“空間中點、直線和平面的向量表示”教學設(shè)計

路景明

摘? 要：用空間向量表示點、直線和平面是解決立體幾何問題的基礎(chǔ)，也是溝通向量方法與空間圖形的橋梁. 通過問題引導和自主探究，使學生形成“數(shù)學問題解決的首要環(huán)節(jié)是將數(shù)學對象符號化”的一般觀念.

關(guān)鍵詞：空間向量；基點；自主探究；直觀想象

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容

用向量表示空間中的點、直線和平面.

2. 內(nèi)容解析

本節(jié)課的內(nèi)容源自人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》選擇性必修第一冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第一章“空間向量與立體幾何”. 從本章知識的內(nèi)部結(jié)構(gòu)來看，空間向量是空間中既有大小又有方向的量，直線的方向與空間向量的方向具有一致性，平面的方向能由與之垂直的向量的方向確定，點的位置可以由觀察基點與此點所構(gòu)成的空間向量表示. 由此，空間向量可以表示空間中點的位置，以及直線和平面的方向. 根據(jù)空間向量方向的特點，空間中的直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為向量的相關(guān)問題. 對于“平行”與“垂直”兩種特殊的位置關(guān)系，以向量的運算為工具，可以證明空間中線面間的平行與垂直關(guān)系，并能解決直線與平面、平面與平面和異面直線的夾角問題. 本單元的核心內(nèi)容是探求利用空間向量解決立體幾何問題的一般方法，即先用空間向量表示點、直線和平面等基本要素，從而將立體圖形“向量化”；然后，進行空間向量的運算，求得相應(yīng)結(jié)果；最后，把空間向量的運算結(jié)果“翻譯”為幾何結(jié)論. 顯然，本課時的教學內(nèi)容——用空間向量表示點、直線和平面等基本要素，是問題解決的基礎(chǔ)，也是溝通向量方法與空間圖形的橋梁. 空間向量的運算是問題解決的核心，用運算結(jié)果解釋幾何結(jié)論是問題解決的歸宿.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點：用向量表示空間中的點、直線和平面；平面的法向量的求法.

二、目標和目標解析

1. 目標

（1）能用向量語言描述點、直線和平面，理解直線的方向向量和平面的法向量，會求平面的法向量.

（2）通過建立立體圖形與空間向量之間的聯(lián)系，初步了解立體幾何中的向量方法，體會轉(zhuǎn)化與化歸思想.

（3）在探究直線和平面的向量表示的過程中，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)和數(shù)學表達的能力.

2. 目標解析

達成上述目標的標志如下.

（1）能通過選取基點確定點的位置向量；能通過向量知識和立體幾何初步知識推導出空間直線、平面的向量表示式；能根據(jù)給定的點及方向用向量表示直線；能用給定的兩個不共線的方向向量表示平面；知道用法向量表示平面的原理，并能求出一個平面的法向量.

（2）通過用空間向量表示點、直線和平面等基本要素的過程，體會用向量語言描述立體幾何問題是利用空間向量解決立體幾何問題的第一步，結(jié)合利用法向量表示平面的推導過程，提升直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng).

三、教學問題診斷分析

學生通過立體幾何初步相關(guān)知識的學習，已經(jīng)能夠解決點、直線、平面的位置關(guān)系和度量的相關(guān)問題，并且經(jīng)歷過運用平面向量解決平面幾何問題. 基于此，學生自然能夠想到運用空間向量解決立體幾何的相關(guān)問題.

可能存在的認知困難：本節(jié)課的授課學生為區(qū)級普通中學的高二學生，學生整體的邏輯推理能力和直觀想象素養(yǎng)仍處于發(fā)展階段，主動應(yīng)用向量法解決問題的意識不強，缺少對運用空間向量表示直線和平面的條件及方法進行探究的經(jīng)驗和體會. 特別是對用法向量表示平面，學生沒有參考經(jīng)驗.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學難點：用向量表示平面的探究過程.

突破難點的關(guān)鍵：教學中，采用“圖形語言—自然語言—向量語言”的路徑，通過問題引導、合作探究，逐步建立用向量表示點、直線和平面的一般方法. 借助問題搭建腳手架，通過小組合作突破難點.

四、教學策略分析

1. 教法分析

結(jié)合本節(jié)課的內(nèi)容特點和學情分析，確定本節(jié)課主要采用任務(wù)驅(qū)動和基于問題串引導的教學方法. 本課時以提升學生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)為根本出發(fā)點，啟發(fā)學生從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題. 類比學生已有的關(guān)于平面向量探究的經(jīng)驗和方法，探究空間中點、直線和平面的向量表示，獲得研究新的數(shù)學對象的一般路徑，落實“四基”，發(fā)展“四能”.

2. 學法分析

學生主要采取自主探究、合作交流的學習方法學習本節(jié)課的內(nèi)容. 在課堂教學中始終以學生為核心，鼓勵學生獨立思考、敢于質(zhì)疑，通過小組合作、交流分享突破難點. 有效提升學生的課堂參與度，提升學生的合作探究意識，提高學生分析和解決問題的能力.

