直流接地極地表電位的切比雪夫多項(xiàng)式求解法

齊桓若 陳晨 閆向陽(yáng) 康祎龍 王順然 刁旭

摘要運(yùn)行經(jīng)驗(yàn)表明，直流接地極造成電網(wǎng)大范圍直流偏磁危害，其根源在地表電位不均勻分布．針對(duì)廣域深度分層的復(fù)雜大地模型關(guān)于地表電位分布求解方面的難題，利用切比雪夫多項(xiàng)式擬合地表電位的漢克爾變換核函數(shù)．通過(guò)切比雪夫多項(xiàng)式的移位運(yùn)算、系數(shù)展開(kāi)和截?cái)嗾`差判定，得到了核函數(shù)的切比雪夫多項(xiàng)式自適應(yīng)階數(shù)擬合方法，從而大幅降低了直流接地極造成廣大區(qū)域地表電位分布的計(jì)算難度．與標(biāo)準(zhǔn)接地計(jì)算軟件CDEGS的水平8層結(jié)構(gòu)大地算例對(duì)比結(jié)果表明，直流接地極入地電流5 kA時(shí)，本方法在1～100 km地表范圍內(nèi)的地表電位偏差小于1 V．進(jìn)一步分析了切比雪夫多項(xiàng)式階數(shù)對(duì)地表電位的計(jì)算結(jié)果的影響，證實(shí)了20階切比雪夫多項(xiàng)式的精度就可以滿足一般的直流偏磁風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估的應(yīng)用需求．基于移位切比雪夫多項(xiàng)式的地表電位快速評(píng)估方法為直流偏磁風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估提供了一種基礎(chǔ)的技術(shù)手段，有助于降低電網(wǎng)直流偏磁風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估的難度．

關(guān)鍵詞直流接地極;地表電位;切比雪夫多項(xiàng)式;漢克爾積分;直流偏磁

中圖分類號(hào)

TM12

文獻(xiàn)標(biāo)志碼

A

收稿日期

2021-12-15

資助項(xiàng)目

國(guó)家自然科學(xué)基金（51607129）

作者簡(jiǎn)介齊桓若，女，碩士，工程師，主要從事輸變電工程設(shè)計(jì)及基建數(shù)字化管理研究．lvteng320@163.com

0 引言

直流輸電在單極大地返回運(yùn)行方式下，高幅值的直流電流會(huì)通過(guò)直流接地極流入大地．由于大地的不良導(dǎo)電和廣域電網(wǎng)的同時(shí)作用，會(huì)導(dǎo)致部分的直流電流入侵到交流系統(tǒng)，從而產(chǎn)生對(duì)變壓器的不良影響，即直流偏磁危害．直流偏磁嚴(yán)重危害電力系統(tǒng)安全運(yùn)行．變壓器直流偏磁的耐受特性非常復(fù)雜［1-3］，直流偏磁的治理也需要耗費(fèi)大量的人力和物力［4-7］．

運(yùn)行經(jīng)驗(yàn)表明，電網(wǎng)直流偏磁危害的根源在于直流接地極造成的地表電位不均勻分布［8-11］，具體表現(xiàn)為：輸電線路連接了相距較遠(yuǎn)的眾多變電站，而變電站內(nèi)高壓變壓器中性點(diǎn)多為直接接地的運(yùn)行方式;大地與電力網(wǎng)之間形成了一個(gè)“并聯(lián)”的電流通道，由于變電站之間的地表電位不同，直流輸電的部分入地電流從大地中被“抽取”到電力系統(tǒng)內(nèi);直流電流流經(jīng)變壓器繞組，變壓器鐵芯飽和而產(chǎn)生勵(lì)磁的半周飽和現(xiàn)象，從而形成直流偏磁危害．直流偏磁危害主要是變壓器的振動(dòng)和異響，以及局部溫升和諧波等．

