例談數(shù)形結(jié)合解題的三個常用技巧

王省紅

【摘要】數(shù)形結(jié)合是處理與平面圖形或函數(shù)圖象有關(guān)的數(shù)學(xué)問題的有力武器，借助數(shù)形結(jié)合思想，便于實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”之間的相互轉(zhuǎn)化，從而有利于目標(biāo)問題的順利求解.而在具體的解題過程中往往需要掌握一些常用技巧，能夠幫助我們有效提高運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題的實(shí)戰(zhàn)能力，充分彰顯數(shù)形結(jié)合在解題中發(fā)揮的重要作用.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；平移分析；旋轉(zhuǎn)分析

眾所周知，數(shù)形結(jié)合是解題的有力武器，具有直觀、明了性，便于將“數(shù)”的問題與“形”的問題相互轉(zhuǎn)化，以便更靈活地處理問題.本文主要闡述利用數(shù)形結(jié)合，在解題過程中涉及的三個常用技巧，旨在幫助學(xué)生提高運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的技巧，進(jìn)一步積累解題經(jīng)驗(yàn)，不斷提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

常用技巧一 平移分析

在數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)上，分析、求解給定含參方程的實(shí)根個數(shù)問題時，可靈活運(yùn)用“平移分析”技巧，以便借助動態(tài)分析思想，迅速、準(zhǔn)確獲得參數(shù)的取值范圍.

例1 若關(guān)于x的方程－（x－1）2=a有四個不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是．

解析 根據(jù)題意，易知函數(shù)y=－（x－1）2的圖象與直線y=a有四個不同的公共點(diǎn).

利用列表描點(diǎn)法可得函數(shù)y=－（x－1）2的圖象，如圖1所示.然后，讓水平直線y=a上下平移分析，可知：只有當(dāng)－1

評注 本題“平移分析”的關(guān)鍵是先畫出函數(shù)y=－（x－1）2的圖象，然后上下平移直線y=a加以分析，考查何時直線y=a與函數(shù)y=－（x－1）2的圖象有四個不同的公共點(diǎn).

結(jié)語

綜上，通過歸類舉例解析可知：處理與平面圖形或函數(shù)的圖象有關(guān)的數(shù)學(xué)問題時，需要利用數(shù)形結(jié)合思想解題，而在解題過程中往往需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)钠揭品治?，或旋轉(zhuǎn)分析，或轉(zhuǎn)化分析.唯此，才能幫助我們順利求解目標(biāo)問題，真正體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合解題的威力.