分析結(jié)構(gòu)，有的放矢

陳琮化

【摘要】本文對“因式分解”的教學(xué)進(jìn)行了系統(tǒng)地回顧和分析，著眼于培養(yǎng)和樹立學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，幫助學(xué)生從整體入手，對學(xué)生的困惑進(jìn)行分析梳理，再進(jìn)行系統(tǒng)性解構(gòu)，在“因式分解”學(xué)習(xí)過程中逐步形成知識結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生積極思考、敢于鉆研的能力，使學(xué)生熟練掌握“因式分解”的形式變化，靈活運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒ń忸}.

【關(guān)鍵詞】多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)分析；因式分解；教學(xué)思考

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中指出：“數(shù)與代數(shù)是數(shù)學(xué)知識體系的基礎(chǔ)之一，是學(xué)生認(rèn)知數(shù)量關(guān)系、探索數(shù)學(xué)規(guī)律、建立數(shù)學(xué)模型的基石，可以幫助學(xué)生從數(shù)量的角度清晰準(zhǔn)確地認(rèn)識、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.”

“數(shù)與式”作為代數(shù)知識體系中的基本語言，用字母表示代數(shù)式及數(shù)量關(guān)系，用代數(shù)式的運(yùn)算和推理進(jìn)行一般性結(jié)論的表述和總結(jié)，以及借助代數(shù)式理解和分析實(shí)際情境中的某些簡單問題，能夠幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)對代數(shù)模塊體系知識的歸納和梳理、常見解題方法的總結(jié)和運(yùn)用、重要數(shù)學(xué)思想的滲透和遷移以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和樹立.

1 因式分解教材分析

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中，對因式分解的具體要求是：能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超過二次）進(jìn)行因式分解（指數(shù)為正整數(shù)）.同時，能利用因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程.

這也就意味著，因式分解的學(xué)習(xí)建立在“整式的乘法”的基礎(chǔ)上，對代數(shù)式的恒等變換提出了更高的要求.在實(shí)際的教學(xué)過程中，能夠幫助學(xué)生熟練、靈活地掌握因式分解，對后續(xù)多項(xiàng)式運(yùn)算問題的處理、分式綜合運(yùn)算、解一元二次方程組、二次函數(shù)、銳角三角函數(shù)等相關(guān)的恒等變形，以及對某些簡單的實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模后的運(yùn)算，都有舉足輕重的作用.

教材從整式的乘法開始教學(xué)，以“在代數(shù)式的變形中，有時需要將一個多項(xiàng)式寫成幾個整式的乘積的形式”作為引入，要求學(xué)生利用之前學(xué)習(xí)過的“整式的乘法”的相關(guān)知識，教師作為引導(dǎo)者的角色，引導(dǎo)學(xué)生通過啟發(fā)得出因式分解的定義，并對“整式的乘法”及“因式分解”之間的關(guān)系作出了明確的界定：“因式分解與整式乘法是方向相反的變形”.

在該內(nèi)容的教學(xué)中，教師應(yīng)通過啟發(fā)式的引導(dǎo)，幫助學(xué)生能夠深入體會到二者在恒等變形之間的互逆關(guān)系，進(jìn)而在后續(xù)的教學(xué)中進(jìn)一步讓學(xué)生在這樣的關(guān)系中感知、體會、觀察并掌握因式分解的基本方法，幫助學(xué)生明確認(rèn)識到針對不同結(jié)構(gòu)的多項(xiàng)式需要使用不同的、恰當(dāng)?shù)囊蚴椒纸饧记?

其中，提公因式法選取“pa+pb+pc=pa+b+c”為切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生觀察、總結(jié)組成多項(xiàng)式中的各項(xiàng)中具有的公因式，并利用“乘法分配律”的儲備知識，總結(jié)出“提公因式法分解因式”的一般性方法.

