，即可順利解題.

4 結(jié)語

總之，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)科不可缺少的組成，在發(fā)展學(xué)生思維能力以及提升教學(xué)效率方面發(fā)揮著重要作用.初中數(shù)學(xué)教師指導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想可簡化題目難度、梳理解題思路、提升解題效率，為更高層次數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

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