淺談圖形與幾何教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力

☉海 華

推理能力的培養(yǎng)首先需要學(xué)生牢固掌握已學(xué)的知識(shí)，在深入理解知識(shí)的基礎(chǔ)上，舉一反三和橫縱向?qū)Ρ嚷?lián)系，獲得更加開(kāi)闊的數(shù)學(xué)知識(shí)視野和掌握更加全面系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)。良好的推理能力有助于培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維，尤其是歸納類比能力［2］。結(jié)合平時(shí)培養(yǎng)學(xué)生推理能力方面的教學(xué)實(shí)踐，本文將從以下幾個(gè)方面例談如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力。

一、因材施教，科學(xué)制定推理題型

小學(xué)數(shù)學(xué)從啟蒙時(shí)期的數(shù)字認(rèn)識(shí)到后續(xù)的計(jì)算公式、幾何圖形，知識(shí)點(diǎn)和學(xué)習(xí)難度逐步提升，教師在小學(xué)各個(gè)階段都要制定科學(xué)有效的推理能力培養(yǎng)策略，循序漸進(jìn)地提升小學(xué)生的推理能力。對(duì)于低段的小學(xué)生，數(shù)學(xué)推理應(yīng)該側(cè)重于簡(jiǎn)單的判斷；到了小學(xué)中高年級(jí)，數(shù)學(xué)推理則需要引入較為復(fù)雜的公式推理等［3］。

低段的學(xué)生以簡(jiǎn)單推理為側(cè)重點(diǎn)，即“非黑即白”，類似于簡(jiǎn)單的判斷題。以圖形與幾何為例，教師為學(xué)生展示圖形，并讓學(xué)生自行分辨和判斷下一次應(yīng)該出現(xiàn)的圖形，或者是計(jì)算不同圖形的數(shù)量。低段的數(shù)學(xué)推理，雖然沒(méi)有涉及復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)，但也能培養(yǎng)小學(xué)生注重?cái)?shù)學(xué)推理的素養(yǎng)，從小樹(shù)立對(duì)數(shù)學(xué)推理的認(rèn)識(shí)。

［案例1］變化的圖形

小學(xué)低段的學(xué)生對(duì)幾何圖形的認(rèn)知還處于比較淺層的階段，教師在進(jìn)行推理訓(xùn)練時(shí)，應(yīng)該選擇比較簡(jiǎn)單、容易推理的題目。例如，這道“變化的圖形”題中，讓小學(xué)生根據(jù)已經(jīng)出現(xiàn)的四個(gè)圖形，推理接下來(lái)的圖形［4］。小學(xué)生基本上都認(rèn)識(shí)前面兩個(gè)圖形，分別是三角形和長(zhǎng)方形，雖然對(duì)后面兩個(gè)圖形不是很熟悉，但能夠發(fā)現(xiàn)它們的邊數(shù)更多。通過(guò)簡(jiǎn)單地計(jì)算這四個(gè)圖形的邊數(shù)，學(xué)生們就能夠得出邊數(shù)逐漸加一的規(guī)律，也就能夠推理出下一個(gè)圖形的邊數(shù)應(yīng)該是7，也就是圖形D。這種比較簡(jiǎn)單的推理題，適合于圖形認(rèn)知能力較弱的低段小學(xué)生，可以幫助他們從小樹(shù)立數(shù)學(xué)推理的意識(shí)。

有了小學(xué)低段學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力有所提高，可以進(jìn)行較為復(fù)雜的圖形推理，尤其是圖形面積計(jì)算公式推理。但是，教師在教學(xué)過(guò)程當(dāng)中要循循善誘，循序漸進(jìn)。

［案例2］梯形面積

在教學(xué)長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算公式后，我給學(xué)生畫(huà)了一個(gè)梯形，讓他們推理梯形的面積計(jì)算公式。學(xué)生剛接觸梯形，覺(jué)得它的形狀比較怪異，邊長(zhǎng)都不相等，而且也不是呈直角，一時(shí)間理不清頭緒。于是我在梯形的右側(cè)又補(bǔ)畫(huà)了一個(gè)梯形，這兩個(gè)梯形形狀大小完全一樣，組成了一個(gè)平行四邊形。這時(shí)，學(xué)生就能夠推理出梯形的面積計(jì)算公式和它的上底、下底、高相關(guān)了。根據(jù)平行四邊形的面積計(jì)算公式再除以2 就得到梯形面積計(jì)算公式了。這種推理適合于具備一定的圖形知識(shí)和聯(lián)想能力的中高年級(jí)的小學(xué)生。接著，我又畫(huà)了一個(gè)直角梯形，拼上一個(gè)相同的梯形后得到一個(gè)長(zhǎng)方形，學(xué)生們對(duì)梯形的面積計(jì)算公式的理解更加深刻了。