五、教學過程設(shè)計

引導語：我們已經(jīng)把向量從平面推廣到了空間，在平面向量的學習過程中，我們已經(jīng)掌握了用向量解決平面幾何問題的“三步曲”. 通過空間向量運算解決立體幾何問題，首先就是要將空間中的位置和方向表示清楚，即用向量語言來描述立體幾何問題. 因此，建立空間向量與幾何要素的對應(yīng)關(guān)系是利用空間向量解決幾何問題的關(guān)鍵.

【設(shè)計意圖】將向量從平面推廣到空間，既作了數(shù)學知識和工具上的準備，也作了學習方法上的準備. 這里有一個提示作用：本節(jié)課就是要學習用向量語言描述立體幾何問題，即用向量表示空間的基本圖形.

環(huán)節(jié)1：明確內(nèi)容，聚焦問題.

問題1：組成空間幾何圖形的基本元素是什么？

師生活動：學生指明點、直線和平面是空間中的基本圖形，點、線段和平面圖形等是組成空間幾何體的基本元素.

教師總結(jié)：用空間向量解決立體幾何問題，首先就要學會用向量表示空間中的點、直線和平面，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題. 這是向量法的第一步，也是本節(jié)課的研究任務(wù).

【設(shè)計意圖】明確本節(jié)課的教學內(nèi)容. 明確研究的基本對象是空間中的點、直線和平面，研究任務(wù)是對象的表示.

環(huán)節(jié)2：明晰任務(wù)，探求新知.

問題2：如何用向量表示空間中的一點P？

師生活動：學生獨立思考，提出點的表示是相對位置. 例如，對于教室中一個物體的位置，從教師視角和學生視角會有不同的表示. 然后抽象出數(shù)學問題.

【設(shè)計意圖】將數(shù)學與生活相結(jié)合，抽象出數(shù)學問題. 利用生活中的實例，順理成章地確定用基點表示空間中的點. 發(fā)展學生的數(shù)學抽象和直觀想象素養(yǎng). 另外，圖1中的平面用于襯托立體感，這是用圖形語言表述數(shù)學對象的需要.

小結(jié)：空間中點的向量表示，如表1所示.

問題3：如何用向量表示空間中的直線？即如何用向量表示出直線上的任意一點？

【設(shè)計意圖】類比平面向量的研究方法研究空間向量，引導學生關(guān)注其中維數(shù)帶來的變化. 引導學生利用共線定理尋找用向量表示直線的方法，讓學生體會利用空間向量解決立體幾何問題是用平面向量解決平面幾何問題的發(fā)展. 學生在探究問題的過程中體悟數(shù)形結(jié)合思想，提升直觀想象素養(yǎng).

【設(shè)計意圖】這幾種表示平面的方法都建立了平面與向量的聯(lián)系，用向量表示平面為通過向量運算研究圖形的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ). 三種表示方法各有特點：前兩種表示方法充分運用平面向量基本定理，通過向量的線性運算表示平面；第三種表示方法借助平面的法向量，通過向量的數(shù)量積運算表示平面. 對于平面而言，法向量是反映垂直方向最為直觀的表達形式，既體現(xiàn)了幾何圖形直觀，又提供了代數(shù)定量刻畫.

【設(shè)計意圖】通過題目訓練，鞏固直線方向向量及平面法向量的求解方法. 通過目標檢測，了解學生對知識的理解和掌握情況，為學習評價提供依據(jù)，培養(yǎng)學生的直觀想象和數(shù)學運算等素養(yǎng).

教師總結(jié)：通過本節(jié)課，我們學習了用向量表示空間中的點、直線和平面，并深入研究了直線的方向向量和平面的法向量的求法. 理解了參照系的作用，體會了“位置”和“方向”作為三維歐幾里得空間基本概念的基礎(chǔ)地位. 為我們利用空間向量的運算研究空間直線、平面間的位置關(guān)系，以及距離、夾角等度量問題提供了工具.

【設(shè)計意圖】結(jié)合板書，從三種語言的過渡引導學生從知識層面和方法層面進行總結(jié). 通過總結(jié)研究方法，促使學生形成“數(shù)學問題解決的首要環(huán)節(jié)是將數(shù)學對象符號化”的一般觀念. 教師從單元視角對本節(jié)課的地位和作用進行總結(jié).

【設(shè)計意圖】分層布置，力求讓不同基礎(chǔ)的學生都擁有成功學習的體驗. 必做題主要考查學生對本節(jié)課重點知識的掌握情況，檢查學生運用所學知識解決問題的能力，實踐作業(yè)的設(shè)置是為了讓學生體驗如何檢索、搜集資料進行數(shù)學學習，這是對本節(jié)課所學內(nèi)容的提高與拓展，可以更好地培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］朱成萬. 基于比較的新教材解讀：“空間中點、直線與平面的向量表示”的教材分析與教學建議［J］. 中學數(shù)學月刊，2021（7）：39-42.