例談高中數(shù)學(xué)微課的設(shè)計(jì)與制作

張青松

【摘 ?要】微課由于短小精悍，教學(xué)直觀、生動(dòng)，同時(shí)具備進(jìn)度自定、反復(fù)瀏覽的特點(diǎn)，教學(xué)時(shí)更能突出學(xué)習(xí)目標(biāo)、精練學(xué)習(xí)內(nèi)容，能使學(xué)生的學(xué)習(xí)效率得到有效提高。微課使傳統(tǒng)的教與學(xué)發(fā)生改變，為了讓學(xué)生個(gè)性化的學(xué)習(xí)需求得到滿足，意味著中學(xué)教師有必要掌握微課的設(shè)計(jì)與制作。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)微課；橢圓教學(xué)；光學(xué)性質(zhì)

隨著移動(dòng)終端的普及，為應(yīng)用微課提供了更廣泛的空間，尤其在疫情背景下，更是成為優(yōu)化教學(xué)的重要手段。然而，多數(shù)一線教師對(duì)微課的設(shè)計(jì)和制作過(guò)程卻知之甚少。除了畏懼多媒體技術(shù)的操作，可供查閱的學(xué)科類微課設(shè)計(jì)案例少，也是多數(shù)教師不敢嘗試微課制作的主要原因。微課技術(shù)方面的問(wèn)題，市面上的相關(guān)書籍較多，不再贅述。本文針對(duì)第二個(gè)問(wèn)題，以在全國(guó)比賽中獲獎(jiǎng)的微課“橢圓的光學(xué)性質(zhì)”文本設(shè)計(jì)為例，從錄制工具及方法、教材分析、學(xué)情分析、教學(xué)設(shè)計(jì)、創(chuàng)作反思等重要環(huán)節(jié)逐一呈現(xiàn)，使讀者對(duì)微課的設(shè)計(jì)與制作有一個(gè)整體直觀的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而制作出符合新課程理念的微課，更好地運(yùn)用于教學(xué)中。

如果讀者想了解更多關(guān)于高中數(shù)學(xué)微課的實(shí)例，可以參見(jiàn)筆者的另外一篇拙文《以“指數(shù)函數(shù)的概念”教學(xué)設(shè)計(jì)為例談微課的設(shè)計(jì)與制作》。正如著名教學(xué)家陶行知所說(shuō)：“思想與行為結(jié)合而產(chǎn)生的知識(shí)是真知識(shí)，真知識(shí)的根是安在經(jīng)驗(yàn)里的。從經(jīng)驗(yàn)里發(fā)芽抽條開(kāi)花結(jié)果的是真知灼見(jiàn)，真知灼見(jiàn)是跟著智慧走的。”讀者若能在閱讀文章過(guò)后，結(jié)合教學(xué)實(shí)際親自制作微課，對(duì)教學(xué)能力的提升可能更有效。具體內(nèi)容

如下：

一、教學(xué)分析

微課名稱及時(shí)長(zhǎng)：橢圓的光學(xué)性質(zhì)及應(yīng)用，8分03秒。

錄制工具及方法：電腦、錄音話筒，PowerPoint 2003、Camtasia Studio、愛(ài)剪輯等軟件；方法是對(duì)PPT演示進(jìn)行屏幕錄制，輔以錄音和視頻剪輯。

適用對(duì)象：新人教A版選擇性必修一及其他版本橢圓知識(shí)初學(xué)者。

教材分析：本微課內(nèi)容出自2019年新人教A版選擇性必修一第三章的閱讀與思考。本課內(nèi)容是橢圓知識(shí)的進(jìn)一步拓展，既是數(shù)學(xué)與物理知識(shí)的綜合，也是高考命題的重要題源。

學(xué)情分析：從知識(shí)生成的角度看，經(jīng)過(guò)初中物理的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)知道光的反射定律，高中對(duì)橢圓的概念和性質(zhì)進(jìn)行了學(xué)習(xí)，對(duì)橢圓的光學(xué)性質(zhì)的理解有一定的基礎(chǔ)。

教學(xué)目標(biāo)：了解橢圓的光學(xué)性質(zhì)，知道橢圓光學(xué)性質(zhì)的解題應(yīng)用和生活應(yīng)用。

教學(xué)重點(diǎn)：了解橢圓的光學(xué)性質(zhì)，知道光學(xué)性質(zhì)在解題和生活中的應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：光學(xué)性質(zhì)的數(shù)學(xué)證明。

