微分求積法求解懸臂L梁固有振動(dòng)特性研究*

李智超, 郝育新

(北京信息科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院, 北京 100192)

0 引 言

相比于常見的懸臂直梁結(jié)構(gòu),懸臂L梁結(jié)構(gòu)由于其柔性更大、可設(shè)計(jì)性更強(qiáng)、空間利用更充分、振動(dòng)過程中變形方式更多樣等優(yōu)點(diǎn),被廣泛投入到工程應(yīng)用中,尤其是近年來作為壓電俘能結(jié)構(gòu)的主體而倍受關(guān)注與研究.在這些研究中,Chen等[1]以懸臂L梁為研究對(duì)象,研究了其2∶1內(nèi)共振及其幅頻響應(yīng)特性,繼而研究了如何改善其作為能量泵時(shí)的帶寬,并研究了L梁參數(shù)對(duì)帶寬的影響.Erturk等[2]提出了一種新型L型梁-質(zhì)量可調(diào)結(jié)構(gòu)作為壓電能量收集器應(yīng)用于無人機(jī)起落架,通過使結(jié)構(gòu)前兩階固有頻率相對(duì)接近,從而實(shí)現(xiàn)在更寬的頻帶內(nèi)收集更多的能量.Harne等[3]提出的L型梁振動(dòng)能量收集系統(tǒng)可以在諧波激勵(lì)條件下利用1∶2內(nèi)共振與飽和現(xiàn)象來提高能量轉(zhuǎn)換性能,即使輸入振動(dòng)包含高水平的附加白噪聲.Li等[4]研究了幾何和材料特性對(duì)L型梁壓電俘能器響應(yīng)的影響,證明了考慮非線性效應(yīng)時(shí)有助于提高在外激勵(lì)振幅較大和強(qiáng)電場(chǎng)條件下俘能器性能的預(yù)測(cè)精度.Kim等[5]提出并研究了一種由懸臂梁和剛性臂組成的頻率可變的L型能量采集器,該梁的特點(diǎn)是兩根梁都水平放置,他們還深入研究了剛性梁的長(zhǎng)度對(duì)系統(tǒng)固有頻率的影響,并研究了該能量采集器的輸出電壓特性.

值得注意的是,在這些關(guān)于L型梁壓電俘能應(yīng)用的研究中,往往用到了懸臂L梁結(jié)構(gòu)的內(nèi)共振關(guān)系.因此,對(duì)L梁結(jié)構(gòu)的固有振動(dòng)特性進(jìn)行深入研究,得到L梁各參數(shù)對(duì)其固有振動(dòng)特性的影響規(guī)律,對(duì)其作為壓電俘能結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)與應(yīng)用具有重要的指導(dǎo)意義.

