在“三角形的面積”課堂探究活動中滲透轉(zhuǎn)化思想的思考

【摘要】本文圍繞“三角形的面積”一課三角形面積公式推導(dǎo)過程中轉(zhuǎn)化思想的滲透展開教學(xué)思考與實踐探索：通過課前診斷了解學(xué)情，設(shè)計層次遞進的課堂探究活動；通過提供方格圖、箭頭圖等學(xué)習(xí)材料，引導(dǎo)學(xué)生對三類三角形面積推導(dǎo)過程展開實踐探索，在剪拼、倍拼活動中滲透轉(zhuǎn)化思想和推理意識；最終圍繞課堂有效探究提煉出探究活動設(shè)計應(yīng)扶放結(jié)合、學(xué)習(xí)材料選用應(yīng)適切有度、對學(xué)生的探究表現(xiàn)應(yīng)做出積極回應(yīng)三點體會。

【關(guān)鍵詞】三角形的面積 轉(zhuǎn)化思想 探究活動

【中圖分類號】G62 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）01-0065-03

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想方法的滲透是重要的教學(xué)內(nèi)容。轉(zhuǎn)化是面積計算公式推導(dǎo)過程中至關(guān)重要的思想方法?！叭切蔚拿娣e”一課出自人教版教材五年級上冊第六單元“多邊形的面積”，屬于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022年版數(shù)學(xué)課標》）所規(guī)定的第三學(xué)段的學(xué)習(xí)內(nèi)容?！?022年版數(shù)學(xué)課標》在第三學(xué)段“學(xué)段目標”中明確提出要讓學(xué)生“探索幾何圖形面積和體積的計算方法”，在“內(nèi)容要求”中明確提出要讓學(xué)生“探索并掌握平行四邊形、三角形和梯形的面積計算公式”“會估計不規(guī)則圖形的面積”，在學(xué)業(yè)要求中明確提出要讓學(xué)生“在解決圖形周長、面積的實際問題過程中，逐步積累操作的經(jīng)驗，形成量感和初步的幾何直觀”等。事實上，在整個小學(xué)階段，平面圖形面積公式的探索一直貫穿著轉(zhuǎn)化思想的滲透和發(fā)展，其中平行四邊形的面積公式推導(dǎo)是轉(zhuǎn)化思想的啟蒙，三角形的面積公式推導(dǎo)則是轉(zhuǎn)化思想的深化。那么，如何在三角形的面積公式推導(dǎo)過程中全面滲透轉(zhuǎn)化思想呢？

《義務(wù)教育課程標準（2011年版）》在教學(xué)實施建議中明確指出：教學(xué)中注重結(jié)合具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容，設(shè)計有效的數(shù)學(xué)探究活動，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)生發(fā)展過程，是學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的重要途徑。而數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標志，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，需要在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動過程中逐步積累起來。通過分析教材可知，人教版教材為三角形面積計算公式的推導(dǎo)設(shè)計了兩條探究活動的路徑：其一，運用剪拼法，將三角形的底或高折半拼接，將其轉(zhuǎn)化成一個長方形或者平行四邊形，轉(zhuǎn)化前后的面積保持不變；其二，運用倍拼法，基于原三角形的特點構(gòu)造出一個與其一樣的新的三角形，將兩個完全一樣的三角形進行拼接，使其轉(zhuǎn)化成為一個平行四邊形或長方形，轉(zhuǎn)化前后的圖形面積加倍。也就是說，關(guān)于“三角形的面積”教學(xué)，教師首先應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷剪拼法、倍拼法的探索過程，從中滲透轉(zhuǎn)化的思想方法，再引導(dǎo)學(xué)生探索轉(zhuǎn)化前后兩個圖形之間的關(guān)系，發(fā)展推理意識，逐步形成三角形面積的空間觀念。

