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    10個人打水,如何排隊總時間最少?

    2023-06-05 11:07:04李井奎
    南風(fēng)窗 2023年10期
    關(guān)鍵詞:小桶華羅庚排隊

    李井奎

    在計劃經(jīng)濟時代,由于物資短缺,排隊現(xiàn)象非常普遍,以至于排隊問題都驚動了當(dāng)時的大數(shù)學(xué)家華羅庚。華羅庚先生也在這個問題上提出不少解決辦法,包括他特別提倡的統(tǒng)籌方法。

    首屆華羅庚數(shù)學(xué)競賽小學(xué)組,就有這樣一道據(jù)說是華羅庚先生出的關(guān)于“排隊”的題目:10個人拎著水桶排隊在打水,10個水桶大小不一,請問他們該如何排隊,才能使排隊總時間最低?

    我小女兒才六歲,她張口說應(yīng)該讓大桶排后面、小桶排前面。我很驚奇,因為她這個答案是對的,盡管她只是猜的。我們來用反證法證明我女兒這個答案是對的:只要不是按照從小到大,就會有挨著的兩個桶,大桶在小桶前面,假設(shè)大桶需要時間是T,小桶需要時間是t,當(dāng)然T大于t。只要讓這兩個人調(diào)換一下位置,就可以節(jié)省T-t的時間。可見,只要不是按照從小到大排,就不是最優(yōu)方案。

    但是,這個從數(shù)學(xué)上看起來是最優(yōu)的方案,一旦人們站好了排隊取水的位次,你讓他們按照你說的這個方案來實施,是不是對每個人都好呢?遺憾的是,對于所有人而言的這個所謂“最優(yōu)”,對于具體的個體來說,很可能并非如此。如果我拎的是最大的那個桶,已經(jīng)排在了第一位,你讓我哪怕稍微跟后面一位換一換,這對我來說也是一種損害。

    經(jīng)濟學(xué)中有一個概念,叫做帕累托最優(yōu)配置。意思是說,如果一個資源配置狀態(tài)在不使任何其他人的福利受損的情況下,就不能使你的福利得到改善,那么,這種狀態(tài)就是帕累托最優(yōu)配置狀態(tài)。按照這個概念,前面這一段所講的那種數(shù)學(xué)上用時最短的狀態(tài),就不一定是帕累托最優(yōu)配置狀態(tài),因為雖然你從數(shù)學(xué)上證明從小桶排到大桶是最優(yōu)的,但只要不是一開始人們就處于這種狀態(tài),我們是無法在不使得任何人的排隊時間不增加的情況下,而使這種數(shù)學(xué)上的最優(yōu)狀態(tài)得到實現(xiàn)。要解決這個問題,有幾個辦法。

    第一個,就是假設(shè)存在一個絕對的獨裁者,他來做決定,讓人們按照從小桶到大桶去排隊。單純從這個排隊取水問題上來說,這個方法是可以帶來最短排隊時間的。

    第二個,是假定使用簡單多數(shù)投票原則,只要多數(shù)人投票同意,就可以改動人們的排隊位次。比如我排在第一位,那么,大家投票讓我去最后一位,這樣贊成票會有9張,反對票可能就我這一張。然后再依次投別人的票,基本上可以保證多數(shù)原則下投票投出的結(jié)果與上述的最短時間排隊方案相一致。

    除了這兩種政治意味很濃厚的方法之外,還有一個經(jīng)濟學(xué)上的交易方法,從這里我們可以看到,自由交易在增進社會總價值上多么重要。假如排隊者的每一分鐘時間值1毛錢,原來20分鐘的大桶排在10分鐘的小桶前面,拎小桶的人提出與拎大桶的人交換位置,給他1.5元錢作為補償。這樣一來,拎小桶的人可以節(jié)省20分鐘,雖然他付出了1.5元,但還是節(jié)省了5分鐘的價值。拎大桶的人確實是多等待了10分鐘,但他得到了1.5元,相當(dāng)于賺到了5分鐘的價值。

    如果各人對于時間的估價差別不大,這種交易仍然可以得到數(shù)學(xué)上最短的排隊時間結(jié)果。但是,如果有人對時間估值很高,情況就會是他們付錢給那些對時間估值不高的人,從而不見得使排隊時間最短,但這樣做卻可以使得社會總的價值最大。

    不要小看排隊的學(xué)問,某種意義上說,這個排隊取水的問題,蘊含著“阿羅不可能性定理”“福利經(jīng)濟學(xué)第一定理”這類高深的學(xué)問。由此可見,那些被許多人所抨擊的看似高深而無用、充滿著數(shù)學(xué)證明的經(jīng)濟學(xué)定理,其實,它們所研究的現(xiàn)象,遍布于我們周圍的市井生活之中,只要我們深入想一想,這其中的道理并不難懂。

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