二、強(qiáng)化驗(yàn)證環(huán)節(jié)，促進(jìn)合理推理

推理和驗(yàn)證往往是相輔相成的，離開(kāi)了驗(yàn)證的推理有時(shí)會(huì)變得虛無(wú)縹緲，脫離教學(xué)主題，達(dá)不到應(yīng)有的教學(xué)效果。部分?jǐn)?shù)學(xué)推理還需要對(duì)比驗(yàn)證，這也是幫助小學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)從猜想到確定認(rèn)知的關(guān)鍵［5］。在驗(yàn)證的過(guò)程中，學(xué)生能夠綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)。部分沒(méi)有確定答案的數(shù)學(xué)推理可以忽略驗(yàn)證環(huán)節(jié)，但是能夠得到確切答案的推理如果脫離了驗(yàn)證，就會(huì)讓小學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)是一門感性科學(xué)的誤解。

實(shí)際上，絕大多數(shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題都是有確切解的。這就要求教師要引導(dǎo)小學(xué)生做好推理驗(yàn)證。即使后續(xù)的驗(yàn)證結(jié)果推翻了之前的推理預(yù)期，也是數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和數(shù)學(xué)思維一次很好的鍛煉。小學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)是一項(xiàng)非常重要的教學(xué)目標(biāo)，教師要制定科學(xué)有效的教學(xué)策略，營(yíng)造出自由探索思考的學(xué)習(xí)氣氛，加上嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的驗(yàn)證環(huán)節(jié)，讓小學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)視野和數(shù)學(xué)思維進(jìn)一步拓展。

［案例3］圓錐體體積計(jì)算公式

在學(xué)生學(xué)習(xí)了圓柱體的體積計(jì)算公式后，我給出了一道推理題，要求他們推理出相同規(guī)格的圓錐體的體積計(jì)算公式：已知圓錐的底面直徑d 和高h(yuǎn)，如何求體積V？

因?yàn)閷W(xué)生第一次接觸圓錐體，對(duì)圓錐體的概念還不是很清楚。首先，我給大家演示了圓錐體的生成過(guò)程。圓錐體雖然也有底圓和高度，但它是由三角形旋轉(zhuǎn)生成的，而圓柱體是由圓拉伸而成。從它們二者的生成方式就可以看出，體積存在一定的差異。學(xué)生掌握了圓柱體的體積計(jì)算公式后，我讓他們推理圓錐體的體積計(jì)算公式。假設(shè)和該圓錐體底面半徑相同的圓柱體的體積計(jì)算公式為V ＝S×h，其中S 為底圓面積，可以由已知的底圓半徑計(jì)算得出。學(xué)生很快就發(fā)現(xiàn)圓錐體的體積比圓柱體要小，部分學(xué)生推理出圓錐體的體積是相同底圓和高度的圓柱體的1/2 或1/3。面對(duì)幾種不同的推理結(jié)果，在學(xué)生不知道準(zhǔn)確答案或者對(duì)準(zhǔn)確答案存在疑問(wèn)的時(shí)候，我精心組織了一次推理驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)。

