隨機(jī)過程中的隨機(jī)變量概念錯誤及糾正

高宏

［摘 要］文章以維納過程定義為例，分析隨機(jī)過程理論在研究單個質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動時，將質(zhì)點(diǎn)位移與時間之間的數(shù)量關(guān)系抽象為隨機(jī)變量的基本概念錯誤，以及使用描述大量質(zhì)點(diǎn)空間位置分布的隨機(jī)變量數(shù)字特征來刻畫單個質(zhì)點(diǎn)位移隨時間變化規(guī)律的方法錯誤。文章將布朗粒子位移與時間之間的數(shù)量關(guān)系還原為時間函數(shù)，根據(jù)愛因斯坦“同一個布朗粒子在不同微小時間間隔中的運(yùn)動相互獨(dú)立”的基本假設(shè)，從理論上證明了布朗運(yùn)動的瞬時速度為白噪聲過程，并基于白噪聲樣本函數(shù)重新定義了維納過程，建立了可正確描述單個布朗粒子運(yùn)動規(guī)律的樣本函數(shù)模型。

［關(guān)鍵詞］隨機(jī)過程；隨機(jī)變量；樣本函數(shù)；維納過程

［中圖分類號］ G644.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 2095-3437（2023）02-0052-05

隨機(jī)過程理論是一種利用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論和研究方法，探討和揭示客觀世界動態(tài)隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律并解決自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會科學(xué)等領(lǐng)域?qū)嶋H問題的應(yīng)用數(shù)學(xué)理論。隨機(jī)過程理論最早源于愛因斯坦1905年對布朗運(yùn)動的定量研究，隨機(jī)過程、隨機(jī)變量和樣本函數(shù)等數(shù)學(xué)概念是從質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動現(xiàn)象中抽象出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，是人腦對質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動現(xiàn)象數(shù)量關(guān)系及空間形式的思維反映。隨機(jī)變量基本概念雖然遠(yuǎn)離了直觀的經(jīng)驗(yàn)世界，卻能更深刻地反映隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)。由于隨機(jī)變量定義及基本概念的抽象性和復(fù)雜性，維納（Wiener）在研究單個布朗粒子所走曲線的數(shù)學(xué)性質(zhì)時，將單個布朗粒子的位移與時間之間的數(shù)量關(guān)系抽象為隨機(jī)變量[1-4]，無形中改變了布朗粒子位移函數(shù)的定義域和值域，導(dǎo)致研究對象從單個質(zhì)點(diǎn)改變?yōu)橘|(zhì)點(diǎn)集合，并用隨機(jī)變量的統(tǒng)計特性來描述樣本函數(shù)的曲線性質(zhì)，從而得出了“布朗粒子位移服從正態(tài)分布”“布朗粒子位移與時間的平方根成正比”和“布朗運(yùn)動路徑處處不可導(dǎo)”等一系列與物理學(xué)理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果嚴(yán)重不符的結(jié)論，為自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會科學(xué)提供了錯誤的理論、方法及工具。

本文擬分析維納過程定義中的基本概念錯誤和研究方法錯誤，基于愛因斯坦“布朗粒子在不同時間間隔中的運(yùn)動相互獨(dú)立”的基本假設(shè)，推導(dǎo)出布朗粒子的瞬時速度為白噪聲過程，利用白噪聲樣本函數(shù)重新定義維納過程，建立可正確描述單個布朗粒子運(yùn)動規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。

一、概率論中的隨機(jī)變量定義

隨機(jī)變量是概率論中一個極為重要的基本概念，也是研究隨機(jī)現(xiàn)象的基本工具。引入隨機(jī)變量的主要目的是把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，將隨機(jī)事件的結(jié)果映射為實(shí)數(shù)，這樣就可以利用數(shù)學(xué)分析方法來研究隨機(jī)現(xiàn)象。

隨機(jī)變量的定義涉及隨機(jī)試驗(yàn)、樣本點(diǎn)和樣本空間三個基本概念。

隨機(jī)試驗(yàn)是指人們對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行的觀察或觀測，隨機(jī)試驗(yàn)具有以下三個特征：

