基于問(wèn)題鏈的“隨機(jī)抽樣”教學(xué)設(shè)計(jì)

陳欣

一、源起——數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈教學(xué)的內(nèi)涵與意義

新課程改革倡導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)要突出學(xué)生的主體地位，要求數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生完成數(shù)學(xué)的“再發(fā)現(xiàn)”，經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的完整過(guò)程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，提高分析解決問(wèn)題能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).基于此，教學(xué)方式的變革成為具有時(shí)代意義的重要研究課題，問(wèn)題式學(xué)習(xí)（PBL）這一學(xué)習(xí)方式也引起了廣泛關(guān)注.

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，也是使數(shù)學(xué)課堂鮮活起來(lái)的源動(dòng)力.數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈教學(xué)需要教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中設(shè)計(jì)體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維脈絡(luò)的問(wèn)題鏈，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)像數(shù)學(xué)家一樣思考問(wèn)題，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系，激發(fā)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)價(jià)值的體驗(yàn)體會(huì)數(shù)學(xué)內(nèi)在的嚴(yán)謹(jǐn)、理性的科學(xué)精神以及追求美等方面的人文精神，從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈教學(xué)回應(yīng)了課程標(biāo)準(zhǔn)中培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的教育價(jià)值訴求，并為核心素養(yǎng)的培養(yǎng)提供了現(xiàn)實(shí)載體.因此，在教學(xué)實(shí)踐中探索基于問(wèn)題鏈的數(shù)學(xué)教學(xué)方式，對(duì)推進(jìn)課程改革具有一定積極作用.下面，我以“隨機(jī)抽樣”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，詳細(xì)闡述基于問(wèn)題鏈教學(xué)設(shè)計(jì)的一般呈現(xiàn)形式.

二、實(shí)踐——基于問(wèn)題鏈的“隨機(jī)抽樣”教學(xué)設(shè)計(jì)

數(shù)據(jù)分析是當(dāng)代公民必須具備的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而進(jìn)行數(shù)據(jù)分析的前提是收集有效數(shù)據(jù)，即通過(guò)抽樣調(diào)查獲取能反映總體情況的樣本，因此，上好“隨機(jī)抽樣”這一課，對(duì)高中生“數(shù)據(jù)分析”素養(yǎng)的培養(yǎng)會(huì)起到一定的引領(lǐng)作用.不少教師認(rèn)為本節(jié)課主要介紹統(tǒng)計(jì)的基本概念，規(guī)定性的內(nèi)容偏多，沒(méi)有數(shù)學(xué)推理的過(guò)程展現(xiàn)，僅僅三個(gè)有著規(guī)定性操作步驟的抽樣方法，何以在教學(xué)過(guò)程中體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)？事實(shí)上，采取數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈的教學(xué)方式，通過(guò)精心設(shè)計(jì)與學(xué)生生活密切相關(guān)的問(wèn)題情境，不露痕跡地將整節(jié)課的內(nèi)容串聯(lián)起來(lái)，這種自然、簡(jiǎn)單又能揭示本質(zhì)的教學(xué)策略，將會(huì)收到意想不到的效果.具體教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

1.與時(shí)俱進(jìn)，引入課題

上課伊始，PPT上展示的一幅《你好，李煥英》的劇照，激起了同學(xué)們的一陣熱議，學(xué)生上課的激情一下子被調(diào)動(dòng)了起來(lái).

情境1：截止目前電影《你好，李煥英》的票房突破20億，現(xiàn)在老師想了解一下，我們班有多少同學(xué)看了這個(gè)電影？

學(xué)生們紛紛舉手，老師統(tǒng)計(jì)舉手人數(shù)，并宣布調(diào)查結(jié)果.

問(wèn)題1：在剛才的過(guò)程中，老師針對(duì)全班同學(xué)進(jìn)行了調(diào)查，這種調(diào)查方式屬于普查.是不是所有的數(shù)據(jù)調(diào)查，都要進(jìn)行普查呢？

情境2：廣東高考新政策“3+ 1+2”出臺(tái)，為了解學(xué)生對(duì)新政策合理性的看法，是否需要對(duì)全省每位學(xué)生進(jìn)行調(diào)查？

情境3：媽媽讓女兒買(mǎi)草莓，囑咐要品嘗草莓是否香甜.女兒回來(lái)后，媽媽問(wèn)：“買(mǎi)的草莓甜嗎？”女兒：“都很甜！”媽媽?zhuān)骸斑@么肯定？”女兒：“我每個(gè)都嘗過(guò)啦！”

