運(yùn)用整系數(shù)多項(xiàng)式理論判斷無(wú)理數(shù)

趙汝菊　梁佳銘　羅潔

關(guān)鍵詞：整系數(shù)多項(xiàng)式；無(wú)理數(shù)；有理根

1概述

由于同一個(gè)一元多項(xiàng)式在不同數(shù)范圍內(nèi)的解有所不同，從而有了域論的發(fā)展。隨著數(shù)的發(fā)展，多項(xiàng)式理論的完善得到了許多求解多項(xiàng)式根式解的有效方法。首先，在一個(gè)非空集合中定義一個(gè)滿(mǎn)足結(jié)合律、交換律、具有零元和每個(gè)元素具有負(fù)元的加法運(yùn)算，則該非空集合在加法運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)加群。進(jìn)而，在該非空集合上定義一個(gè)滿(mǎn)足結(jié)合律、乘法對(duì)加法相容的乘法運(yùn)算，則該非空集合在加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)環(huán)。最后，在該非空集合上定義數(shù)乘運(yùn)算，且乘法運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算要相容，則該非空集合在加法運(yùn)算、乘法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)結(jié)合代數(shù)。因此，數(shù)域上的一元多項(xiàng)式全體構(gòu)成的集合在定義的加法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算和乘法運(yùn)算下構(gòu)成具有單位元的交換的結(jié)合代數(shù)，稱(chēng)為一元多項(xiàng)式代數(shù)。

對(duì)于數(shù)域上的一元多項(xiàng)式，在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次一元多項(xiàng)式的求根公式。在高等代數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們常常會(huì)遇到三次以及更高次的一元多項(xiàng)式，三次和四次的一元多項(xiàng)式同樣也有公式解（分別稱(chēng)為Cardano公式和Ferran法），但是一元五次多項(xiàng)式未必有公式解，詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)。數(shù)域上的一元多項(xiàng)式有根式解當(dāng)且僅當(dāng)這個(gè)多項(xiàng)式的伽羅瓦群是可解群。數(shù)域上的多項(xiàng)式的根式解的研究比較復(fù)雜，考慮到大學(xué)生的學(xué)前背景，在高等代數(shù)課程中只研究了一元整系數(shù)多項(xiàng)式的根。

求解任意一個(gè)一元整系數(shù)多項(xiàng)式在給定的數(shù)集范圍內(nèi)的所有根還是非常困難的。眾所周知，一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式在給定的數(shù)域范圍內(nèi)無(wú)解，但是在包含給定數(shù)域的一些數(shù)域范圍內(nèi)可能有解，并且在復(fù)數(shù)域上是完全可解的。由于有理數(shù)域是最小的數(shù)域，復(fù)數(shù)域是最大的數(shù)域，因此可以研究一元整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上的根，即有理根。Gauss引理和Eisenstein判別法通過(guò)一元整系數(shù)多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)系數(shù)給出了所求解的一元整系數(shù)多項(xiàng)式可能存在的有理根，詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)。進(jìn)而，把可能存在的有理根代入所求解的一元整系數(shù)多項(xiàng)式進(jìn)行驗(yàn)算，如果等式成立，則為有理根，反之則為無(wú)理根。然而，隨著所求的一元整系數(shù)多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)系數(shù)的因數(shù)越多，驗(yàn)算過(guò)程中計(jì)算量會(huì)增大。

一元整系數(shù)多項(xiàng)式在日常生活中有很多應(yīng)用，也可以應(yīng)用于其他學(xué)科領(lǐng)域。例如，平分圓周和三大尺規(guī)作圖古典問(wèn)題：三等分角問(wèn)題、立方倍積問(wèn)題和化圓為方問(wèn)題。把n等分圓周的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成一個(gè)n次的一元整系數(shù)多項(xiàng)式的求根問(wèn)題，把求得的根轉(zhuǎn)化成平面上的點(diǎn)坐標(biāo)，坐標(biāo)上的點(diǎn)把圓進(jìn)行了n等分。關(guān)于三大尺規(guī)作圖問(wèn)題，利用倍角公式和已知條件的關(guān)系式，把尺規(guī)作圖問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一元整系數(shù)多項(xiàng)式的根式解問(wèn)題，運(yùn)用域論理論證明三等分角問(wèn)題、立方倍積問(wèn)題和化圓為方問(wèn)題都是尺規(guī)作圖不能問(wèn)題。

