利用“拋物線與三角形”再探投籃動作

熊海金 吳梓俊 黎燕琪 覃麗英 楊立英

［摘 要］文章基于《利用“拋物線與三角形”增進(jìn)投籃動作之初探》一文的研究，在“投球”動作三角形模型與籃球運(yùn)動軌跡“拋物線”模型的整體模型中新增籃球運(yùn)動軌跡最高點(diǎn)模型，通過模型分析與求解，推算一定身高、肩高、臂長的未成年男子的投籃速度范圍、投籃角度范圍以及籃球最高點(diǎn)的范圍，同時增添未成年人人體尺寸數(shù)據(jù)，研究年齡帶來的手臂變化對“舉球”動作的影響。

［關(guān)鍵詞］拋物線；三角形；投籃動作；模型

［中圖分類號］ ? ?G633.6 ? ? ? ?［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號］ ? ?1674-6058（2023）02-0031-05

一、緒論

籃球運(yùn)動對人體健康具有積極的促進(jìn)作用，規(guī)范的投籃動作可以促進(jìn)籃球運(yùn)動的發(fā)展。因此，規(guī)范的投籃動作值得深入探究。發(fā)表在中文國際期刊《國際應(yīng)用數(shù)學(xué)進(jìn)展》中的《利用“拋物線與三角形”增進(jìn)投籃動作之初探》（簡稱《初探》）一文，在籃球運(yùn)動軌跡“拋物線”模型的基礎(chǔ)上，以數(shù)理分析法與函數(shù)分析法建立投籃動作“三角形”模型，對單手肩上投籃動作的“投球”和“舉球”兩個要點(diǎn)進(jìn)行初步探索［1］。在投籃動作模型的研究中，關(guān)于球員的肩高、前臂和上臂數(shù)據(jù)選自2021年修改的標(biāo)準(zhǔn)編號為20200842-T-469的《中國成年人人體尺寸》（征求意見稿），并采用取中位數(shù)的方法從中選擇了百分位數(shù)P50數(shù)據(jù)，最終通過模型推導(dǎo)得出如下結(jié)論：

第一，投籃距離不等于球員與籃筐的距離，投籃距離與球員的手臂長度相關(guān)；球員的身高不等于投籃的高度，投籃高度與球員肩部高度和手臂長度相關(guān)。

第二，“投球”動作結(jié)束時，手臂與水平地面的夾角[α]與出手后籃球獲得的初速度方向與水平地面的夾角[θ]（即投籃角度）不相等。當(dāng)投籃高度[H0]一定時（球員的手臂長度不變，手臂與水平地面的夾角[α]也不變），投籃角度[θ]的最直接的影響因素是投籃距離。

第三，肩高[138.9 cm]、手臂長[79.7 cm]的成年男子進(jìn)行中遠(yuǎn)距離投籃時，投籃角度越小，投籃速度越大，其中，投籃角度的最佳范圍是[53.87°<θ<61.32°]，投籃速度的最佳范圍是[5.86 m/s

第四，隨著年齡的增長，中國成年人單手肩上投籃動作中的“舉球”動作會受到年齡帶來的手臂變化的影響。成年男子的影響范圍在[0.0107]～[0.0472]，成年女子的影響范圍在[0.00183]～[0.00851]，相比之下，成年男子受到年齡的影響略大于成年女子，但總體而言影響較小。

第五，“舉球”動作中的發(fā)力角[β]與球員的前臂和上臂長度相關(guān)，而在由前臂與上臂構(gòu)成的直角三角形中發(fā)力的投籃效果優(yōu)于在前臂與上臂構(gòu)成的銳角三角形和鈍角三角形中。

基于此，我們試在《初探》一文的基礎(chǔ)上，細(xì)化模型求解的過程，填補(bǔ)模型中沒有求解的投籃拋物線的最高點(diǎn)以及增加《中國未成年人人體尺寸》的數(shù)據(jù)，比較未成年人和成年人的投籃動作與肩高、前臂和上臂的相關(guān)性。我們試建立如圖1所示的工作模型。

我們在通過《初探》中的文獻(xiàn)綜述可知，很多學(xué)者熱衷于籃球運(yùn)動軌跡的研究，對于投籃動作的研究大多以教師為主，且均是從生物力學(xué)角度進(jìn)行研究。在籃球運(yùn)動軌跡的研究中，就目前查閱到的文獻(xiàn)來看，1984年，籍傳翔是首個以“拋物線曲線方程”模型對籃球運(yùn)動軌跡進(jìn)行分析的學(xué)者，他認(rèn)為出手速度與投籃高度、投籃距離相關(guān)，出手角度的范圍在45°左右［2］。此后的數(shù)十年間，諸如王浩羽、李霏雯、張鶴揚(yáng)等不少學(xué)者在籍傳翔的“拋物線曲線方程”模型的基礎(chǔ)上對投籃角度、籃球運(yùn)動軌跡、籃球入射的角度、籃球運(yùn)動軌跡高度、后旋球投籃以及投籃命中率等問題進(jìn)行了研究，雖然取得了一定的研究成果，但是研究跨度時間較長，而且較為散亂。2021年，在前人的研究基礎(chǔ)上，劉旭光、趙汝卿、張雅男以籃球受到的重力、空氣阻力和瑪格努斯力三種力為基礎(chǔ)建立“三力”模型，利用仿真求解籃球的飛行軌跡，通過命中率得到投籃時的最佳出手狀態(tài)［3］。至此，劉旭光、趙汝卿、張雅男的研究開始涉及投籃動作?？傮w而言，在之前的研究中，學(xué)者們均是將“投籃動作”和“籃球運(yùn)動軌跡”脫離開來，對于將投籃動作與籃球運(yùn)動軌跡高度相結(jié)合的模型研究基本空白。為此，我們嘗試在《初探》中所論述的模型中增補(bǔ)籃球運(yùn)動軌跡的最高點(diǎn)，從而細(xì)化模型，并對前期模型求解過程的細(xì)則進(jìn)行補(bǔ)充。另外，增補(bǔ)《中國未成年人人體尺寸》的數(shù)據(jù)，以比較未成年人與成年人之間的差異。