問(wèn)題2：以上兩個(gè)情境中的調(diào)查為什么不能采用全面普查的方式呢？

設(shè)計(jì)意圖：首先從時(shí)下熱點(diǎn)話題引入，激發(fā)學(xué)生興趣，體現(xiàn)數(shù)學(xué)源于生活.而后，給出的兩個(gè)情境，一個(gè)是貼切學(xué)生生活實(shí)際的案例，一個(gè)是具有趣味性情景對(duì)話，通過(guò)不同問(wèn)題情境的對(duì)比，說(shuō)明了當(dāng)總體容量很大或檢測(cè)過(guò)程具有一定破壞性的時(shí)候，都不適用于普查，從而引出本課主題——抽樣調(diào)查.

2.創(chuàng)設(shè)情境，形成概念

情境4：在1936年美國(guó)總統(tǒng)選舉前，一份頗有名氣的雜志的工作人員做了一次民意調(diào)查，調(diào)查蘭頓和羅斯福中誰(shuí)將當(dāng)選下一屆總統(tǒng).為了了解公眾意向，調(diào)查者通過(guò)電話簿和車(chē)輛登記簿上的名單給一大批人發(fā)了調(diào)查表（注意1936年電話和汽車(chē)只有少數(shù)富人擁有）.通過(guò)分析收回的調(diào)查表，顯示蘭頓非常受歡迎，于是此雜志預(yù)測(cè)蘭頓將在選舉中獲勝.實(shí)際選舉結(jié)果卻截然相反，最后羅斯福在選舉中獲勝.

問(wèn)題3：你認(rèn)為預(yù)測(cè)結(jié)果出錯(cuò)的原因是什么？如何科學(xué)地抽樣呢？

設(shè)計(jì)意圖：有時(shí)抽出的樣本能正確反映總體情況，但有時(shí)不能全面、客觀、公正，甚至錯(cuò)誤地反映總體情況。通過(guò)情境4的設(shè)置，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到如何科學(xué)合理地進(jìn)行抽樣，學(xué)生說(shuō)：“此調(diào)查中只抽了富人沒(méi)抽窮人”，教師進(jìn)行提煉歸納：“要使得樣本能比較準(zhǔn)確地反映總體，抽樣時(shí)必須堅(jiān)持一個(gè)科學(xué)的抽樣標(biāo)準(zhǔn)，即每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等”.

問(wèn)題4：如果是你去買(mǎi)50根一盒的火柴，且準(zhǔn)備抽樣試驗(yàn)10根，為了保證這個(gè)樣本具有代表性，你會(huì)怎么做？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生從具體實(shí)例中明確使每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等得以保證的前提是：抽樣前將總體“攪拌均勻”，順其自然地歸納出簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念.

新知：一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本（n ≤ N），如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

教師強(qiáng)調(diào)定義的四個(gè)要點(diǎn)：容量有限、逐個(gè)抽取、概率相等.

3.新知探究，歸納方法

問(wèn)題5：我們班有50名同學(xué)，現(xiàn)打算用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從中抽出10名同學(xué)檢查視力，請(qǐng)闡述并完成這項(xiàng)調(diào)查的具體做法.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生熟悉問(wèn)題情境，讓學(xué)生明白當(dāng)總體不能直接被“攪拌均勻”時(shí)，要采取抽簽法，讓學(xué)生自己說(shuō)出抽簽法的雛形，教師啟發(fā)學(xué)生歸納出抽簽法的一般步驟：

問(wèn)題6：我校高一年級(jí)有700名學(xué)生，現(xiàn)要了解年級(jí)學(xué)生視力情況，需從中隨機(jī)抽20名同學(xué)檢查視力，用抽簽法是否可行？為什么？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生感受到，當(dāng)總體容量比較大時(shí)，編號(hào)、制簽比較麻煩，攪拌均勻也很困難，那么有沒(méi)有方法可以彌補(bǔ)抽簽法的不足呢？由此自然順利地過(guò)渡到隨機(jī)數(shù)法，起到承上啟下的作用.