而因?yàn)樵凇罢降某朔ā敝?，學(xué)生已學(xué)習(xí)掌握了平方差公式、完全平方公式的相關(guān)知識，教師只需要根據(jù)上文中提及的“互逆關(guān)系”即可引出“公式法分解因式”的常用結(jié)論：a2－b2=a+ba－b；a2±2ab+b2=a±b2.在引出結(jié)論后，教師需要對可利用平方差公式及完全平方公式進(jìn)行因式分解的多項(xiàng)式進(jìn)行結(jié)構(gòu)化分析，幫助學(xué)生理解并掌握什么結(jié)構(gòu)的多項(xiàng)式才可以使用這一基本方法進(jìn)行因式分解.

通過上述教材分析，筆者感悟到教材本身對因式分解的定位主要是注重培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析的數(shù)學(xué)技能，培養(yǎng)學(xué)生深入遷移數(shù)學(xué)知識的能力，另外也培養(yǎng)了學(xué)生的抽象能力和逆向思考能力，幫助學(xué)生能夠提高應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，為后續(xù)代數(shù)知識體系的建構(gòu)奠定更加牢固的基礎(chǔ).

2 關(guān)于“因式分解”的教學(xué)思考

筆者在教學(xué)實(shí)踐過程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)因式分解的過程中，往往會出現(xiàn)一些困惑和阻礙，圍繞這些問題，教師的教學(xué)也應(yīng)從中進(jìn)行深入的探索和調(diào)整.這主要集中體現(xiàn)在以下幾個方面.

2.1 什么是因式分解

學(xué)生對于因式分解概念的理解經(jīng)常會陷入一個循環(huán)誤區(qū).例如，有的學(xué)生將一個整式進(jìn)行因式分解后，又利用整式乘法運(yùn)算還原成多項(xiàng)式，這類錯誤在化簡求值、恒等變形類題目中很常見；又如，有的學(xué)生始終無法做到對多項(xiàng)式進(jìn)行徹底的因式分解，主要原因是學(xué)生沒有理解為什么因式分解要徹底.

對于因式分解而言，可以類比整數(shù)的除法中要將合數(shù)進(jìn)行徹底的分解為質(zhì)因數(shù)的原理，幫助學(xué)生認(rèn)識到將多項(xiàng)式進(jìn)行徹底的因式分解，目的都是為了便于能夠在多項(xiàng)式的一些除法運(yùn)算中進(jìn)行合理、正確地約分運(yùn)算.

在新課標(biāo)視角下，理解性教學(xué)的觀念應(yīng)深入課堂.“理解”對于概念性知識的學(xué)習(xí)來說至關(guān)重要，所以教師在教授因式分解概念的時候，要對教材整章的相關(guān)內(nèi)容有單元性地整體化解讀，圍繞單元主題，將因式分解的核心概念與已學(xué)知識進(jìn)行聯(lián)系.這并不是按部就班地根據(jù)教材進(jìn)行講解，而是要根據(jù)教材中的實(shí)際情況，盡可能設(shè)計出真實(shí)問題，用引導(dǎo)性的方式，幫助學(xué)生形成概念性知識的理解力.

2.2 學(xué)習(xí)因式分解的意義是什么

在新課標(biāo)視角下，尋找出知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，建立新知識與舊知識之間的普遍聯(lián)系和遷移關(guān)系，將課程內(nèi)容具體化，并整合成具有內(nèi)涵、可延伸性的大單元主題，是教師在本章內(nèi)容教學(xué)中的重要著力點(diǎn).

具體來說，對于整式的乘法而言，最終的運(yùn)算結(jié)果均為整式.但整式的除法則不然，例如：x2除以x+1，可以表示成x2x+1，但這個結(jié)果并不是整式.與整數(shù)的除法類似，整式的除法也會出現(xiàn)可以約分的情況，例如：3x4x，在分子和分母中均存在公因式x，可以將x約去，得到結(jié)果3x3.這對于學(xué)生來說并不難理解.

但如果是較為復(fù)雜的整式除法，例如：x2+2xy+y2x2－y2，那么學(xué)生需要根據(jù)之前學(xué)習(xí)過的整式乘法公式，對分子和分母進(jìn)行逆形式的處理，將原式轉(zhuǎn)化成：x+y2x+yx－y，通過觀察，可以將分子和分母中的公因式x+y約去，能得出最簡結(jié)果x+yx－y.這就是后續(xù)要學(xué)習(xí)的分式約分運(yùn)算.