在推理驗(yàn)證環(huán)節(jié)，我準(zhǔn)備了一個(gè)圓筒和一個(gè)錐形容器，它們的底圓半徑和高度一致，分別模擬推理題中的圓柱體和圓錐體，圓筒和圓錐里面一開(kāi)始都是空的，沒(méi)有水。接下來(lái)，我讓學(xué)生先把圓錐形容器里面裝滿水，再把圓錐形容器里的水倒入圓筒中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)雖然底圓半徑和高度一樣，但是，圓錐形容器里的水只填滿了圓筒的一小部分，這說(shuō)明相同底圓和高度的圓錐的體積遠(yuǎn)小于圓柱體積。但此時(shí)也無(wú)法確定倒入的水占到圓柱體體積的多少比例。接著，我讓學(xué)生又一次將圓錐體容器盛滿水并倒入圓筒中，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)圓筒里的水還是不滿。很顯然，圓錐體的體積比圓柱體體積的一半要小，究竟是不是1/3 呢？我讓學(xué)生再次將圓錐體容器盛滿水，并再一次將水倒入圓筒中，這次正好把圓筒注滿了。學(xué)生一下就明白了圓錐體體積是相同規(guī)格的圓柱體的1/3，對(duì)這兩種幾何體體積的關(guān)系認(rèn)知也更加深刻了。一開(kāi)始還有部分同學(xué)覺(jué)得圓錐體的形狀比較奇特，很難準(zhǔn)確得出它的體積公式，經(jīng)過(guò)這次驗(yàn)證試驗(yàn)，徹底打消了他們心中的疑慮。我告訴學(xué)生，圓錐體是一類很常見(jiàn)的幾何體，在以后的中學(xué)學(xué)習(xí)中會(huì)經(jīng)常遇到。許多比它更加復(fù)雜的幾何體都能夠得到準(zhǔn)確的體積公式。但是，需要大家掌握更加復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)。驗(yàn)證環(huán)節(jié)也進(jìn)一步強(qiáng)化了學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)學(xué)風(fēng)，在豐富學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)還提升了其學(xué)習(xí)興趣，可謂是一舉多得。同時(shí)，驗(yàn)證環(huán)節(jié)的開(kāi)展也讓學(xué)生知道了數(shù)學(xué)知識(shí)的具體應(yīng)用策略。

三、肯定推理過(guò)程，保持推理興趣

小學(xué)階段的推理訓(xùn)練中，推理積極性和興趣的培養(yǎng)往往比得到正確的推理結(jié)果更為重要。在推理圓錐體體積這一課上，經(jīng)過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證得到圓錐體體積是同等規(guī)格的圓柱體體積的1/3 后，學(xué)生很開(kāi)心，預(yù)測(cè)圓錐體體積是圓柱體體積的1/3 的同學(xué)更帶有明顯的成就感。我讓學(xué)生把書(shū)本翻到圓錐體這一課，再次確認(rèn)了圓錐體的體積計(jì)算公式。我表?yè)P(yáng)了成功推理出體積公式的學(xué)生；對(duì)于預(yù)測(cè)失敗的同學(xué)，我也給予了鼓勵(lì)，告訴他們，小學(xué)階段還不能科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赝茖?dǎo)圓錐體的計(jì)算公式，推理出現(xiàn)錯(cuò)誤是非常正常的事情［6］。許許多多的大科學(xué)家在探索未知科學(xué)問(wèn)題時(shí)，一樣會(huì)出錯(cuò)，包括著名的科學(xué)家牛頓。小學(xué)階段的推理不是強(qiáng)調(diào)結(jié)果，更加重要的是鼓勵(lì)和保護(hù)學(xué)生熱愛(ài)推理活動(dòng)的興趣和積極性。一次次推理失敗，并不能說(shuō)明什么問(wèn)題。相反，推理活動(dòng)的興趣和經(jīng)驗(yàn)認(rèn)知會(huì)逐步提升。

［案例4］拼正方體

在學(xué)習(xí)了正方體的體積計(jì)算公式后，我給學(xué)生提了一個(gè)問(wèn)題：幾個(gè)相同的小正方體能夠拼成一個(gè)大的正方體嗎？這個(gè)問(wèn)題是我從小學(xué)生經(jīng)常玩的魔方游戲和積木游戲中想到的。這個(gè)題目中，學(xué)生在推理過(guò)程中思維完全是開(kāi)放式的，我并沒(méi)有告訴學(xué)生小正方體有多大。有學(xué)生假設(shè)小正方體的邊長(zhǎng)為1，大正方體的邊長(zhǎng)為2，通過(guò)計(jì)算正方體的體積，得出8 個(gè)相同的小正方體才能拼出一個(gè)大正方體；有的小學(xué)生在腦海中展開(kāi)聯(lián)想，將小正方體的邊長(zhǎng)放大一倍，就能得到一個(gè)大正方體了。他們?cè)谀X海中算出放大后的正方體包括8 個(gè)小正方體。我充分肯定了這幾種推理方式，這種推理說(shuō)明小學(xué)生具備了一定的圖形認(rèn)知和聯(lián)想能力。

總之，在推理訓(xùn)練環(huán)節(jié)中，教師要緊密結(jié)合小學(xué)生的知識(shí)能力水平，既要有一定的推理難度，又不能超出小學(xué)生能力水平，要融入數(shù)形結(jié)合思想，拓展小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維；強(qiáng)化推理驗(yàn)證環(huán)節(jié)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)推理知識(shí)的認(rèn)知和理解，強(qiáng)調(diào)過(guò)程和結(jié)果一樣重要，保護(hù)學(xué)生的推理積極性。