二、教學(xué)過(guò)程

（一）情境引入

你好，本節(jié)微課講解“橢圓的光學(xué)性質(zhì)”。平時(shí)看到的臺(tái)球桌都是矩形的，橢圓形的球桌你見(jiàn)過(guò)嗎？請(qǐng)觀察橢圓形球桌有什么特別之處。（展示視頻）

【設(shè)計(jì)意圖】 數(shù)學(xué)其實(shí)沒(méi)有想象的難，換個(gè)角度看問(wèn)題就不一樣。視頻展示一種與眾不同的臺(tái)球玩法，既能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又能使其了解光學(xué)性質(zhì)的背景。

（二）探究新知

如圖1所示，橢圓形臺(tái)球桌，玩的其實(shí)是橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓反射后過(guò)另一焦點(diǎn)。借助一些小工具，很容易驗(yàn)證這條性質(zhì)，請(qǐng)看（如圖2所示，利用小鏡子、激光筆和硬紙片等常見(jiàn)工具進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證）。

【設(shè)計(jì)意圖】 對(duì)橢圓的光學(xué)性質(zhì)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，進(jìn)一步感受光學(xué)性質(zhì)的真實(shí)性。

說(shuō)到光學(xué)性質(zhì)，眼前浮現(xiàn)出初中物理課本上的反射定律，還有那些曾經(jīng)畫過(guò)的光路圖。已知AO是入射光線，請(qǐng)作出法線和反射光線。過(guò)入射點(diǎn)O作鏡面的垂線得到法線，入射光線AO上任取一點(diǎn)P作鏡面的對(duì)稱點(diǎn)P1，再連接P1O就得到反射光線，光路圖就完成了。

如果反射鏡面是曲面又如何作光路圖呢？對(duì)，先過(guò)入射點(diǎn)作鏡面的切線，再過(guò)入射點(diǎn)作切線的垂線就是法線，入射光線AO上任取一點(diǎn)A作切線的對(duì)稱點(diǎn)A，再連接AO就得到反射光線，光路圖也完成了（圖3）。

【設(shè)計(jì)意圖】 通過(guò)對(duì)初中物理復(fù)習(xí)，回憶光的反射原理，深化對(duì)橢圓光學(xué)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)以及為探究證明提供依據(jù)。

（三）拓展提升

如圖4所示，請(qǐng)思考活動(dòng)1的光路圖怎樣完成。

（稍作停頓后） 來(lái)看完成后的光路圖，從圖4中可看出從焦點(diǎn)發(fā)出的光線F1P經(jīng)橢圓反射后過(guò)另一焦點(diǎn)F2?？梢钥闯?，光學(xué)性質(zhì)等價(jià)于在P處的法線平分P對(duì)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2所張的角∠F1PF2。雖然實(shí)驗(yàn)和光路圖都能直觀地驗(yàn)證橢圓的光學(xué)性質(zhì)，然而實(shí)際操作時(shí)均存在一定誤差，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性，那么如何證明橢圓的光學(xué)性質(zhì)呢？

仔細(xì)觀察光路圖，能聯(lián)想到一些熟悉的東西。由橢圓定義可知與之和為定值，而切線是線段的中垂線，與相等，所以與之和為定值，即是在以為圓心的圓上運(yùn)動(dòng)，在圓內(nèi)。問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為一道處理過(guò)的習(xí)題。

一道習(xí)題如圖5所示，圓O的半徑為r，定點(diǎn)A在圓O內(nèi)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，直線l是線段AP的垂直平分線，l與半徑OP交于點(diǎn)Q。當(dāng)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么？請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：連接QA，由已知得|QA|=|QP|，所以|QO|+|QA|=

|QO|+|QP|=r，又因點(diǎn)A在圓內(nèi)，故

|OA|＜|OP|，點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)A為焦點(diǎn)的，r為長(zhǎng)軸的橢圓。

解決這個(gè)問(wèn)題很簡(jiǎn)單，但如果就這樣結(jié)束了，會(huì)有入寶山而空手回的遺憾，我們用幾何畫板來(lái)探索一下。

從動(dòng)態(tài)演示中，我們可以看出中垂線與橢圓相切，怎樣證明呢？考慮到點(diǎn)是中垂線與橢圓的公共點(diǎn)，只需證明再無(wú)其他公共點(diǎn)就可以了。