電網(wǎng)偏磁仿真評(píng)估采用的是直流電流入侵的場(chǎng)路耦合模型［10］，即地上的電路模型與地下的電流場(chǎng)的耦合．該耦合直接表現(xiàn)為電站的地表電位，電站之間的地表電位差異越大，則偏磁的情況越嚴(yán)重．地表電位的求解方法與選取的大地模型有關(guān)．由于直流偏磁問(wèn)題采用的大地模型是實(shí)際的地質(zhì)電性結(jié)構(gòu)模型，所以已有的接地分析評(píng)估方法有可能不適用［11-12］．文獻(xiàn)［13-15］系統(tǒng)地使用有限元方法求解復(fù)雜結(jié)構(gòu)大地參數(shù)，文獻(xiàn)［16-17］提出了考慮地形起伏的地表電位計(jì)算方法，文獻(xiàn)［18-19］重點(diǎn)研究了地中斷裂帶分布情況下的地表電位，這些研究主要依賴商用有限元軟件，暫無(wú)法應(yīng)用于電網(wǎng)偏磁風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估．耿山等［20］使用鏡像法研究了新疆復(fù)雜地質(zhì)環(huán)境下的直流接地極周邊地表電位分布，馬成廉［21］對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析，但鏡像法目前還存在計(jì)算量大和精度不高的問(wèn)題，無(wú)法推廣應(yīng)用于復(fù)雜的地質(zhì)工況．馬成廉［21］較為系統(tǒng)地研究了特高壓直流接地極近區(qū)地電位分布特征，李嘉思等［22］針對(duì)復(fù)雜土壤結(jié)構(gòu)下直流接地極選址及直流偏磁風(fēng)險(xiǎn)也開(kāi)展了相應(yīng)的評(píng)估工作，他們?nèi)匝赜脧?fù)鏡像法進(jìn)行直流接地極地表電位的求解．復(fù)鏡像算法較為復(fù)雜，技術(shù)難度較高，不利于推廣應(yīng)用．此外，高速鐵路的鋼軌電位和地表電位問(wèn)題［23］、采用地表電位進(jìn)行接地網(wǎng)的腐蝕診斷［24］，以及跨步電壓的回聲狀態(tài)網(wǎng)絡(luò)分析法［25］等均需要求解地表電位，但目前的研究主要依賴商用接地分析軟件CDEGS，還缺少公開(kāi)技術(shù)手段的支持．

綜上所述，目前的研究過(guò)于依賴商用的有限元計(jì)算軟件和接地計(jì)算軟件，沒(méi)有形成可靠的計(jì)算工具供使用．針對(duì)直流接地極造成廣大區(qū)域地表電位分布的計(jì)算問(wèn)題，本文提出了一種切比雪夫多項(xiàng)式擬合的快速算法，為直流偏磁風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估和其他工程問(wèn)題的應(yīng)用場(chǎng)景提供了思路和新手段．

1 地表電位的切比雪夫多項(xiàng)式求解法

1.1 地表電位的基礎(chǔ)理論

直流接地極造成大范圍的地表電位V，可寫為如下形式：

V（r）=ρ 1I2π∫∞ 0k 1J 0（λr）dλ，? （1）

其中，r為地表觀察點(diǎn)與直流接地極的距離（r遠(yuǎn)大于直流接地極的尺寸），ρ 1為首層大地的電阻率，I為直流輸電系統(tǒng)的大地返回電流，J 0為第一類零階貝塞爾函數(shù)，λ為積分系數(shù)，k 1為表征水平分層大地結(jié)構(gòu)的等效電阻率函數(shù)，可由遞推公式求解：

k n-1=1-μ n-1exp（-2λd n-1）1+μ n-1exp（-2λd n-1），μ n-1=ρ n-1-ρ nρ n-1+ρ n，…k i=1-μ iexp（-2λd n-1）1+μ iexp（-2λd n-1），μ i=ρ i-ρ i+1k i+1ρ i+ρ i+1·k i+1，…k 1=1-μ 1exp（-2λd n-1）1+μ 1exp（-2λd n-1），μ 1=ρ 1-ρ 2k 2ρ 1+ρ 2k 2，（2）

