曲率障礙下四階變分不等式的交替方向乘子法*

張霖森, 程 蘭, 張守貴

(重慶師范大學 數(shù)學科學學院, 重慶 401331)

0 引 言

迄今為止,已有很多關于各種變分不等式問題的研究[1-6].但相對而言,關于曲率障礙的四階橢圓變分不等式問題的研究還不多[7-9].在這類障礙問題中,彈性膜在邊界固定和垂直方向受到外力作用與曲率障礙條件下,需要確定彈性膜的平衡位置.對于這類問題的數(shù)值解法,有間斷Galerkin方法[1]、有限元方法[3,7-8]、有限差分法[6].交替方向乘子法(ADMM)在結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題中有著廣泛的應用,例如二維的變分不等式[10]、接觸問題[11-12]和Stokes問題[13].ADMM的每一次迭代,只需要求解一個線性問題,而且輔助未知量和Lagrange乘子是顯式計算的.對于任意的正參數(shù),ADMM都是全局收斂的.但是該方法對罰參數(shù)非常敏感,很難根據(jù)具體問題選擇合適的罰參數(shù).

本文重點分析了ADMM和罰參數(shù)的自適應法則求解關于單側(cè)曲率障礙四階變分不等式的組合算法[14-15].首先將ADMM應用于求解曲率障礙問題,由于ADMM的收斂速度嚴重依賴于罰參數(shù),為了改進算法性能,我們提出了一種自適應法則,通過平衡原理和迭代函數(shù)來選擇合適的罰參數(shù)[16-17],然后得到了一種自適應交替方向乘子算法(SADMM),并分析了該方法的收斂性.最后給出了一些數(shù)值結(jié)果來驗證該方法的可行性和有效性.

1 單側(cè)曲率障礙問題的ADMM

本文考慮以下四階橢圓變分不等式問題:給定f∈L2(Ω),求解u∈K,使得

(1)

其中Ω是平面區(qū)域R2中的有界閉區(qū)域,其邊界為Г=?Ω,閉凸集

(2)

定義以下符號:

則問題(1)可以寫成如下變分不等式:求解u∈K,使得

a(u,v-u)≥l(v-u), ?v∈K.

(3)

由式(3)可知式(1)是一個變分不等式問題.則式(3)有如下性質(zhì):

其中C>0;

由于雙線性形式a(·,·)是對稱的,故變分不等式問題(1)等價于如下變分形式的極小值問題:求解u∈K,使得

J(u)≤J(v), ?v∈K,

(4)

其中

(5)

由式(1)、(4)和文獻[8]定義如下Lagrange函數(shù)L:H2(Ω)×(L2(Ω))2→R,

(6)

和函數(shù)空間

(7)

(8)

(9)

L(u,μ)≤L(u,λ)≤L(v,λ).

(10)

由式(10)中L(u,μ)≤L(u,λ)直接得到的結(jié)論(8),可以推出

Δu≤0, a.e. inΩ,

(11)

(12)

則

L(u,λ)=J(u).

(13)

在此基礎上,考慮增廣Lagrange乘子法.我們觀察到,問題(1)和(4)都等價于:求解{u,p}∈H,使得

j(u,p)≤j(v,q), ?{v,q}∈H,

(14)

其中

(15)

(16)

對于ρ>0,由增廣Lagrange乘子法

定義

(17)

接著定義

(18)

求解pn+1∈L2(Ω),使得

Lρ(un,pn+1,λn)≤Lρ(un,q,λn), ?q∈L2(Ω).

(19)

(20)

更新Lagrange乘子,得到

λn+1=λn+ρ(Δun+1-pn+1).

(21)

在這種方法中,最小化問題(19)中的pn+1可以由un和λn顯式求解.最小化問題(20)形成一個變分問題,對于給定的λn,pn+1和ρ>0,該變分問題具有唯一的解.因此,我們得到下面的ADMM[10,16].

算法1(ADMM)

第二步 計算輔助變量pn+1∈L2(Ω),

(22)

(23)

第四步 更新Lagrange乘子

λn+1=λn+ρ(Δun+1-pn+1).

(24)

2 單側(cè)曲率障礙問題的SADMM

對于算法1,我們注意到它對于任何固定參數(shù)ρ>0都是無條件收斂的.然而,如果參數(shù)太小或太大,該方法的效率將大大降低.為了改進ADMM的性能,我們提出了一個可變參數(shù)ρn的自適應規(guī)則.下面我們假設一個非負序列{sn}滿足

(25)

在此基礎上,我們提出SADMM,具體算法過程如下[11].

算法2(SADMM)

第二步 計算輔助變量pn+1∈L2(Ω),

(26)

(27)

第四步 更新Lagrange乘子

λn+1=λn+ρn(Δun+1-pn+1).

(28)

第五步 選取罰參數(shù),使得

(29)

關于算法2中第五步罰參數(shù)的選取將在算例分析部分詳細說明.為了證明算法2的收斂性,需要如下的基本結(jié)論.

定義以下符號:

根據(jù)問題的性質(zhì)和算法的原理,可得算法2的收斂性結(jié)果.

定理1 設{un,pn,λn}是算法2產(chǎn)生的序列,則

(30)

其中p=Δu.