為了讓同學(xué)們了解體會(huì)隨機(jī)數(shù)法抽樣的具體過(guò)程，設(shè)置了以下師生活動(dòng)：

老師拿出事先準(zhǔn)備好的道具—一個(gè)放有10個(gè)大小相同小球的紙箱，每個(gè)球上分別標(biāo)有0—9這10個(gè)數(shù)字，讓一位學(xué)生從箱子里隨機(jī)取出一個(gè)小球，并報(bào)出小球上的數(shù)字，另一位同學(xué)在黑板上記錄下相應(yīng)的數(shù)字，放回小球，搖勻后再重復(fù)上述操作……，數(shù)分鐘后，黑板上布滿(mǎn)了數(shù)字，由此得到了一張隨機(jī)數(shù)表。

說(shuō)明：為便于觀察，一般將相鄰兩個(gè)數(shù)字放在一起，任意一個(gè)位置上的數(shù)字預(yù)先不知道，而且每個(gè)位置上的數(shù)是從0—9隨機(jī)產(chǎn)生的.

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)學(xué)生活動(dòng)，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)抽簽的方式自制隨機(jī)數(shù)表，不僅調(diào)動(dòng)了上課氛圍，而且學(xué)生在游戲中親身感受隨機(jī)數(shù)表的形成及其特點(diǎn)，寓學(xué)于樂(lè).

問(wèn)題7：如何用剛剛得到的隨機(jī)數(shù)表，完成問(wèn)題６中的抽樣？

設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用隨機(jī)數(shù)表處理前面提出的問(wèn)題，師生協(xié)作，概括出利用隨機(jī)數(shù)表法進(jìn)行抽樣的一般步驟：

S1.將總體中的個(gè)體編號(hào)，且每個(gè)號(hào)碼位數(shù)一致（編號(hào)）；

S2.在隨機(jī)數(shù)表內(nèi)任選一個(gè)數(shù)作為起點(diǎn)（定位）；

S3.從選定的起點(diǎn)開(kāi)始按一定的方向讀取號(hào)碼（向左、向右、向上、向下均可），不在范圍或重復(fù)的號(hào)碼跳過(guò)，如此繼續(xù)，取滿(mǎn)為止（取號(hào)）；

S4.根據(jù)選定的號(hào)碼抽取樣本（取樣）.

教學(xué)中可借助流程圖對(duì)上述過(guò)程進(jìn)行表征：

問(wèn)題8：為了了解我校所有學(xué)生的近視的情況，使用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取部分學(xué)生作為樣本，你認(rèn)為是否合適？為什么？

設(shè)計(jì)意圖：將視力調(diào)查范圍進(jìn)一步擴(kuò)大，讓學(xué)生明白，由于不同學(xué)年段學(xué)生的視力情況有顯著性差異，采取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣可能抽取出來(lái)的樣本不能代表整體情況，因此必須在每一學(xué)年段都抽取出適量樣本進(jìn)行調(diào)查，順其自然地引出分層抽樣法.

新知：一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱(chēng)為分層隨抽樣.

問(wèn)題9：我校共有學(xué)生9000人，其中小學(xué)生900人，初中生3600人，高中生4500人.為了了解我校學(xué)生的近視情況，從中抽取1000名學(xué)生為樣本，應(yīng)該怎樣抽??？

設(shè)計(jì)意圖：加深對(duì)分層抽樣的理解，并掌握分層抽樣的關(guān)鍵是保持抽樣比不變，啟發(fā)學(xué)生用分層抽樣解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題.

4.活學(xué)活用，實(shí)戰(zhàn)演練

練習(xí)1.下列5個(gè)抽樣中是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的為.

①?gòu)臒o(wú)數(shù)個(gè)個(gè)體中抽取50個(gè)個(gè)體作為樣本；

②倉(cāng)庫(kù)中有1萬(wàn)支奧運(yùn)火炬，從中一次性抽取100支火炬進(jìn)行質(zhì)量檢查；

③一彩民選號(hào)，從裝有36個(gè)大小、形狀都相同的號(hào)簽的盒子中無(wú)放回地逐個(gè)抽出6個(gè)號(hào)簽.

④箱子里共有100個(gè)零件，從中選出10個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，在抽樣操作中，從中任意取出1個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)后，再把它放回箱子里.

練習(xí)2.某工廠甲、乙、丙三個(gè)車(chē)間生產(chǎn)了同一種產(chǎn)品，數(shù)量分別為120件，80件，60件.為了解它們的產(chǎn)品質(zhì)量是否存在顯著差異，用分層抽樣方法抽取了一個(gè)容量為n的樣本進(jìn)行調(diào)查，其中從丙車(chē)間的產(chǎn)品中抽取了3件，則n=.

設(shè)計(jì)意圖：三個(gè)練習(xí)題分別對(duì)應(yīng)了本節(jié)課的三種抽樣方法，及時(shí)鞏固訓(xùn)練，達(dá)到知識(shí)保溫的效果.