（1）可重復(fù)性：在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行。

（2）多結(jié)果性：試驗(yàn)結(jié)果不止一個，但所有可能的結(jié)果都是事先明確可知的。

（3）不確定性：每次試驗(yàn)之前不能確定會出現(xiàn)哪一個結(jié)果，但可以肯定會出現(xiàn)所有可能結(jié)果中的一個。

盡管一次隨機(jī)試驗(yàn)將要出現(xiàn)的結(jié)果是不確定的，但其所有可能結(jié)果是明確的。我們把大量重復(fù)隨機(jī)試驗(yàn)會出現(xiàn)的每一種可能的結(jié)果稱為一個樣本點(diǎn)，一般記為ω；全部樣本點(diǎn)的集合稱為樣本空間，一般記為Ω。

定義：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Ω={ω}，若X（ω）為定義在樣本空間Ω上的單值實(shí)數(shù)函數(shù)，則稱X（ω）為隨機(jī)變量，簡記為X。

隨機(jī)變量的取值可以是連續(xù)的，也可以是離散的，根據(jù)隨機(jī)變量取值的不同，可以分為連續(xù)型隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量。

通常用大寫英文字母X，Y，Z，…來表示隨機(jī)變量，用小寫英文字母x，y，z，…表示實(shí)數(shù)。如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果本身就是一個實(shí)數(shù)x，即樣本點(diǎn)ω本身是一個實(shí)數(shù)，這時常定義X= X（ω）= ω= x。

對于拋硬幣試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果可能是硬幣正面向上，也可能是硬幣反面向上，即有兩種可能的結(jié)果，而且只有這兩種結(jié)果，事先可以明確。因此該試驗(yàn)所對應(yīng)的樣本空間Ω由ω1和 ω2兩個樣本點(diǎn)構(gòu)成，我們指定實(shí)數(shù)1和-1分別與樣本點(diǎn)ω1和 ω2對應(yīng)（見圖1），則隨機(jī)變量可寫成

[X=Xω=? ?1，ω=ω1-1，ω=ω2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）]

從上述隨機(jī)變量的定義可以看出，隨機(jī)變量X的取值由樣本點(diǎn)ω決定，也就是說，隨機(jī)變量X是樣本點(diǎn)ω的函數(shù)，即有X= X（ω）。因此，隨機(jī)變量的定義域?yàn)闃颖究臻gΩ。

隨機(jī)變量實(shí)質(zhì)上是一個定義在“隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果集合”上的單值實(shí)數(shù)函數(shù)，隨機(jī)變量的不同取值與隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果一一對應(yīng)，隨機(jī)變量的值隨試驗(yàn)結(jié)果的不同而變化。從數(shù)學(xué)上講，隨機(jī)變量就是一個從隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的集合到實(shí)數(shù)集的映射。

二、隨機(jī)過程與隨機(jī)變量的關(guān)系

在現(xiàn)實(shí)世界中，許多隨機(jī)現(xiàn)象都是隨著時間的進(jìn)程變化發(fā)展的，這類動態(tài)隨機(jī)現(xiàn)象就是所謂的隨機(jī)過程。例如在相同條件下重復(fù)10次觀察一個從原點(diǎn)出發(fā)的布朗粒子位移x隨時間t的變化過程，可得到如圖2所示的10條布朗粒子位移曲線，這10次測量結(jié)果也可分別用10個時間函數(shù)x1（t），x2（t），…，x10（t）表示。盡管每次的試驗(yàn)結(jié)果各不相同，但每次的結(jié)果卻是一個確定性的時間函數(shù)xi（t）。若同時觀測10個從原點(diǎn)出發(fā)的布朗粒子位移x隨時間t的變化過程，也會得到與圖2類似的試驗(yàn)結(jié)果曲線。

顯然，每個布朗粒子的觀測結(jié)果，均為一個隨時間變化的實(shí)數(shù)，亦即隨機(jī)過程的試驗(yàn)結(jié)果是一族時間函數(shù)x1（t），x2（t），…，xi（t），…，也就是說，隨機(jī)過程試驗(yàn)的樣本點(diǎn)ωi與時間函數(shù)xi（t）一一對應(yīng)（見圖3）。