一、課前學(xué)情診斷

既然已經(jīng)明確本課教學(xué)要讓學(xué)生“探索并掌握三角形的面積公式”，那么，教師需要給學(xué)生提供探索工具或?qū)W習(xí)材料嗎？進一步講，這個問題可以拆分為三個方面的小問題：第一，教師需要給學(xué)生提供方格圖嗎？第二，教師需要給學(xué)生提供三角形實物進行操作嗎？第三，三角形面積公式推導(dǎo)的關(guān)鍵點究竟是什么？要解決以上問題，必須了解學(xué)生的實際學(xué)情，以學(xué)情為基礎(chǔ)尋找適合他們課堂學(xué)習(xí)探索的正確方法。為此，筆者在課前對學(xué)情進行了檢測和診斷。

（一）關(guān)于方格圖的問題

可以預(yù)設(shè)兩種答案：一種是提供方格圖，一種是不提供方格圖。

當不給學(xué)生提供方格圖時，筆者給學(xué)生提供了等腰三角形和不等邊三角形，讓學(xué)生討論可以用幾種方法計算它們的面積。學(xué)生通過交流、反饋，一致認為可以將等腰三角形剪切、拼接，轉(zhuǎn)化為長方形，并由此認為，只有剪切的兩個三角形形狀一樣才可以實現(xiàn)轉(zhuǎn)化。接下來，筆者又讓學(xué)生思考：如何將不等邊三角形轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形。結(jié)果顯示，大部分學(xué)生想不出要用倍拼法實現(xiàn)轉(zhuǎn)化。

當給學(xué)生提供方格圖時，筆者要學(xué)生求出邊長為1厘米的方格圖中的直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的面積。學(xué)生基于以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，先后使用了數(shù)格子、剪拼法、倍拼法、公式法4種方法計算三種三角形的面積。在此過程中，由于有方格圖的過渡，學(xué)生基本都能在直角三角形內(nèi)完成從剪拼法到倍拼法的過渡，但是對銳角三角形和鈍角三角形如何運用剪拼法轉(zhuǎn)化為學(xué)過的圖形存在學(xué)習(xí)困難。

（二）關(guān)于實物三角形的操作問題

其實，五年級的大部分學(xué)生都能在方格圖內(nèi)運用倍拼法，并能結(jié)合圖示說明操作的過程，但是在對兩個一樣的銳角三角形、鈍角三角形進行實物拼組時卻出現(xiàn)了認知障礙，不知如何將兩個一樣的三角形進行翻轉(zhuǎn)、拼組才能拼出一個平行四邊形：離開了方格圖，學(xué)生就好比失去了拐杖。由此可見，學(xué)生的空間觀念仍有待發(fā)展。

（三）關(guān)于三角形面積公式推導(dǎo)教學(xué)的關(guān)鍵點問題

三角形面積公式的推導(dǎo)過程主要包括圖形轉(zhuǎn)化、尋找聯(lián)系、公式推導(dǎo)三個環(huán)節(jié)，這其中究竟哪個環(huán)節(jié)才是教學(xué)指導(dǎo)的關(guān)鍵點呢？筆者基于前測，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在尋找圖形轉(zhuǎn)化前后圖形之間的等量關(guān)系方面存在認知困難，主要原因在于沒有抓住圖形的關(guān)鍵要素。經(jīng)驗告訴筆者：通常情況下，學(xué)生往往更關(guān)注算式和結(jié)果，而容易忽略從算式走向公式的推理過程；大多數(shù)教師容易把教學(xué)重心放在探索圖形的轉(zhuǎn)化上，而忽略了對學(xué)生進行以上推理意識的培養(yǎng)。在核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)背景下，為了培養(yǎng)學(xué)生的推理意識和獨立思考能力，教師在讓學(xué)生探索圖形轉(zhuǎn)化的過程和方法的同時，必須融入對學(xué)生推理意識的培養(yǎng)，通過引導(dǎo)學(xué)生尋找圖形的關(guān)鍵要素以及圖形轉(zhuǎn)化前后的內(nèi)部聯(lián)系，完成對三角形面積公式的推導(dǎo)過程。