5.反思總結(jié)，提煉精華

問(wèn)題10：本節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些抽樣方法？各自有什么特點(diǎn)？各適用于什么樣的總體？

問(wèn)題11：抽樣調(diào)查之后，下一步要做的工作是什么？如何樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析？

設(shè)計(jì)意圖：回顧總結(jié)本節(jié)課主要內(nèi)容，讓學(xué)生明白抽樣的方法多種多樣，但某一個(gè)抽樣方法都有其優(yōu)越性與局限性，針對(duì)不同的實(shí)際情況，應(yīng)當(dāng)選擇適當(dāng)?shù)某闃臃椒?另外，抽樣僅僅是統(tǒng)計(jì)的第一步，抽樣之后需要對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，問(wèn)題12的提出預(yù)告了下節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容.

三、結(jié)語(yǔ)——問(wèn)題鏈設(shè)計(jì)的思考與啟示

在問(wèn)題鏈教學(xué)中，問(wèn)題啟動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)，而問(wèn)題與問(wèn)題間所形成的的鏈?zhǔn)且环N思維鏈，為學(xué)生的數(shù)學(xué)思考提供了基本的脈絡(luò)和方向.因此，如何設(shè)置問(wèn)題鏈中的問(wèn)題成為問(wèn)題鏈教學(xué)有效與否的關(guān)鍵。教師在授課之前要弄清楚：可以提出哪些問(wèn)題供學(xué)生思考？為什么要提出這些問(wèn)題？從哪些角度去分析問(wèn)題？問(wèn)題解決后，又可以提出哪些新的問(wèn)題？這既是對(duì)教師數(shù)學(xué)功底的考驗(yàn)，也體現(xiàn)著教師上課的藝術(shù).筆者認(rèn)為，問(wèn)題的設(shè)計(jì)具體可以從以下幾個(gè)方面著手：

1.與時(shí)俱進(jìn)，激發(fā)興趣

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活也應(yīng)用于生活，任何一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)都可以在我們?nèi)粘Ｉ钪姓业接白?，教師要善于將知識(shí)與當(dāng)前實(shí)際緊密聯(lián)系起來(lái)，了解學(xué)生的日常生活，課堂教學(xué)中從學(xué)生感興趣的實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣及探究數(shù)學(xué)的好奇心，充分發(fā)揮學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的作用，以學(xué)生為主體，營(yíng)造良好的課堂氛圍，為教學(xué)環(huán)節(jié)的順利展開(kāi)打下基礎(chǔ).

2.承上啟下，前后呼應(yīng)

數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展有其內(nèi)在的邏輯規(guī)律，知識(shí)與知識(shí)之間也具有內(nèi)在聯(lián)系，教師要理清知識(shí)發(fā)展的主線和結(jié)構(gòu)，明確教學(xué)目標(biāo)，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)課堂問(wèn)題，思考并設(shè)計(jì)該主題學(xué)習(xí)過(guò)程中需要解決的核心問(wèn)題及其輔助問(wèn)題，其次，結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際設(shè)計(jì)體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維脈絡(luò)的問(wèn)題鏈，使整個(gè)課堂問(wèn)題的呈現(xiàn)脈絡(luò)分明，構(gòu)成互相聯(lián)系的有機(jī)整體.

3.自然本真，不露痕跡

數(shù)學(xué)是自然的，數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得需要有一個(gè)萌芽、生長(zhǎng)、成熟的過(guò)程，而教師腦海中的知識(shí)是“成熟”的數(shù)學(xué)，因此，教師要適當(dāng)“忘掉要教的知識(shí)”，要把自己當(dāng)作與學(xué)生一樣的未知者，重走知識(shí)發(fā)展之路，經(jīng)歷知識(shí)的“再發(fā)現(xiàn)，再創(chuàng)造”過(guò)程，避免把“浮萍式”的知識(shí)硬塞給學(xué)生，要在問(wèn)題的呈現(xiàn)方式及不同問(wèn)題之間的過(guò)渡上多下功夫，課堂問(wèn)題的提出不能過(guò)于突兀，立足學(xué)生認(rèn)知水平，自然而不流露痕跡，實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)過(guò)渡.

【本文系教育部人文社會(huì)科學(xué)研究規(guī)劃基金項(xiàng)目——中小學(xué)核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)的模型建構(gòu)與實(shí)證研究（19YJA880012）；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金資助——基于學(xué)習(xí)分析技術(shù)的高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)模型研究（CCNU19TS029）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)項(xiàng)目“教師教育專(zhuān)項(xiàng)”（CCNUTE2020-04）】

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)