其中，水平分層大地結(jié)構(gòu)示意如圖1所示，d為分層的厚度，ρ為分層的電阻率，μ i為第i個(gè)分層的反射系數(shù)．

式（1）屬于廣義無(wú)窮積分，又稱漢克爾變換，k 1為漢克爾變換的積分核函數(shù)．由于J 0隨rλ的增大呈現(xiàn)震蕩衰減的特性，所以傳統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法無(wú)法準(zhǔn)確求解式（1）．如果k 1可以進(jìn)行無(wú)窮指數(shù)級(jí)數(shù)展開(kāi)，那么式（1）可以運(yùn)用經(jīng)典鏡像法求解，但無(wú)法針對(duì)分層較多的情況作求解．主要是因?yàn)榉謱虞^多時(shí)k 1的無(wú)窮指數(shù)級(jí)數(shù)理論表達(dá)過(guò)于復(fù)雜，且計(jì)算時(shí)間太長(zhǎng)，無(wú)法用于實(shí)際．

式（1）為場(chǎng)源點(diǎn)均在地表的情況．對(duì)于場(chǎng)源點(diǎn)任意位置的情況，只需將V（r）積分式替換為實(shí)際的情況即可，具體見(jiàn)文獻(xiàn)［11-12］．

1.2 切比雪夫多項(xiàng)式求解方法

切比雪夫多項(xiàng)式為滿足如下二階微分方程的解：

（1-x2）d2ydx2-xdydx+n2y2=0．? （3）

本文是基于第一類切比雪夫多項(xiàng)式開(kāi)展研究的．第一類切比雪夫多項(xiàng)式T：

T 0（x）=1， （4）

T n（x）=2n-1∑［0.5n］k=0（-1）n（n-k-1）！k！22k（n-2k）！xn-2k，? （5）

式中［0.5n］表示對(duì)0.5n向下取整．

如果f（x）為區(qū)間［-1，1］內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，則可將它轉(zhuǎn)為T的無(wú)窮級(jí)數(shù)：

f（x）=0.5c 0+∑∞n=1c nT n（x）， （6）

c n=2π∫0 -1f（x）T n（x）1-x2dx，? （7）

式（6）又稱為傅里葉-切比雪夫級(jí)數(shù)展開(kāi)法．

切比雪夫多項(xiàng)式求解方法的基本思想是利用切比雪夫多項(xiàng)式將地表電位無(wú)窮積分轉(zhuǎn)為有限長(zhǎng)度切比雪夫序列求和，進(jìn)而快速評(píng)估地表電位．切比雪夫多項(xiàng)式求解方法如下：

步驟1.設(shè)首層的衰減系數(shù)E為

E=exp（-2λd 1）. （8）

對(duì)于第i層大地，其衰減系數(shù)可以改寫為

Eδ i=exp（-2λd i），δ i=d id 1. （9）

步驟2.將式（8）、（9）代入式（2），可得

k n-1=1-μ n-1Eδ n-11+μ n-1Eδ n-1，μ n-1=ρ n-1-ρ nρ n-1+ρ n，…k i=1-μ iEδ i1+μ iEδ i，μ i=ρ i-ρ i+1k i+1ρ i+ρ i+1k i+1，…k 1=1-μ 1Eδ 11+μ 1Eδ 1，μ 1=ρ 1-ρ 2k 2ρ 1+ρ 2k 2， （10）

使用級(jí)數(shù)展開(kāi)，式（10）可以化為

1-μ 1Eδ 11+μ 1Eδ 1≈A 0+A 1E+A 2E2+…=∑mi=0A iEi．? （11）

引入移位運(yùn)算、系數(shù)展開(kāi)和截?cái)嗾`差判定等三大環(huán)節(jié)來(lái)求解式（11）：

1）移位運(yùn)算．切比雪夫多項(xiàng)式的值域范圍為［-1，1］，而系數(shù)k 1的取值范圍為［0，1］．因此切比雪夫多項(xiàng)式要作移位運(yùn)算，移位切比雪夫多項(xiàng)式T j表達(dá)式取為

