正方形中線段的數(shù)量關(guān)系

楊文金

歷年中考試卷中總會(huì)出現(xiàn)有關(guān)利用正方形的性質(zhì)探索線段的數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題，其常見(jiàn)形式主要有三種類(lèi)型.

一、證明“a = b”型

例1 （2022·甘肅·蘭州）綜合與實(shí)踐

【問(wèn)題情境】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，AE⊥EP，EP與正方形的外角∠DCG的平分線CP交于點(diǎn)P. 試猜想AE與EP的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【思考嘗試】（1）同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，取AB的中點(diǎn)F，連接EF可以解決這個(gè)問(wèn)題. 請(qǐng)?jiān)趫D1中補(bǔ)全圖形，解答老師提出的問(wèn)題.

【實(shí)踐探究】（2）希望小組受此問(wèn)題啟發(fā)，逆向思考這個(gè)題目，并提出新的問(wèn)題：如圖2，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP = 90°，連接CP，可以求出∠DCP的大小，請(qǐng)你思考并解答這個(gè)問(wèn)題.

【拓展遷移】（3）突擊小組深入研究希望小組提出的這個(gè)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如圖3，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP = 90°，連接DP. 知道正方形的邊長(zhǎng)時(shí)，可以求出△ADP周長(zhǎng)的最小值. 當(dāng)AB = 4時(shí)，請(qǐng)你求出△ADP周長(zhǎng)的最小值.

解析：（1）如圖4，取AB的中點(diǎn)F，連接EF，利用“同角的余角相等”說(shuō)明∠PEC = ∠BAE，再根據(jù)“ASA”證明△AFE ≌ △ECP，得AE = EP.

（2）如圖5，在AB上取AF = EC，連接EF，由（1）同理可得∠CEP = ∠FAE，可證? ? ?△FAE ≌ △CEP（SAS），再說(shuō)明△BEF是等腰直角三角形，即可得出∠DCP = 45°.

（3）如圖6，連接CP，作DG⊥CP，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，交CP于點(diǎn)O，連接AG，可證△DCG是等腰直角三角形，可知點(diǎn)D與G關(guān)于CP對(duì)稱，則AP + DP的最小值為AG的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AG = 4[5]，進(jìn)而得出△ADP周長(zhǎng)的最小值為AD + AG = 4 + 4[5].

二、證明“a = xb”型

例2（2021·山東·煙臺(tái)）有公共頂點(diǎn)A的正方形ABCD與正方形AEGF按如圖7所示放置，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB和AD上，連接BF，DE，M是BF的中點(diǎn)，連接AM交DE于點(diǎn)N.

【觀察猜想】（1）線段DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系是__________，位置關(guān)系是_____________.

【探究證明】（2）將圖7中的正方形AEGF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)G恰好落在邊AB上，如圖8，其他條件不變，線段DE與AM之間的關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：（1）如圖7，由正方形的性質(zhì)得AD = AB，AF = AE，∠DAE = ∠BAF = 90°，根據(jù)“SAS”證明△DAE ≌ △BAF，由全等三角形的性質(zhì)得DE = BF，∠ADE = ∠ABF，由直角三角形的性質(zhì)得BF = 2AM，則DE = 2AM，易得∠ANE = 90°，從而DE⊥AM. 故應(yīng)填DE = 2AM，DE⊥AM.

（2）如圖9，延長(zhǎng)AM至點(diǎn)H，使得MH = AM，連接FH，證明△AMB≌△HMF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AB = HF，∠ABM = ∠HFM，證明△EAD ≌ △AFH（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出DE = AH，則DE = 2AM，易得∠AND = 180° - （∠ADE + ∠DAM） = 90°，即AN⊥DN. 故線段DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系是DE = 2AM，線段DE與AM之間的位置關(guān)系是DE⊥AM.

三、證明“a + b = c”型

例3 （2022·湖北·恩施）如圖10，四邊形ABCD是正方形，G為線段AD上任意一點(diǎn)，CE⊥BG于點(diǎn)E，DF⊥CE于點(diǎn)F. 求證：DF = BE + EF.

解析：根據(jù)“AAS”可證△CBE ≌ △DCF，

可得BE = CF，CE = DF.

由CE = EF + CF，可得DF = BE + EF.

（作者單位：山東省棗莊市第二中學(xué)）