10個人打水，如何排隊總時間最少？

李井奎

在計劃經(jīng)濟時代，由于物資短缺，排隊現(xiàn)象非常普遍，以至于排隊問題都驚動了當(dāng)時的大數(shù)學(xué)家華羅庚。華羅庚先生也在這個問題上提出不少解決辦法，包括他特別提倡的統(tǒng)籌方法。

首屆華羅庚數(shù)學(xué)競賽小學(xué)組，就有這樣一道據(jù)說是華羅庚先生出的關(guān)于“排隊”的題目：10個人拎著水桶排隊在打水，10個水桶大小不一，請問他們該如何排隊，才能使排隊總時間最低？

我小女兒才六歲，她張口說應(yīng)該讓大桶排后面、小桶排前面。我很驚奇，因為她這個答案是對的，盡管她只是猜的。我們來用反證法證明我女兒這個答案是對的：只要不是按照從小到大，就會有挨著的兩個桶，大桶在小桶前面，假設(shè)大桶需要時間是T，小桶需要時間是t，當(dāng)然T大于t。只要讓這兩個人調(diào)換一下位置，就可以節(jié)省T-t的時間。可見，只要不是按照從小到大排，就不是最優(yōu)方案。

但是，這個從數(shù)學(xué)上看起來是最優(yōu)的方案，一旦人們站好了排隊取水的位次，你讓他們按照你說的這個方案來實施，是不是對每個人都好呢？遺憾的是，對于所有人而言的這個所謂“最優(yōu)”，對于具體的個體來說，很可能并非如此。如果我拎的是最大的那個桶，已經(jīng)排在了第一位，你讓我哪怕稍微跟后面一位換一換，這對我來說也是一種損害。

經(jīng)濟學(xué)中有一個概念，叫做帕累托最優(yōu)配置。意思是說，如果一個資源配置狀態(tài)在不使任何其他人的福利受損的情況下，就不能使你的福利得到改善，那么，這種狀態(tài)就是帕累托最優(yōu)配置狀態(tài)。按照這個概念，前面這一段所講的那種數(shù)學(xué)上用時最短的狀態(tài)，就不一定是帕累托最優(yōu)配置狀態(tài)，因為雖然你從數(shù)學(xué)上證明從小桶排到大桶是最優(yōu)的，但只要不是一開始人們就處于這種狀態(tài)，我們是無法在不使得任何人的排隊時間不增加的情況下，而使這種數(shù)學(xué)上的最優(yōu)狀態(tài)得到實現(xiàn)。要解決這個問題，有幾個辦法。

第一個，就是假設(shè)存在一個絕對的獨裁者，他來做決定，讓人們按照從小桶到大桶去排隊。單純從這個排隊取水問題上來說，這個方法是可以帶來最短排隊時間的。

第二個，是假定使用簡單多數(shù)投票原則，只要多數(shù)人投票同意，就可以改動人們的排隊位次。比如我排在第一位，那么，大家投票讓我去最后一位，這樣贊成票會有9張，反對票可能就我這一張。然后再依次投別人的票，基本上可以保證多數(shù)原則下投票投出的結(jié)果與上述的最短時間排隊方案相一致。

除了這兩種政治意味很濃厚的方法之外，還有一個經(jīng)濟學(xué)上的交易方法，從這里我們可以看到，自由交易在增進社會總價值上多么重要。假如排隊者的每一分鐘時間值1毛錢，原來20分鐘的大桶排在10分鐘的小桶前面，拎小桶的人提出與拎大桶的人交換位置，給他1.5元錢作為補償。這樣一來，拎小桶的人可以節(jié)省20分鐘，雖然他付出了1.5元，但還是節(jié)省了5分鐘的價值。拎大桶的人確實是多等待了10分鐘，但他得到了1.5元，相當(dāng)于賺到了5分鐘的價值。

如果各人對于時間的估價差別不大，這種交易仍然可以得到數(shù)學(xué)上最短的排隊時間結(jié)果。但是，如果有人對時間估值很高，情況就會是他們付錢給那些對時間估值不高的人，從而不見得使排隊時間最短，但這樣做卻可以使得社會總的價值最大。

不要小看排隊的學(xué)問，某種意義上說，這個排隊取水的問題，蘊含著“阿羅不可能性定理”“福利經(jīng)濟學(xué)第一定理”這類高深的學(xué)問。由此可見，那些被許多人所抨擊的看似高深而無用、充滿著數(shù)學(xué)證明的經(jīng)濟學(xué)定理，其實，它們所研究的現(xiàn)象，遍布于我們周圍的市井生活之中，只要我們深入想一想，這其中的道理并不難懂。