雖然運(yùn)用有限元軟件可以得到懸臂L梁結(jié)構(gòu)的固有振動(dòng)特性,但是不便于我們研究影響其固有振動(dòng)特性的機(jī)理,因此有必要建立懸臂L梁的固有振動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型,從理論上對(duì)其固有振動(dòng)特性進(jìn)行研究.自Bert等[6]首次將微分求積法投入結(jié)構(gòu)力學(xué)求解與分析中起,該方法便已成為除Galerkin法、Rayleigh-Ritz法、擬譜法等傳統(tǒng)空間離散方法外的又一高階偏微分方程近似求解方法[7-8].其優(yōu)勢(shì)在于可以直接得到系統(tǒng)在物理空間中的解,而不是模態(tài)空間.Wang[9]和Tornabene等[10]將近年來微分求積法與微分求積單元法的最新進(jìn)展做了詳細(xì)的總結(jié),列舉了多種插值基函數(shù)的選取方式,討論了多種邊界條件的施加方法,并比較了各種方法的適用情況和優(yōu)缺點(diǎn).在實(shí)際應(yīng)用方面,夏雨等[11]采用微分求積法研究了4種邊界條件情況下等截面梁與變截面梁的內(nèi)力和位移,并獲得了變截面軸向功能梯度Euler-Bernoulli梁若干低階固有頻率.葛仁余等[12]利用微分求積法理論將變系數(shù)常微分控制方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型的廣義代數(shù)特征值問題,并提出了一種令節(jié)點(diǎn)呈等比數(shù)列分布的方法,以研究變截面軸向功能梯度Timoshenko梁的屈曲臨界荷載.Khakpour等[13]利用三階剪切變形理論,研究了熱環(huán)境下彈性基體簡(jiǎn)支功能梯度多孔梁的固有頻率,并使用了微分求積法對(duì)控制方程進(jìn)行離散.Peng等[14]研究了預(yù)壓縮梁橫向自由振動(dòng)的固有振動(dòng)特性,將微分求積法直接應(yīng)用于修正后的橫向自由振動(dòng)控制方程,求得固有頻率的數(shù)值解.近年來,有學(xué)者還將微分求積法的應(yīng)用范圍延伸至二維板、殼、盤型結(jié)構(gòu)振動(dòng)領(lǐng)域.Szekrényes[15]采用微分求積法對(duì)分層復(fù)合板進(jìn)行了數(shù)值模擬,解決了一些具有簡(jiǎn)單支撐和剛性固定邊緣的包含材料缺陷的板問題.Liu等[16]采用修正偶應(yīng)力理論(MCST),對(duì)層合旋轉(zhuǎn)微系統(tǒng)進(jìn)行了頻率模擬和臨界角速度模擬,并利用二維廣義微分積分方法求解了各種邊界條件下的非經(jīng)典控制方程.Al-Furjan等[17]研究了具有蜂窩芯、兩層含有SMA纖維的中間層和兩層MHC外層的夾層盤的頻率響應(yīng),根據(jù)Hamilton原理,運(yùn)用廣義微分求積法推導(dǎo)并求解了該結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程.劉旭等[18]基于Kirchhoff薄板理論與非局部彈性理論,對(duì)熱環(huán)境中旋轉(zhuǎn)功能梯度納米環(huán)板的振動(dòng)頻率進(jìn)行研究,通過微分求積法對(duì)徑向和橫向耦合運(yùn)動(dòng)變系數(shù)微分方程進(jìn)行離散并求解.葛仁余等[19]通過應(yīng)用微分求積法,將雙材料平面接頭問題轉(zhuǎn)化為含應(yīng)力奇性指數(shù)的常微分方程組的特征值求解問題,通過奇性指數(shù)的計(jì)算以確保工作條件下連接件在連接點(diǎn)處的強(qiáng)度足夠.

本文以末端附加質(zhì)量塊的矩形等截面均質(zhì)懸臂細(xì)長(zhǎng)L梁為研究對(duì)象,根據(jù)所建立的動(dòng)力學(xué)方程以及邊界條件,用微分求積法對(duì)其固有振動(dòng)特性進(jìn)行了研究.首先通過對(duì)比研究,驗(yàn)證了本文所用的微分求積法計(jì)算過程與結(jié)果的正確性,并研究了末端質(zhì)量、內(nèi)外梁的長(zhǎng)度比、寬度、厚度對(duì)各階固有頻率的影響.特別地,本文創(chuàng)新地運(yùn)用微分求積這一方法求解懸臂L梁的固有振動(dòng)特性,相比于傳統(tǒng)的直梁結(jié)構(gòu),額外考慮了其內(nèi)梁的扭轉(zhuǎn)變形與拐點(diǎn)處特殊的連續(xù)性條件,從而確保了計(jì)算精度,推廣了該方法在工程結(jié)構(gòu)中的適用范圍.此外,本文創(chuàng)新地將邊界條件精確施加于邊界點(diǎn)上,在進(jìn)一步提高計(jì)算精度的同時(shí)簡(jiǎn)化了計(jì)算.

1 模型與動(dòng)力學(xué)方程的建立

末端附加質(zhì)量塊的矩形等截面均質(zhì)懸臂L梁模型如圖1所示,L梁在計(jì)算過程中被分為內(nèi)、外兩段,以內(nèi)梁末端(固支端)為原點(diǎn)建立正交固定坐標(biāo)系O1X1Y1Z1,并以內(nèi)、外梁連接拐點(diǎn)處為原點(diǎn)建立正交運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系O2X2Y2Z2.

本文考慮內(nèi)、外梁在振動(dòng)過程中發(fā)生的XOZ面內(nèi)的橫向彎曲振動(dòng)與內(nèi)梁發(fā)生的扭轉(zhuǎn)振動(dòng),由此引入內(nèi)梁撓度w1、外梁撓度w2和內(nèi)梁扭轉(zhuǎn)角θ.令內(nèi)、外梁均為滿足跨高比大于10的細(xì)長(zhǎng)梁,故可將兩段梁均視為Euler-Bernoulli梁,忽略其剪切變形及繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響.此時(shí)動(dòng)力學(xué)方程為內(nèi)梁的XOZ面內(nèi)橫向彎曲振動(dòng)方程(1a)、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程(1b)與外梁的XOZ面內(nèi)橫向彎曲振動(dòng)方程(2):

(1a)

(1b)

(2)

其中EI為L(zhǎng)梁的抗彎剛度,GIp為L(zhǎng)梁的抗扭剛度,ρ為梁的密度,S為梁的橫截面面積.