T 0（E）=1，T 1（E）=2E-1，T 2（E）=8E2-8E+1，T 3（E）=32E3-48E2+18E-1，T 4（E）=128E4-256E3+160E2-32E+1，…T m+1（E）=2·（2E-1）·T m（E）-T m-1（E）， m≥1.? （12）

2）系數(shù)展開(kāi)．進(jìn)行k 1的移位切比雪夫多項(xiàng)式展開(kāi)，式（11）轉(zhuǎn)化為

k 1（E）≈-0.5c 0+∑nk=0c kT k（E）→? A 0+A 1E+A 2E2+…，（13）

其中，c j為T j的系數(shù)，c j的具體表達(dá)式為

c j=2m∑mb=0k 1（ξ b）cosπjb+0.5m+1， （14）

其中，ξ b為T b系數(shù)方程的根，ξ b的具體表達(dá)式為

ξ b=0.5+0.5cosπb+0.5m+1，b=0，1，…，m.? （15）

3）截?cái)嗾`差判定．m階移位切比雪夫多項(xiàng)式表達(dá)式的誤差表達(dá)式可寫為

ε m（E）=∑∞b=m+1c bT b（E）.? （16）

式（16）近似取誤差主項(xiàng)：

ε m（E）≈c m+1T m+1（E），? （17）

E值域誤差的總誤差為

ε tot≈∫1 0c b+1T b+1（E）dE， （18）

式（18）積分的理論結(jié)果為

ε tot≈2m+1∑m+1b=0k 1（ξ b）cosπ（b+0.5）（m+1）m+2·

∑m+1i=0t ii+1， （19）

式中，t i為式（12）中移位切比雪夫多項(xiàng)式的系數(shù)．

因此可按圖2所示流程確定式（13）中的最高階數(shù)m．

步驟3.式（11）代入式（1）有

V（r）=ρ 1I2π∫∞ 0∑ni=0A iEiJ 0（λr）dλ.? （20）

根據(jù)利普希茨積分公式

∫∞ 0exp（-λ|x|）J 0（λy）dλ=1x2+y2，? （21）

代入式（20）有

V（r）=ρ 1I2π∫∞ 0∑ni=0A iEiJ 0（λr）dλ=

ρ 1I2π∑ni=0A i4i2d2 1+r2.? （22）

輸入電流I，求解式（22），輸出計(jì)算結(jié)果．

切比雪夫多項(xiàng)式求解方法大幅降低了直流輸電大地返回電流造成地表電位分布的計(jì)算難度，并有助于形成計(jì)算軟件．

2 算例分析與對(duì)比

取水平8層結(jié)構(gòu)大地（參數(shù)見(jiàn)表1）的算例，引入了標(biāo)準(zhǔn)接地計(jì)算軟件CDEGS關(guān)于5 000 A點(diǎn)電流源在1～100 km地表范圍內(nèi)的電位的計(jì)算結(jié)果，并與20階的切比雪夫多項(xiàng)式方法作對(duì)比．兩種不同方法的地表電位分布如圖3所示．本文方法與CDEGS計(jì)算結(jié)果在1 km處的偏差為0.71 V，10 km處的偏差為0.13 V，100 km處的偏差為0.04V．

由于切比雪夫多項(xiàng)式方法的計(jì)算精度和收斂速度與階數(shù)緊密相關(guān)，所以表2給出了不同階數(shù)下關(guān)于表1土壤模型的不同觀測(cè)點(diǎn)地表電位的結(jié)果．從表2的結(jié)果可以看出，在階數(shù)為10階的情況下計(jì)算結(jié)果偏差較大，但階數(shù)到達(dá)20階及以上時(shí)，計(jì)算結(jié)果趨于穩(wěn)定．在1～100 km的范圍內(nèi)，即使是20階的切比雪夫多項(xiàng)式方法，也已經(jīng)達(dá)到足夠工程應(yīng)用精度．