由于隨機(jī)過程的試驗(yàn)結(jié)果是一族時間函數(shù)，因此我們可用定義在Ω×T上的二元函數(shù)X（ω，t）來描述隨機(jī)過程的所有試驗(yàn)結(jié)果。下面給出X（ω，t）在四種不同情況下的含義：

（1）固定ω，X（ω，t）是一個自變量為t、定義域?yàn)門的普通函數(shù)，它是一次隨機(jī)過程試驗(yàn)（即在T上進(jìn)行一次全程觀測）所得到的一條記錄曲線或一個時間函數(shù)x（t），通常稱為隨機(jī)過程的一次物理實(shí)現(xiàn)或一個樣本函數(shù)（軌道）。樣本函數(shù)x（t）是確定性的時間函數(shù)，從時間角度刻畫了隨機(jī)過程。

（2）固定t，X（ω，t）是一個定義在樣本空間Ω上的單值實(shí)數(shù)函數(shù)，也就是概率論中的隨機(jī)變量，簡記為X（t）。從概率論的觀點(diǎn)來看，隨機(jī)過程就是一族有時間標(biāo)記的隨機(jī)變量X（t）。隨機(jī)變量X（t）從空間角度刻畫了大量布朗粒子在某一時刻的位置分布規(guī)律。

（3）固定ω，固定t，X（ω，t）是一個實(shí)數(shù)，表示某次隨機(jī)過程試驗(yàn)在t時刻的觀測值。

（4）當(dāng)ω和t均變化時，隨機(jī)過程試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成一族樣本函數(shù)，因此，所有這些樣本函數(shù)的總體或集合就構(gòu)成了隨機(jī)過程。

綜上所述，我們可以從兩個不同的角度給出隨機(jī)過程的兩種等價定義。

定義1：隨機(jī)過程是一族依賴于樣本空間的時間函數(shù)集合。

定義2：隨機(jī)過程是一族依賴于時間的隨機(jī)變量集合。

定義1把隨機(jī)過程看成是一族樣本函數(shù)的集合，這是概率論隨機(jī)變量定義的推廣。概率論將樣本空間中的樣本點(diǎn)映射成實(shí)數(shù)軸上的一個點(diǎn)，而隨機(jī)過程則是將樣本空間中的樣本點(diǎn)映射成一個時間函數(shù)（隨時間變化的實(shí)數(shù)）。

定義2把隨機(jī)過程看成是概率論中多維隨機(jī)變量的推廣，可以把多維隨機(jī)變量的理論作為隨機(jī)過程理論的基礎(chǔ)。

以上兩種定義從不同的角度描述了隨機(jī)過程，其本質(zhì)是相同的，互為補(bǔ)充。在工程技術(shù)領(lǐng)域?qū)﹄S機(jī)過程做實(shí)際觀測常用定義1，觀測次數(shù)越多，所得樣本函數(shù)數(shù)量也越多，則越能掌握隨機(jī)過程的統(tǒng)計規(guī)律。定義2與概率論中的隨機(jī)變量定義相聯(lián)系，因此在數(shù)學(xué)領(lǐng)域做隨機(jī)過程理論分析時，常用定義2。時間分割越小，多維隨機(jī)變量的維數(shù)n就越大，也就越能細(xì)致描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計規(guī)律。

在實(shí)際應(yīng)用中，樣本函數(shù)x（t）用來記錄或描述一個質(zhì)點(diǎn)的位移隨時間的變化過程，隨機(jī)變量X（t）則用來描述大量質(zhì)點(diǎn)在某一時刻的空間位置分布。所有質(zhì)點(diǎn)在t時刻的位置，或所有樣本函數(shù)x（t）在t時刻的函數(shù)值，就是t時刻隨機(jī)變量X（t）的取值。