四、研究討論與結(jié)果

本研究模型中，關(guān)于未成年人的肩高、前臂和上臂數(shù)據(jù)，均采用全國標(biāo)準(zhǔn)信息公共服務(wù)平臺2011年7月1日的標(biāo)準(zhǔn)號為GB/T 26158-2010的《中國未成年人人體尺寸》中的數(shù)據(jù)。其中人體尺寸用百分位數(shù)表示，稱為人體尺寸百分位數(shù)，并分別給出了人體基礎(chǔ)尺寸數(shù)據(jù)11個百分位數(shù)統(tǒng)計值，分別為P1、P2.5、P5、P10、P25、P50、P75、P90、P95、P97.5、P99。本研究采用取中位數(shù)的方法選擇了百分位數(shù)P50數(shù)據(jù)，如表2所示［4］。

根據(jù)表2中的數(shù)據(jù)，結(jié)合“投球”動作三角形模型與籃球運(yùn)動軌跡“拋物線”模型的整體模型，假定一個未成年男子在11歲至12歲之間，其身高為[146.6 cm]、肩高為[116.9 cm]、臂長為[47.4 cm]，若該男子進(jìn)行中距離（三分線內(nèi)三秒?yún)^(qū)外）投籃，實際測量其投籃出手點(diǎn)為[H0=157 cm]，可求得[sinα≈0.84599]，[cosα≈0.28430]，反解得[α≈1.00842]，將其轉(zhuǎn)化為角度制得[α≈57.77°]。當(dāng)該男子進(jìn)行中距離投籃時，[2.75 m≤J<6.75 m]；當(dāng)[J=2.75 m]時，投籃角度的范圍為[61.06°<θ<79.33°]便可進(jìn)球，此時投籃速度的范圍是[5.24 m/s

將表2中的數(shù)據(jù)代入“舉球”動作三角形模型方程（方程（1））可得未成年人手臂變化對“舉球”動作的影響數(shù)據(jù)，再將其與《初探》一文中成年人手臂變化對“舉球”動作的影響數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，結(jié)果如表3所示。

通過以上模型推導(dǎo)得出如下結(jié)論：

第一，身高為[146.6 cm]、肩高為[116.9 cm]、臂長為[47.4 cm]的未成年男子，進(jìn)行中距離投籃，即[2.75 m≤J<6.75 m]時，投籃角度越小，投籃速度越大，則該男子的中距離投籃由遠(yuǎn)到近的最佳投籃角度為[52.76°<θ<60.74°]，最佳出手速度由近到遠(yuǎn)的范圍是[5.33 m/s

第二，身高為[146.6 cm]、肩高為[116.9 cm]、臂長為[47.4 cm]的未成年男子，進(jìn)行中距離投籃時，籃球運(yùn)動軌跡的最高點(diǎn)豎直方向上距離地面在[3.112]～[3.204 m]，水平方向上距離籃筐在[1.026]～[3.366 m]，這樣的情況下投籃命中率較高。

第三，未成年人隨著年齡的變化，肩上單手投籃的“舉球”動作會受到年齡帶來的手臂變化的影響，未成年男子的影響范圍為[0.01071]～[0.04717]，未成年女子的影響范圍為[0.0065]～[0.5822]，總體來說未成年女子受到年齡的影響略大于未成年男子，但總體而言影響較小。

第四，成年人“舉球”動作中的發(fā)力角[β]大于未成年人，近乎是未成年人的2倍。

［ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻(xiàn) ? ］

［1］ ?宋方珺，熊海金，林宜甲，等.利用“拋物線與三角形”增進(jìn)投籃動作之初探［J］.國際應(yīng)用數(shù)學(xué)進(jìn)展，2022（1）：16-24.

［2］ ?籍傳翔.投籃模型［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，1984（1）：60-62.

［3］ ?劉旭光，趙汝卿，張雅男.“三力”模型下籃球投籃最佳角度的實驗研究［J］.四川體育科學(xué)，2021（5）：57-61.

［4］ ?全國標(biāo)準(zhǔn)信息公共服務(wù)平臺.中國未成年人人體尺寸：GB/T 26158-2010［S/OL］.［2011-07-01］http：//std.samr.gov.cn/gb.

（責(zé)任編輯 黃春香）