所以，為了能夠更好地掌握整式除法運(yùn)算及分式綜合運(yùn)算，學(xué)習(xí)因式分解的意義和必要性不言而喻.教師在處理這一部分課程內(nèi)容時，要利用類比教學(xué)的方式，形成學(xué)生能夠適應(yīng)和理解的知識遷移方式.

2.3 如何運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒▽Χ囗?xiàng)式進(jìn)行因式分解

很多學(xué)生在學(xué)習(xí)因式分解的過程中，無法熟練、靈活地運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒▽Χ囗?xiàng)式進(jìn)行因式分解.主要原因是學(xué)生對多項(xiàng)式的組成結(jié)構(gòu)分析能力不足，無法快速、準(zhǔn)確地分析多項(xiàng)式適用的因式分解方法.其中也有學(xué)生觀察能力、抽象能力、應(yīng)用能力不足的因素.

在學(xué)習(xí)因式分解之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式的乘法的相關(guān)知識.現(xiàn)筆者就三種因式分解的基本方法為切入點(diǎn)，提出一些對多項(xiàng)式組成結(jié)構(gòu)解析的教學(xué)思考：

2.3.1 提公因式法

學(xué)習(xí)提公因式法，應(yīng)首先分析多項(xiàng)式的組成結(jié)構(gòu)，明確“公因式”的概念內(nèi)涵，再從“乘法分配律”的儲備知識入手，進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解.

例1 分解因式：2x2y－4xy2.

分析 首先該多項(xiàng)式是由2x2y和－4xy2兩個單項(xiàng)式組成，其中2xy為公因式，將其提取出后，根據(jù)“乘法分配律”的逆形式，能夠得出提取后各單項(xiàng)式剩余組成部分應(yīng)分別為x和－2y，即可得出因式分解后的結(jié)果.

解 原式=2xyx－2y.

借助上述問題，教學(xué)中教師應(yīng)著重講解如何辨別組成多項(xiàng)式的各單項(xiàng)式的公因式，并引導(dǎo)學(xué)生觀察各單項(xiàng)式的組成結(jié)構(gòu)，類比整數(shù)中“最大公因數(shù)”的甄別方式，將各單項(xiàng)式進(jìn)行逐一拆解，例如：2x2y=2·x·x·y；－4xy2=－2·2·x·y·y.通過觀察，即可明確2·x·y為二者的公因式.

提出公因式后，同樣類比整數(shù)乘法分配律的逆形式，利用整式的除法，求出單項(xiàng)式提取公因式后的結(jié)果，類比如下：

15+12=3×5+3×4=3×5+4；

2x2y－4xy2=2xyx－2y.

其次，教師在教學(xué)過程中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生避免出現(xiàn)一些常見的錯誤.

例2 分解因式：2xy2－3x2y+xy.

解 原式=xy2y－3x+1.

有的學(xué)生在處理這類問題時，會出現(xiàn)這樣的答案：2xy2－3x2y+xy=xy2y－3x，要引導(dǎo)學(xué)生注意對“1”和其他常數(shù)的處理.

另外，教師需引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會觀察并甄別公因式存在的多樣性，

例3 分解因式：ax－y+bx－y.

解 原式=a+bx－y.

在此類因式分解中，公因式以整體的形式存在，例如本題中的x－y，需將其作為一個整體公因式進(jìn)行提取.這對學(xué)生觀察多項(xiàng)式的組成結(jié)構(gòu)提出了更高的要求.

2.3.2 公式法

學(xué)生前期已完成了平方差公式和完全平方公式的學(xué)習(xí)，因此對公式法因式分解的教學(xué)，應(yīng)著重從多項(xiàng)式的特征結(jié)構(gòu)入手，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會觀察需要進(jìn)行因式分解的多項(xiàng)式是否適用于乘法公式.

例4 分解因式：4x2－9y2.