隨機(jī)變量符號X（t）并不表示X（t）是時間t的函數(shù)，X（t）是定義在樣本空間Ω上的單值實(shí)數(shù)函數(shù)，它只表示t時刻所有樣本函數(shù)的取值，即X（t）={ x1（t），x2（t），…，xi（t），…}。但是在隨機(jī)過程理論中，卻出現(xiàn)了用隨機(jī)變量X（t）來描述單個質(zhì)點(diǎn)位移x（t）的基本概念錯誤，無形中改變了樣本函數(shù)x（t）的定義域和值域，導(dǎo)致研究對象從單個質(zhì)點(diǎn)改變?yōu)榇罅抠|(zhì)點(diǎn)，從而得出了一系列與事實(shí)不符的錯誤結(jié)論。

三、各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程

研究隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性，從理論上說需要通過實(shí)驗(yàn)觀測得到所有樣本函數(shù)x（t），然后才能用統(tǒng)計方法求出不同時刻隨機(jī)變量X（t）的數(shù)學(xué)期望、方差和自相關(guān)函數(shù)等數(shù)字特征，但這在實(shí)際研究工作中往往辦不到，因?yàn)檫@需要對一個隨機(jī)過程進(jìn)行大量重復(fù)的實(shí)驗(yàn)或觀察，甚至需要實(shí)驗(yàn)次數(shù)N趨于無窮大時才能滿足要求。

有一種平穩(wěn)隨機(jī)過程，對其任何一個樣本函數(shù)x（t）所做的各種時間平均，從概率意義上趨近于隨機(jī)變量X（t）的各種統(tǒng)計平均，則稱之為具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過程。

各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程的任何一個樣本函數(shù)x（t）都經(jīng)歷了隨機(jī)過程X（ω，t）的所有可能狀態(tài)，因此可用任何一個樣本函數(shù)x（t）的時間平均來代替X（t）的統(tǒng)計平均或集合平均，簡化隨機(jī)現(xiàn)象的測量和計算過程，給解決實(shí)際問題帶來極大的方便。

例如，分析電子產(chǎn)品中的白噪聲時，用常規(guī)方法，需要在同一條件下，同時測量并記錄所有電子產(chǎn)品中的白噪聲電壓或電流波形，再用統(tǒng)計方法計算出白噪聲過程的均值、方差和自相關(guān)函數(shù)等數(shù)字特征。而利用白噪聲過程的各態(tài)歷經(jīng)性，則只需要在同一條件下，長時間測量并記錄一臺電子產(chǎn)品的白噪聲，然后用求時間平均的方法，即可獲得白噪聲過程的均值、方差和自相關(guān)函數(shù)等數(shù)字特征，大大簡化實(shí)際問題的研究過程。

對于隨機(jī)游走和布朗運(yùn)動這類非平穩(wěn)隨機(jī)過程，各個樣本函數(shù)具有不同的上升或下降趨勢，整個過程不具有各態(tài)歷經(jīng)性。因此，研究隨機(jī)游走和布朗運(yùn)動的隨機(jī)變量和樣本函數(shù)時，要分別采用概率分析方法和函數(shù)分析方法來研究它們的空間統(tǒng)計特性和時間變化規(guī)律。

四、維納過程定義的概念錯誤分析

維納過程是隨機(jī)過程理論中一種重要的連續(xù)時間隨機(jī)過程，是刻畫一系列復(fù)雜隨機(jī)過程的基本工具。維納過程不僅在隨機(jī)過程理論中占有相當(dāng)重要的地位，而且也是自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會科學(xué)研究動態(tài)隨機(jī)現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)工具。液體中懸浮微粒的布朗運(yùn)動、光纖陀螺中的隨機(jī)游走誤差和股票市場中的價格波動等隨機(jī)現(xiàn)象均可用維納過程進(jìn)行描述。

（一）愛因斯坦布朗運(yùn)動理論

布朗運(yùn)動是物理學(xué)中的一個著名現(xiàn)象。愛因斯坦于1905年首先對布朗運(yùn)動進(jìn)行了定量研究，為隨機(jī)過程理論的建立和發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