二、課中教學(xué)實踐

筆者將教學(xué)過程設(shè)計為兩個階段：第一個階段，啟發(fā)學(xué)生按照角的特點對三角形進行分類；第二個階段，提示學(xué)生可以對直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三類不同的三角形的面積公式分別進行探索。探索過程可以分為兩個階段：先是探索直角三角形面積公式的推導(dǎo)，再探索銳角三角形和鈍角三角形面積公式的推導(dǎo)。

（一）直角三角形面積公式的推導(dǎo)

圍繞直角三角形面積公式的推導(dǎo)，筆者先給學(xué)生呈現(xiàn)了前測時學(xué)生自主用方格圖進行三角形面積轉(zhuǎn)化的5件作品，如圖1所示；然后讓學(xué)生討論哪些作品所用的方法是類似的，為什么。

學(xué)生經(jīng)過討論，一致認為：圖1（1）、1（2）、1（3）所用的推導(dǎo)方法是類似的，都是先剪下一部分再移過去，形成一個長方形或平行四邊形；圖1（4）、1（5）所用的推導(dǎo)方法也是類似的，都是先增加一個一樣的三角形，再拼出一個長方形或平行四邊形。筆者進一步引導(dǎo)學(xué)生對兩種方法分別展開討論，歸納出剪拼法和倍拼法的特點：運用剪拼法，轉(zhuǎn)化后的圖形面積不變；運用倍拼法，轉(zhuǎn)化后的圖形面積變成了原來圖形面積的兩倍。最后，筆者引導(dǎo)學(xué)生通過計算轉(zhuǎn)化后的長方形或平行四邊形的面積，找出轉(zhuǎn)化前后兩個圖形的底與高之間的關(guān)系，由此推導(dǎo)出“直角三角形的面積=底×高÷2”。

（二）銳角三角形、鈍角三角形面積公式的推導(dǎo)

在學(xué)生積累了一些探索直角三角形面積公式推導(dǎo)過程的經(jīng)驗后，教師接下來便可以引導(dǎo)學(xué)生探索銳角三角形、鈍角三角形面積公式的推導(dǎo)過程了。

1.探索銳角三角形面積公式的推導(dǎo)過程。教學(xué)中，筆者先給學(xué)生提供了一個探究學(xué)習(xí)單，讓學(xué)生同桌合作，仿照直角三角形面積公式的探索過程，先猜測、再驗證，分別采用倍拼法、剪拼法進行拼圖、計算。之后選取學(xué)生所創(chuàng)設(shè)的兩種轉(zhuǎn)化方法及推導(dǎo)過程的典型作品進行展示，引導(dǎo)學(xué)生圍繞同伴的推導(dǎo)過程進行討論。學(xué)生給出的剪拼法如圖2所示。最后讓學(xué)生運用倍拼法實際操作將兩個一樣的銳角三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形的過程，再同桌之間相互指認轉(zhuǎn)化前后圖形中的底和高，討論“底乘高除2”的具體含義。

2.探索鈍角三角形面積公式的推導(dǎo)過程。先讓學(xué)生猜測鈍角三角形的面積公式，再讓學(xué)生想象可以將鈍角三角形轉(zhuǎn)化成什么圖形、如何進行倍拼，最后請學(xué)生上臺演示兩個鈍角三角形進行倍拼的過程，并指出兩個鈍角三角形所拼成的平行四邊形以及原鈍角三角形的底邊和高，最終寫出鈍角三角形面積公式的推導(dǎo)過程。

3.討論、總結(jié)三角形面積公式和字母公式的寫法。

（三）應(yīng)用三角形面積公式解決問題

筆者給學(xué)生出示如圖3所示的習(xí)題，讓學(xué)生計算圖中鈍角三角形的面積。

在學(xué)生列出算式23×7÷2后，筆者追問學(xué)生算式中的23×7能夠拼成一個什么樣的圖形，并要求學(xué)生畫下來。然后讓學(xué)生討論：如果老師將算式寫成23×（7÷2），這是采用了哪種轉(zhuǎn)化方法？要求學(xué)生說出轉(zhuǎn)化的思路。