分析 該多項(xiàng)式為二次二項(xiàng)式，可以看成4x2和9y2的差，同時，根據(jù)積的乘方，明確4x2=2x2，9y2=3y2，滿足平方差公式的結(jié)構(gòu)要求，可利用平方差公式進(jìn)行因式分解.

解 原式=2x2－3y2

=2x+3y2x－3y.

在本題中，教師應(yīng)幫助學(xué)生明確多項(xiàng)式若要滿足利用平方差公式因式分解的要求，必須能將各組成項(xiàng)轉(zhuǎn)化成兩個平方式相減的形式，若無法轉(zhuǎn)化，則無法利用平方差公式進(jìn)行分解.但與此同時，若出現(xiàn)較為復(fù)雜的結(jié)果形式，則需要對分解后的結(jié)果做進(jìn)一步的化簡處理.

例5 分解因式：x－2y2－9x2.

解 原式=x－2y2－3x2

=x－2y+3xx－2y－3x

=4x－2y－2x－2y.

在本題中學(xué)生根據(jù)平方差公式因式分解后所得出的結(jié)果，并不是因式分解的最簡結(jié)果.遇到此類問題時，教師應(yīng)進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)觀察，是否已將多項(xiàng)式分解徹底，是否還能夠繼續(xù)進(jìn)行因式分解，要引導(dǎo)學(xué)生觀察4x－2y以及－2x－2y中均存在公因式，需進(jìn)一步進(jìn)行分解.正確解法如下：

解 原式=x－2y2－3x2

=x－2y+3xx－2y－3x

=4x－2y－2x－2y

=－22x－yx+y.

綜上所述，對于復(fù)雜形式的平方差公式，學(xué)生往往會容易掉以輕心，認(rèn)為運(yùn)用平方差公式后就已結(jié)束多項(xiàng)式的因式分解.教師需通過講解例5，讓學(xué)生學(xué)會舉一反三，避免出現(xiàn)不必要的錯誤.

而對于完全平方公式來說，更是學(xué)生在學(xué)習(xí)公式法分解因式時的難點(diǎn).相比平方差公式而言，其結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜，需求也更為嚴(yán)格.

例6 分解因式：4x2－12xy+9y2.

分析 根據(jù)完全平方公式的最簡結(jié)果的特征，明確能夠使用完全平方公式進(jìn)行因式分解的多項(xiàng)式需滿足包含“兩式平方和”“兩式乘積的2倍”的結(jié)構(gòu).本題中4x2=2x2，9y2=3y2，12xy=2·2x·3y，因此該多項(xiàng)式滿足完全平方公式中的結(jié)構(gòu)特征，可進(jìn)行因式分解.

解 原式=2x2－2·2x·3y+3y2

=2x－3y2.

例7 分解因式：x2－6xy+4y2.

分析 該多項(xiàng)式中，4y2=2y2，6xy=2·x·3y，因此原式可化為：x2－2·x·3y+2y2，通過觀察和甄別發(fā)現(xiàn)該多項(xiàng)式并不滿足完全平方公式的結(jié)構(gòu)，因此不能使用該公式對該式進(jìn)行因式分解.

綜上所述，運(yùn)用平方差公式和完全平方公式分解因式時，要熟悉公式的形式和特征，重點(diǎn)分析項(xiàng)數(shù)、系數(shù)和指數(shù)來選擇使用什么公式完成因式分解.在教學(xué)過程中可以適當(dāng)列舉一些反面示例，加強(qiáng)學(xué)生對多項(xiàng)式組成結(jié)構(gòu)的感知.

3 結(jié)語

要建立因式分解的知識結(jié)構(gòu)，核心應(yīng)從因式分解的概念出發(fā)，幫助學(xué)生能夠根據(jù)多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)、組成，得出因式分解方法技巧的運(yùn)用規(guī)律.學(xué)生需要經(jīng)歷思維的逆向性轉(zhuǎn)變過程，要能夠從整體知識結(jié)構(gòu)著手，靈活地運(yùn)用因式分解的基本方法對多項(xiàng)式進(jìn)行分解.將知識進(jìn)行結(jié)構(gòu)化教學(xué)、整體性單元教學(xué)，也是幫助學(xué)生樹立數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑和方法.

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