【設(shè)計(jì)意圖】 學(xué)生在問(wèn)題的轉(zhuǎn)化過(guò)程中實(shí)現(xiàn)了從感性認(rèn)識(shí)到理性思維的飛躍，邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)也相應(yīng)得到提升。（本部分講解時(shí)應(yīng)適當(dāng)放慢語(yǔ)速。）

橢圓的光學(xué)性質(zhì)1——從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓反射后過(guò)另一焦點(diǎn)。等價(jià)于法線平分P對(duì)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2所張的角∠F1PF2。

建立平面直角坐標(biāo)系，可以從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)處理切線斜率。

當(dāng)P點(diǎn)在y軸上時(shí)，分子為0，切線斜率為0；當(dāng)P點(diǎn)在y軸上時(shí)，分母為0，切線斜率不存在。橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，可根據(jù)類似方法進(jìn)行推導(dǎo)，這里就不再贅述。

【設(shè)計(jì)意圖】 要在解題中使用橢圓的光學(xué)性質(zhì)，確定切線的斜率是很重要的一個(gè)步驟。從運(yùn)動(dòng)的角度處理斜率，能讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)之間的聯(lián)系，也能進(jìn)一步深化解析幾何設(shè)而不求的重要思想。

（四）應(yīng)用示例

橢圓的光學(xué)性質(zhì)也備受各地高考命題者的青睞，請(qǐng)看這道題。

【設(shè)計(jì)意圖】用所學(xué)知識(shí)解決高考題，既能讓學(xué)生體會(huì)光學(xué)性質(zhì)在解題中的便捷性，又能提高他們學(xué)習(xí)解析幾何的信心，此外解題過(guò)程的詳細(xì)展示也有利于學(xué)生形成答題的規(guī)范性。

橢圓的光學(xué)性質(zhì)在生活中有意想不到的應(yīng)用，被譽(yù)為“二十世紀(jì)三大醫(yī)療新技術(shù)”之一的體外震波碎石術(shù)就是例證。醫(yī)學(xué)上對(duì)付腎結(jié)石的一種方案，就是讓人的腎結(jié)石位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的位置，碎石機(jī)在另一個(gè)焦點(diǎn)處釋放的高能沖擊波經(jīng)橢圓面反射后集中于石頭上，將其擊碎，從而實(shí)現(xiàn)碎石的效果。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系，進(jìn)而形成“數(shù)學(xué)有用，并且能用”的觀念。

（五）課后鞏固

最后，對(duì)微課“橢圓的光學(xué)性質(zhì)及應(yīng)用”作一個(gè)簡(jiǎn)短的總結(jié)：

法線平分焦張角，切線斜率莫要忘，光學(xué)性質(zhì)解題妙，數(shù)學(xué)好玩學(xué)得歡。謝謝你的認(rèn)真觀看，再見(jiàn)！

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)口訣形式總結(jié)所學(xué)知識(shí)，不但簡(jiǎn)潔明了而且學(xué)生容易記住。

三、創(chuàng)作反思

微課正在改變著教師的教學(xué)，如何設(shè)計(jì)、制作和研究微課成為推動(dòng)教學(xué)改革的重要路徑。本微課作品共設(shè)五個(gè)環(huán)節(jié)：情境引入、探究新知、拓展提升、應(yīng)用示例、課后鞏固。五個(gè)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)層層遞進(jìn)，盡可能增加學(xué)生自我學(xué)習(xí)、探究的時(shí)間和空間，微課以朗朗上口的順口溜形式對(duì)內(nèi)容加以總結(jié)提升，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。微課的設(shè)計(jì)尊重了學(xué)生在自主學(xué)習(xí)時(shí)的獨(dú)特體驗(yàn)，關(guān)注學(xué)生在解題過(guò)程中的心理，有效提升了學(xué)生觀察能力和解題能力，增強(qiáng)了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，落實(shí)了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2020年修訂）》中“認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型在科學(xué)、社會(huì)、工程技術(shù)諸多領(lǐng)域的作用，提升實(shí)踐能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神”的目標(biāo)。