證明令δun=un-u,δΔun=Δun-Δu,δρn=ρn-ρ,δλn=λn-λ.由式(9)和(23),有

在以上兩式中取v=δΔun+1,將它們相減得到

a(δun+1,δun+1)=(δλn+ρn(Δun+1-pn+1),-δΔun+1),

(31)

在式(31)中,用p=Δu,我們得到

a(δun+1,δun+1)=(δλn+ρn(δΔun+1-δpn+1),-δΔun+1).

(32)

根據(jù)式(28),有

δλn+1=δλn+ρn(δΔun+1-δpn+1).

(33)

從引理1的式(11)和(12),有λ≥0,-Δu≥0,且在Ω上(-Δu,λ)=0,因此可以得到

ρn(-Δu,(λn+ρnΔun)+-λ)≥0,

(34)

又有

(λn+ρnΔun-(λn+ρnΔun)+,(λn+ρnΔun)+-λ)≥0.

(35)

結(jié)合式(34)和(35),有

(λn+ρnδΔun-(λn+ρnΔun)+,(λn+ρnΔun)+-λ)≥0.

再根據(jù)式(26),可得到

(-ρn(Δun-pn+1)+ρnδΔun,δλn+ρn(Δun-pn+1))≥0,

因此

(36)

根據(jù)式(28),可得到

δλn+1-ρnδΔun+1=δλn-ρnδΔun+ρn(Δun-pn+1).

最后,由式(36)得到

因此,該定理得證.

證明根據(jù)sn≥0,0≤ρn+1≤(1+sn)ρn和式(33),有

(37)

將式(30)代入式(37),有

(38)

由式(33)和(38),可得

(39)

即存在一個常數(shù)C>0,使得對于任意的n≥0,有

(40)

根據(jù)式(38),我們也可以得出

(41)

由式(33)、(40)和(41),有

因此

(42)

(43)

因為p=Δu,再結(jié)合式(43),可以得到

(44)

因此,在L2(Ω)上,pn→p.

對于?n≥1,由式(39),有

(45)

根據(jù)式(33)和(45)可知{λn}是有界的,可得λn→λ.

注1 在算法2的第五步中令sn=0,有ρn=ρ0,則算法2中罰參數(shù)為固定參數(shù),即為算法1,從而可以得算法1也是收斂的.

3 算 例 分 析

本文利用自適應交替方向乘子算法求解四階單側(cè)曲率障礙的變分不等式問題,迭代過程中通過迭代函數(shù)自動調(diào)整罰參數(shù),用變參數(shù)ρn代替ρ,從而達到提高算法效率的目的[2,10,13].下面具體考慮算法2(SADMM)中選擇罰參數(shù)ρn的自適應法則.根據(jù)算法的收斂性證明式(30)知下式成立:

‖λn+1-λ-ρn(Δun+1-Δu)‖≤‖λn-λ-ρn(Δun-Δu)‖.

利用平衡加快收斂,我們希望

‖λn-λ‖≈‖ρn(Δun-Δu)‖.

使用以下方法來確定合適的參數(shù)ρn,給定常數(shù)μ>0,如果

‖λn-λ‖>(1+μ)‖ρn(Δun-Δu)‖,

那么在下次迭代的時候要增加ρn;如果

用cn計算ρn改變的次數(shù),令c0=0,則

采用如下方法得到非負序列{sn}:

為了檢驗本文算法的可行性,這里根據(jù)具體的算例進行數(shù)值分析.考慮一個具體的障礙問題:求解u∈K,使得

采用本文的ADMM 和SADMM兩種方法進行求解,取步長h=1/40和參數(shù)ρ=1,u和-Δu的數(shù)值解結(jié)果如圖1和圖2所示,解析解如圖3所示,圖4為逐點誤差,可見數(shù)值解和精確解是吻合的.

圖1 u的數(shù)值解 圖2 -Δu的數(shù)值解

圖3 精確解u 圖4 逐點誤差

對于不同的初始罰參數(shù)取值ρ,表1分別對步長h=1/10,1/20,1/40,1/80時ADMM和SADMM所需的迭代次數(shù)進行了比較,表中*表示迭代達到了最大迭代次數(shù)200后即停止.表2分別給出了迭代所需的CPU運行時間,單位為s.表1和表2的結(jié)果表明,SADMM不僅有效減少了迭代次數(shù),收斂速度更快,而且很穩(wěn)定.SADMM的收斂速度和CPU運行時間受初始參數(shù)ρ的影響很小.

表1 算法隨步長變化所需迭代次數(shù)的情況

表2 算法隨步長變化所需CPU時間情況

4 結(jié) 論

本文提出了求解四階單側(cè)曲率障礙變分不等式問題的SADMM.先引入輔助函數(shù)和Lagrange函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為鞍點問題,使用ADMM求解.為了提高計算效率,通過平衡原理和迭代函數(shù),迭代過程使用自適應法則選取合適的罰參數(shù).數(shù)值算例的結(jié)果表明,參數(shù)對SADMM影響較小,該方法加快了收斂速度,且較為穩(wěn)定.該方法還可以推廣到四階雙側(cè)曲率障礙問題的數(shù)值求解中.

致謝本文作者衷心感謝重慶師范大學教學改革研究項目(xyjg007;sz202114)對本文的資助.