為進(jìn)一步分析表2中的數(shù)值差異，本文針對(duì)表1的情況，將切比雪夫多項(xiàng)式擬合誤差式（19）進(jìn)行了更深入的計(jì)算分析，結(jié)果如表3所示．從表3可以看出，剛開(kāi)始隨著切比雪夫多項(xiàng)式階數(shù)的增加，核函數(shù)擬合的理論偏差迅速衰減，然而當(dāng)階數(shù)達(dá)到20階時(shí)，收斂速度趨于緩慢．本文的應(yīng)用情況表明，切比雪夫多項(xiàng)式的階數(shù)只要選取為誤差較小的情況就可以達(dá)到比較好的工程應(yīng)用效果，計(jì)算的速度也較快．盲目地提高階數(shù)并不能夠?yàn)橛?jì)算的結(jié)果帶來(lái)明顯的精度提升，反而會(huì)浪費(fèi)大量的計(jì)算時(shí)間．

3 結(jié)論

針對(duì)直流接地極造成地表電位分布求解方面的難題，本文提出了一種切比雪夫多項(xiàng)式擬合地表電位的漢克爾變換積分核函數(shù)的求解方法．

1）基本積分核函數(shù)的傅里葉-切比雪夫級(jí)數(shù)展開(kāi)，引入移位運(yùn)算、系數(shù)展開(kāi)和截?cái)嗾`差判定等三大環(huán)節(jié)進(jìn)行求解，得到核函數(shù)的切比雪夫多項(xiàng)式自適應(yīng)階數(shù)擬合方法，從而大幅降低了地表電位分布的計(jì)算難度．

2）通過(guò)水平8層結(jié)構(gòu)大地算例分析了切比雪夫多項(xiàng)式階數(shù)m對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響．結(jié)果表明，在場(chǎng)點(diǎn)-源點(diǎn)距離小于10 m的情況下，切比雪夫多項(xiàng)式階數(shù)需要取40階，場(chǎng)點(diǎn)-源點(diǎn)距離大于1 km時(shí)，取20階即可達(dá)到精度要求．通過(guò)與基準(zhǔn)接地軟件CDEGS的對(duì)比，驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性．

3）基于移位切比雪夫多項(xiàng)式的地表電位求解方法為直流偏磁風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估提供了一種基礎(chǔ)的技術(shù)手段，有助于降低電網(wǎng)直流偏磁風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估的難度，輔助直流偏磁風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估等相關(guān)工作，可以為電力系統(tǒng)接地設(shè)計(jì)和其他行業(yè)提供相關(guān)的技術(shù)支持．

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Solving surface potential of DC grounding electrode by Chebyshev polynomial

QI Huanruo1 CHEN Chen1 YAN Xiangyang1 KANG Yilong1 WANG Shunran1 DIAO Xu1

1Economic and Technological Research Institute of State Grid Henan Electric Power Company，Zhengzhou 450052

Abstract The operation experiences have shown that the large-scale DC magnetic bias caused by DC grounding electrode can be attributed to the uneven surface potential distribution.Here，the Chebyshev polynomial is used to fit the Hankel transform kernel function in order to solve the surface potential distribution for the complex earth model of wide area depth stratification.The adaptive order fitting method of Chebyshev polynomial for kernel function is obtained via shift operation，coefficient expansion and truncation error determination，which greatly reduces the calculation difficulty of surface potential distribution in a large area caused by DC grounding electrode.Compared with the standard grounding calculation software CDEGS，the proposed Chebyshev polynomial approach achieves less than 1 V of earth surface potential deviation in range of 1-100 km when the DC grounding current is 5 000 A.Moreover，the order of the Chebyshev polynomial has influence on the solution results，and it is confirmed that the 20th-order Chebyshev polynomial can meet the accuracy requirements for general DC bias risk assessment.The proposed surface potential assessment method based on shifted Chebyshev polynomial provides a basic technical means for the risk assessment of DC bias，which is helpful to reduce the difficulty of DC bias risk assessment for power grid.

Key words DC grounding electrode;surface potential;Chebyshev polynomial;Hankel integral;DC bias