由于宏觀可觀測物理量與大量微觀粒子運(yùn)動的統(tǒng)計規(guī)律有關(guān)，因此愛因斯坦的研究對象并不是一個布朗粒子，而是由大量粒子組成的熱力學(xué)系統(tǒng)，愛因斯坦關(guān)注的是大量布朗粒子在某一時刻的空間位置分布規(guī)律。

愛因斯坦認(rèn)為布朗粒子的隨機(jī)運(yùn)動是由于受到大量液體分子的高速碰撞而引起的，并提出了“同一個布朗粒子在不同微小時間間隔中的運(yùn)動相互獨(dú)立”和“不同布朗粒子之間的運(yùn)動相互獨(dú)立”兩個假設(shè)。

愛因斯坦對一維布朗運(yùn)動進(jìn)行了定量研究，假設(shè)所有布朗粒子同時從x軸的原點(diǎn)出發(fā)，根據(jù)熱分子運(yùn)動擴(kuò)散方程推導(dǎo)出了大量布朗粒子在t時刻空間位置的概率分布函數(shù)

式中D為擴(kuò)散系數(shù)。

顯然，所有布朗粒子在t時刻的空間位置服從數(shù)學(xué)期望為零、方差為2Dt的正態(tài)分布。圖2所示的布朗運(yùn)動仿真試驗(yàn)結(jié)果也表明，大量布朗粒子在某一時刻的空間位置服從正態(tài)分布，其方差與時間成正比。

（二）維納過程定義

維納在研究愛因斯坦布朗運(yùn)動理論后，發(fā)現(xiàn)愛因斯坦僅從統(tǒng)計的角度成功地解釋了大量布朗粒子的擴(kuò)散現(xiàn)象，但是并沒有給出單個布朗粒子的運(yùn)動學(xué)描述。

維納對單個布朗粒子運(yùn)動軌跡的數(shù)學(xué)性質(zhì)感興趣，首先設(shè)X（t）為布朗粒子在t時刻的位移[1-4]，然后根據(jù)愛因斯坦的“同一個布朗粒子在不同微小時間間隔中的運(yùn)動相互獨(dú)立”假設(shè)和大量布朗粒子在t時刻的位置服從正態(tài)分布的結(jié)論，給出了如下的維納過程定義：

若一個隨機(jī)過程{ X（t），t≥0}滿足

（1）X（t）是獨(dú)立增量過程。

（2）X（t）～N（0，σ2t）。

（3）X（t）關(guān)于t是連續(xù)函數(shù)。

則稱X（t）是布朗運(yùn)動或維納過程。

（三）維納過程定義中的概念錯誤

維納過程首先用X（t）表示一個布朗粒子在t時刻的位移，因此X（t）是定義在時域T上的一般函數(shù)，表明X（t）只是隨機(jī)過程X（ω，t） 固定ω時的一個樣本函數(shù)x（t），映射的是樣本空間Ω中的一個樣本點(diǎn)，亦即布朗運(yùn)動的一次試驗(yàn)結(jié)果。

維納過程在定義中又假定X（t）為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，表明X（t）是定義在樣本空間Ω上的函數(shù)，也就是t時刻的隨機(jī)變量，映射的是樣本空間Ω上的所有樣本點(diǎn)，亦即布朗運(yùn)動的所有試驗(yàn)結(jié)果。

隨機(jī)變量和樣本函數(shù)是兩個具有完全不同定義域和值域的函數(shù)（見表1），描述的是完全不同的隨機(jī)現(xiàn)象。維納過程定義使用同一函數(shù)符號X（t）來表示樣本函數(shù)和隨機(jī)變量，從根本上混淆了樣本函數(shù)和隨機(jī)變量所表達(dá)的內(nèi)涵和外延。

維納過程的研究對象是一個布朗粒子在t時刻的位移X（t），因此X（t）是時間t的一般函數(shù)。但是維納過程定義卻將X（t）又當(dāng)作隨機(jī)變量，無形中改變了X（t）的定義域和值域，導(dǎo)致研究對象從單個質(zhì)點(diǎn)改變?yōu)橘|(zhì)點(diǎn)集合，加之用愛因斯坦描述大量布朗粒子空間位置正態(tài)分布的統(tǒng)計特性來刻畫單個布朗粒子的位移性質(zhì)，勢必會得出一系列與事實(shí)不符的錯誤結(jié)論。