2 微分求積法求解

2.1 節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的選取

分別將內(nèi)、外梁的長(zhǎng)度正規(guī)化為[0,1]后,取Chebyshev多項(xiàng)式的根作為節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行劃分.在內(nèi)、外梁各自的長(zhǎng)度方向上分別劃分N1與N2個(gè)節(jié)點(diǎn),此時(shí)各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為

(3a)

(3b)

其中l(wèi)1,l2分別為內(nèi)、外梁的長(zhǎng)度.

2.2 插值基函數(shù)的選取

選用Lagrange插值基函數(shù)進(jìn)行離散,由插值理論可得

(4a)

(4b)

其中p1j(X),p2j(X)選用Lagrange插值基函數(shù):

(5a)

(5b)

2.3 權(quán)系數(shù)矩陣的計(jì)算

將式(4a)兩側(cè)對(duì)X1求m階導(dǎo)數(shù),式(4b)兩側(cè)對(duì)X2求m階導(dǎo)數(shù),分別代入X1=x1i和X2=x2i并化為矩陣形式可得

(6a)

(6b)

其中內(nèi)、外梁權(quán)系數(shù)矩陣中的每個(gè)元素分別為

(7a)

(7b)

將式(5)代入式(7),可得到一階權(quán)系數(shù)表達(dá)式(8a)與高階權(quán)系數(shù)表達(dá)式(8b):

(8a)

i,j=1,2,…,N1,2;i≠j;m=2,3,…,N1,2-1.

(8b)

2.4 邊界條件的處理

在傳統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)替代法(δ法)的基礎(chǔ)上,將施加于內(nèi)部點(diǎn)的邊界條件全部改為施加于邊界點(diǎn),并減少靠近邊界點(diǎn)處相應(yīng)數(shù)量?jī)?nèi)部點(diǎn)的四階微分控制方程,得到改進(jìn)后的邊界條件:

固支端X1=0處

w1(0,t)=0,w′1(0,t)=0,θ(0,t)=0;

(9)

自由端X2=l2處

(10)

其中M2為外梁截面彎矩,Fs2為外梁截面剪力.

L梁拐點(diǎn)處的連續(xù)性邊界條件可表示為

(11)

其中M1為內(nèi)梁截面彎矩,T1為內(nèi)梁截面扭矩,Fs1為內(nèi)梁截面剪力.

將X1=x1i代入式(1a)、(1b),得到內(nèi)梁的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)控制方程:

(12a)

(12b)

將X2=x2i代入式(2),得到外梁的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)控制方程:

(13)

由以上改進(jìn)的節(jié)點(diǎn)替代法得到邊界條件方程(9)、(10)、(11)共10個(gè),內(nèi)部節(jié)點(diǎn)控制方程(12)、(13)共2N1+N2-10個(gè).

2.5 固有振動(dòng)特性的求解

設(shè)w1(X1,t),w2(X2,t),θ(X1,t)的位移形式為

w1(X1,t)=φ1(X1)e-iωt,w2(X2,t)=φ2(X2)e-iωt,θ(X1,t)=φ(X1)e-iωt.

(14)

聯(lián)立式(9)—(13),并將式(14)中的位移形式代入得

(15)

利用微分求積法將高階微分方程組(15)轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組:

(16)

上式可化簡(jiǎn)為如下矩陣形式:

(K-ω2M)α=0,

(17)

其中

α=[φ1(x11),φ1(x12),…,φ1(x1N1),φ2(x21),φ2(x22),…,φ2(x2N2),

φ(x11),φ(x12),…,φ(x1N1)]T.

3 結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證

為了驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果的正確性, 將本文結(jié)果與Cao等[20]利用Galerkin法得到的該系統(tǒng)的各階固有頻率進(jìn)行對(duì)比.對(duì)比所用的材料與幾何參數(shù)值如表1所示, 表2為微分求積法收斂性研究, 本文理論計(jì)算結(jié)果與Cao等[20]的理論計(jì)算結(jié)果以及PATRAN、COMSOL有限元結(jié)果的對(duì)比情況見表3.