三、課后教學(xué)反思

以上教學(xué)設(shè)計，筆者曾在本校不同班級、城鄉(xiāng)不同學(xué)校進行試教，都能激發(fā)學(xué)生的探究熱情：雖然客觀上存在著不同學(xué)校不同班級在學(xué)習(xí)過程中表現(xiàn)出來的水平差異，但每個班的教學(xué)都圓滿達成了教學(xué)目標。反思本課組織課堂探究活動的有效策略，筆者有三點體會。

（一）探究活動的設(shè)計應(yīng)扶放結(jié)合

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標，是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗各種數(shù)學(xué)活動的過程和結(jié)果。要達成這一目標，教師必須分層設(shè)計扶放結(jié)合的探究活動，給予學(xué)生探究的時間和空間，耐心引導(dǎo)學(xué)生在活動的過程中不斷積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。例如，在本課教學(xué)中，筆者將“讓學(xué)生充分經(jīng)歷三角形面積計算方法的探索過程”作為本課教學(xué)的核心目標，在課堂前測中，讓學(xué)生初步積累對三種三角形面積公式的探索經(jīng)驗；在課堂教學(xué)中，分層遞進引導(dǎo)學(xué)生展開對三種三角形面積公式的探索過程。課堂探究活動的展開，按照先扶后放、扶放結(jié)合的思路逐層遞進地展開：先利用直角三角形面積計算的前測圖，幫“扶”學(xué)生明確三角形面積公式的探索路徑和方法；再“放手”讓學(xué)生運用倍拼法、剪拼法兩種方法，自主展開對銳角三角形面積公式的探索過程；鑒于鈍角三角形面積公式的探究難度稍大，教師先讓學(xué)生從倍拼法入手，想象一下如何將鈍角三角形轉(zhuǎn)化成學(xué)過的已知圖形，再在練習(xí)中進行剪拼法的補充，做到了“扶放結(jié)合”。學(xué)生循序漸進，不僅有效積累了相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，而且提高了探究能力，內(nèi)化了轉(zhuǎn)化的思想方法。

（二）學(xué)習(xí)材料的選用要適切有度

在課堂探究活動中，學(xué)生往往會遇到各種困難?；趯W(xué)生的困難，教師需要選取適切的材料，組織有序有度的探究活動，幫助學(xué)生化解困難，深入理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。例如，在本課教學(xué)中，學(xué)生對三角形面積公式的探索主要存在兩個方面的困難：一是不能從剪拼法想到倍拼法，二是不能建立轉(zhuǎn)化前后圖形間的內(nèi)在聯(lián)系。為此筆者在課堂教學(xué)的不同階段，先后選用了方格圖和箭頭圖兩種不同的學(xué)習(xí)材料，幫助學(xué)生建立起直觀的數(shù)學(xué)表象——格子圖中的直觀圖示讓學(xué)生自然地產(chǎn)生了從剪拼法到倍拼法的思考、箭頭圖中的箭頭幫助學(xué)生順利溝通了轉(zhuǎn)化前后圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生一步步深入探索、計算推理，最終成功推導(dǎo)出了三角形的面積公式，理解了其中的算理，突破了學(xué)習(xí)難點。

（三）密切關(guān)注學(xué)生的探究表現(xiàn)并做出積極的課堂回應(yīng)

教師做出課堂回應(yīng)的方式，包括對學(xué)生的認知進行檢測和追問，為的是幫助學(xué)生真正建構(gòu)起相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念，提升數(shù)學(xué)思考能力。例如，在本課教學(xué)中，為強化學(xué)生對轉(zhuǎn)化思想的感悟，筆者在組織學(xué)生探究鈍角三角形面積公式推導(dǎo)過程之前，讓學(xué)生先想一想如果運用倍拼法進行轉(zhuǎn)化，鈍角三角形將會轉(zhuǎn)化成什么圖形；在練習(xí)環(huán)節(jié)針對“23×7”“7÷2”展開追問，讓學(xué)生思考“你能重新畫一次嗎”，再次使學(xué)生關(guān)注到了對圖形進行轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和數(shù)形結(jié)合思想。

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

作者簡介：莫秋霞（1980— ），廣西玉林人，一級教師，主要研究方向為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

（責(zé)編 白聰敏）