五、維納過程性質(zhì)與事實(shí)不符

維納過程將單個布朗粒子在t時刻的位移X（t）當(dāng)作隨機(jī)變量，改變了時間函數(shù)X（t）的定義域和值域，從而得出“布朗粒子位移服從正態(tài)分布”“布朗粒子位移與時間的平方根成正比”和“布朗運(yùn)動路徑處處不可導(dǎo)”等一系列與物理學(xué)理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果嚴(yán)重不符的結(jié)論。

（一）正態(tài)分布假設(shè)與經(jīng)驗(yàn)事實(shí)不符

假設(shè)布朗粒子位移X（t）服從（0，σ2t）正態(tài)分布，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，布朗粒子位移曲線X（t）應(yīng)具有如下兩個特點(diǎn)：

（1）對稱性：在每一時刻t，絕對值相等的正、負(fù)位移出現(xiàn)的次數(shù)大致相等。

（2）集中性：在每一時刻t，布朗粒子在0點(diǎn)附近出現(xiàn)的次數(shù)最多。

根據(jù)維納過程定義X（t）關(guān)于t是連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，可畫出維納過程描述的布朗粒子位移曲線（見圖4）。

顯然，維納過程描述的布朗粒子位移曲線與圖2所示的布朗粒子位移曲線完全不符。圖2所示的布朗粒子位移曲線均隨時間向遠(yuǎn)離原點(diǎn)的方向持續(xù)擴(kuò)散，既不呈現(xiàn)正態(tài)分布的對稱性，也不具有正態(tài)分布的集中性。

事實(shí)上，愛因斯坦關(guān)于“布朗運(yùn)動服從正態(tài)分布”的結(jié)論指的是大量布朗粒子在某一時刻的空間位置服從正態(tài)分布。觀察圖2所示的布朗粒子位移曲線可以發(fā)現(xiàn)，所有布朗粒子在同一時刻的位置均服從正態(tài)分布，并具有正態(tài)分布的對稱性和集中性。

（二）路徑處處不可導(dǎo)性質(zhì)與物理學(xué)實(shí)驗(yàn)不符

維納基于“布朗粒子位移服從正態(tài)分布”的假設(shè)，還得出了“布朗運(yùn)動路徑處處不可導(dǎo)（瞬時速度無窮大）”的著名論斷，并認(rèn)為測量布朗粒子“瞬時速度”的任何努力都是徒勞的。

2010年，美國得克薩斯大學(xué)的李統(tǒng)藏成功地利用激光光鑷技術(shù)首次實(shí)驗(yàn)測量到了布朗粒子的瞬時速度，實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了單個布朗粒子的瞬時速度波形為白噪聲[5]，表明布朗運(yùn)動的導(dǎo)數(shù)（瞬時速度）不僅存在，而且可觀測。

李統(tǒng)藏的研究成果在《科學(xué)》雜志上發(fā)表后，在全球引起了極大的轟動?！犊茖W(xué)》雜志將李統(tǒng)藏的布朗粒子瞬時速度測量實(shí)驗(yàn)推薦為大學(xué)及高中教學(xué)內(nèi)容，美國明尼蘇達(dá)大學(xué)等學(xué)校的相關(guān)課程已經(jīng)將該實(shí)驗(yàn)作為教學(xué)內(nèi)容。

六、重新定義維納過程

（一）布朗運(yùn)動瞬時速度

設(shè)x（t）為布朗粒子在t時刻的位移，根據(jù)愛因斯坦“同一個布朗粒子在不同微小時間間隔中的運(yùn)動相互獨(dú)立”假設(shè)，可知單個布朗粒子的瞬時速度v（t）在不同時刻互不相關(guān)，因此v（t）的自相關(guān)函數(shù)可表示為

[Rvτ=vt-τv（τ）=N0δτ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）]