表1 懸臂L梁的幾何與材料參數(shù)表

表2 不同節(jié)點(diǎn)數(shù)下的結(jié)構(gòu)前五階固有頻率表(單位: Hz)

表3 結(jié)構(gòu)前五階固有頻率對(duì)比表(單位: Hz)

如表2所示,當(dāng)N1,2=13時(shí),結(jié)構(gòu)前五階固有頻率已經(jīng)收斂,故隨后的計(jì)算中取節(jié)點(diǎn)數(shù)N1,2=13.表3中對(duì)比結(jié)果顯示,本文通過微分求積理論計(jì)算得到的各階固有頻率誤差均不超過2%,故本文提出的用微分求積法求解懸臂L梁固有頻率的方法是可行的.有限元求解得到結(jié)構(gòu)前五階模態(tài)如圖2所示.

(a)一階,1.405 3 Hz (b)二階,5.554 0 Hz (c)三階,27.779 0 Hz

4 參數(shù)討論與分析

首先通過改變外梁長(zhǎng)度l2調(diào)節(jié)內(nèi)、外梁的長(zhǎng)度比,其中當(dāng)l2/l1為0時(shí),懸臂L梁退化為懸臂直梁.如圖3所示,隨著長(zhǎng)度比的增加,結(jié)構(gòu)各階固有頻率均下降,且下降幅度逐漸減小.

(a)一階 (b)二階 (c)三階

圖4為梁的寬度b的增加對(duì)系統(tǒng)固有頻率的影響.由圖可見微分求積法求得的各階固有頻率均呈現(xiàn)上升趨勢(shì),且上升幅度逐漸減小.

(a)一階 (b)二階 (c)三階

如圖5所示,隨著梁厚h的增加,結(jié)構(gòu)各階橫向彎扭振動(dòng)固有頻率均顯著上升,在本文研究范圍內(nèi),這一變化趨勢(shì)接近線性.

(a)一階 (b)二階 (c)三階

圖6為梁的末端質(zhì)量m的增加對(duì)系統(tǒng)固有頻率的影響,由圖可知各階固有頻率均呈現(xiàn)下降趨勢(shì),且下降幅度逐漸減小.

(a)一階 (b)二階 (c)三階

綜上所述,通過增大梁長(zhǎng)比l2/l1、末端質(zhì)量m,或減小梁寬b、梁厚h等方式均可實(shí)現(xiàn)固有頻率的降低.在本文研究范圍內(nèi),利用微分求積法求解得到的前五階固有頻率與COMSOL有限元結(jié)果的對(duì)比誤差均不超過5%,故該算法具有高階精度.值得注意的是,造成這一誤差的主要原因在于:梁結(jié)構(gòu)參數(shù)的某些改變導(dǎo)致該結(jié)構(gòu)與Euler-Bernoulli梁理論適應(yīng)性降低,因此為保證各階固有頻率的計(jì)算精度,末端質(zhì)量m和梁寬b均不宜取值過大,梁長(zhǎng)l1,l2也不宜取值過小,應(yīng)滿足l1,2≥10b.

5 結(jié) 論

本文利用微分求積法,對(duì)末端附加質(zhì)量塊的矩形等截面均質(zhì)懸臂細(xì)長(zhǎng)L梁的各階固有頻率與模態(tài)進(jìn)行了計(jì)算.首先在內(nèi)、外梁末端分別建立正交坐標(biāo)系后,建立了結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程.之后運(yùn)用微分求積法,將內(nèi)、外梁長(zhǎng)度方向上的計(jì)算區(qū)間正規(guī)化為[0,1],選取Chebyshev多項(xiàng)式的根作為節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)劃分計(jì)算區(qū)域,并選用Lagrange插值基函數(shù)進(jìn)行插值,進(jìn)一步求得各階權(quán)系數(shù).在列出直接法或改進(jìn)后的節(jié)點(diǎn)替代法處理后的邊界條件方程與連續(xù)性條件方程以及內(nèi)、外梁的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)控制方程后,可將方程中給定節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)與其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)用求解域內(nèi)全部節(jié)點(diǎn)函數(shù)值的加權(quán)和進(jìn)行表示,整理得到代數(shù)方程組并表示為矩陣形式,通過求解廣義特征值問題得到結(jié)構(gòu)各階固有頻率與模態(tài).最后研究了末端質(zhì)量、內(nèi)外梁的長(zhǎng)度比、寬度、厚度對(duì)結(jié)構(gòu)各階固有振動(dòng)特性的影響.本方法可以進(jìn)一步應(yīng)用推廣到相關(guān)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的研究中.