式中τ為時間間隔，N0為正實(shí)常數(shù)，δ（τ）為單位沖擊函數(shù)。

根據(jù)維納-辛欽定理，平穩(wěn)隨機(jī)信號的功率譜密度是其自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換，v（t）的功率譜密度

[Svf=-∞∞v（t）e-j2πftdt=N0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）]

即單個布朗粒子的瞬時速度v（t）的功率譜密度在整個頻率軸上均勻分布。

式（3）和式（4）表明v（t）為平均功率為N0的白噪聲，與李統(tǒng)藏的布朗粒子瞬時速度測量實(shí)驗(yàn)結(jié)果完全相符。

（二）重新定義維納過程

由于單個布朗粒子的瞬時速度v（t）就是單個布朗粒子位移x（t）的導(dǎo)數(shù)，白噪聲的平均功率N0等于其方差σ2，因此，可給出如下的維納過程定義：

若n（t）為均值為零、方差為σ2的白噪聲樣本函數(shù)，則稱

[xt=0tntdt? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（5）]

為從原點(diǎn)出發(fā)的布朗運(yùn)動或維納過程。

白噪聲是一種理想化的數(shù)學(xué)模型，由于其自相關(guān)函數(shù)是一個“沖擊函數(shù)”，功率譜密度為“常數(shù)”，因此在數(shù)學(xué)上具有處理簡單、計算方便等優(yōu)點(diǎn)，在隨機(jī)信號分析中占有相當(dāng)重要的地位。

根據(jù)式（5）的單個布朗粒子位移數(shù)學(xué)模型，可演繹推導(dǎo)出單個布朗粒子在時域及頻域的所有性質(zhì)和運(yùn)動規(guī)律，以及大量布朗粒子在t時刻服從（0，σ2t）正態(tài)分布的結(jié)論，與愛因斯坦布朗運(yùn)動理論完全一致[6]。

七、結(jié)論

由于隨機(jī)變量定義及概念的抽象性和復(fù)雜性，隨機(jī)過程理論中出現(xiàn)了將單個質(zhì)點(diǎn)位移假設(shè)為隨機(jī)變量的基本概念錯誤。這一基本概念錯誤不僅導(dǎo)致研究對象從單個質(zhì)點(diǎn)改變?yōu)橘|(zhì)點(diǎn)集合，而且導(dǎo)致只能使用描述大量質(zhì)點(diǎn)空間位置分布的統(tǒng)計規(guī)律來刻畫單個質(zhì)點(diǎn)的位移性質(zhì)，從而得出了一系列與經(jīng)驗(yàn)事實(shí)不符的錯誤結(jié)論，為自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會科學(xué)提供了錯誤的理論、方法及工具?！芭c實(shí)際結(jié)合，問題驅(qū)動”是隨機(jī)過程等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的不竭動力和重要特征，因此，隨機(jī)過程理論中關(guān)于質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動的基本概念及研究方法將面臨重大范式變革，新的質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動理論將替代現(xiàn)有教科書中的內(nèi)容，把人類對質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動的認(rèn)識提高到一個嶄新的水平，為中國的隨機(jī)過程學(xué)科進(jìn)入世界一流學(xué)科前列提供了千載難逢的歷史性發(fā)展機(jī)遇。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 卡林，泰勒.隨機(jī)過程初級教程[M]. 莊興無，陳宗洵，陳慶華，譯.北京：人民郵電出版社，2007.

[2] 王梓坤.布朗運(yùn)動的若干結(jié)果[J]. 數(shù)學(xué)通報，1993（6）：35-38.

[3] 錢敏平，龔光魯，陳大岳，等. 應(yīng)用隨機(jī)過程[M].北京：高等教育出版社，2011.

[4] 樊平毅. 隨機(jī)過程理論與應(yīng)用[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，2005.

[5] LI T C， KHEIFETS S， MEDELLIN D， et al. Measurement of the instantaneous velocity of a brownian particle[J]. Science， 2010，328（5986）：1673-1675.

[6] 高宏. 公理化方法重建布朗運(yùn)動理論[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2020（23）：133-134.

［責(zé)任編輯：林志恒］