一元整系數(shù)多項(xiàng)式理論不僅可以求解多項(xiàng)式的根和解決幾何中的相關(guān)問(wèn)題，也可以用來(lái)判斷一個(gè)實(shí)數(shù)是否為無(wú)理數(shù)。參考文獻(xiàn)給出了√2無(wú)理數(shù)的幾種證明方法，參考文獻(xiàn)給出了根式和對(duì)數(shù)無(wú)理數(shù)的一些判定。根式無(wú)理數(shù)、對(duì)數(shù)無(wú)理數(shù)和三角函數(shù)無(wú)理數(shù)都是我們常見(jiàn)的幾類(lèi)無(wú)理數(shù)，如何去判斷這些無(wú)理數(shù)，也有很多方法，例如定義法、數(shù)論理論法和多項(xiàng)式理論法等。

以上三類(lèi)無(wú)理數(shù)的判定中，如果運(yùn)用定義法，很大程度需要借助計(jì)算器，并且不具有數(shù)學(xué)的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性，因此一般不采用定義法去判斷一個(gè)實(shí)數(shù)是否為無(wú)理數(shù)。如果運(yùn)用數(shù)論理論法，對(duì)于一些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的根式或者對(duì)數(shù)無(wú)理數(shù)，需要很強(qiáng)的邏輯思維，學(xué)生往往很難理解和掌握。運(yùn)用一元整系數(shù)多項(xiàng)式有理根法，首先要構(gòu)造一個(gè)以該實(shí)數(shù)為根的一元整系數(shù)多項(xiàng)式，運(yùn)用一元整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的理論，判斷所構(gòu)造的一元整系數(shù)多項(xiàng)式是否有有理根，如果沒(méi)有有理根，則該數(shù)即為無(wú)理數(shù)，反之則為有理數(shù)。相比前兩種判斷方法，一元整系數(shù)多項(xiàng)式有理根法是一種非常有效的方法，并且容易讓學(xué)生理解和掌握，但對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的無(wú)理數(shù)，如果構(gòu)造的一元整系數(shù)多項(xiàng)式次數(shù)高，計(jì)算量也會(huì)有所增大。

由于多項(xiàng)式理論是中學(xué)數(shù)學(xué)與高等代數(shù)課程的銜接內(nèi)容，對(duì)學(xué)生后繼的學(xué)習(xí)起到引導(dǎo)和啟發(fā)的作用，因此在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該把抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，并且歸納總結(jié)，使學(xué)生容易理解和接受。不僅要把抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，還要用來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)際意義，讓學(xué)生在掌握知識(shí)和提高邏輯思維能力的同時(shí)，體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。

本文主要運(yùn)用一元整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的理論，判斷根式無(wú)理數(shù)、自然對(duì)數(shù)無(wú)理數(shù)和三角函數(shù)無(wú)理數(shù)。這為以上三種無(wú)理數(shù)的判定提供了一種可行性的方法，并且容易使學(xué)生理解和掌握。一題多解，通過(guò)方法的比較，提高學(xué)生邏輯思維能力和探究式學(xué)習(xí)的能力，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

本文所研究的整系數(shù)多項(xiàng)式都為一元整系數(shù)多項(xiàng)式。為了判斷一個(gè)實(shí)數(shù)是否為無(wú)理數(shù)，下面首先給出兩個(gè)一元整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的相關(guān)定理。

2無(wú)理數(shù)判定

在實(shí)數(shù)中不是有理數(shù)，就是無(wú)理數(shù)，即無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。然而，運(yùn)用無(wú)理數(shù)的定義來(lái)判定一個(gè)實(shí)數(shù)是否為無(wú)理數(shù)比較困難，因此可以借助多項(xiàng)式有理根的理論來(lái)判定。首先，構(gòu)造一個(gè)一元整系數(shù)多項(xiàng)式，使得所判斷的實(shí)數(shù)是其的一個(gè)根，進(jìn)而運(yùn)用一元整系數(shù)多項(xiàng)式有理根判別法證明該實(shí)數(shù)不是所構(gòu)造的一元整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根，因此該實(shí)數(shù)只能是所構(gòu)造的一元整系數(shù)多項(xiàng)式的無(wú)理根，即該數(shù)為無(wú)理數(shù)。

基于參考文獻(xiàn)[4]和[5]的研究結(jié)果，下面通過(guò)具體的案例分析，首先給出根式無(wú)理數(shù)的判定方法。

例1：證明√2是無(wú)理數(shù)。

一個(gè)根式無(wú)理數(shù)可以運(yùn)用數(shù)論理論、一元整系數(shù)多項(xiàng)式有理根存在性定理和Eisenstein判別法三種方法進(jìn)行判斷。然而，對(duì)于一個(gè)含有兩個(gè)及以上的根式實(shí)數(shù)，運(yùn)用定義法和數(shù)論理論法進(jìn)行判斷，隨著根式的個(gè)數(shù)越多，判定就越困難，因此可以運(yùn)用一元整系數(shù)多項(xiàng)式有理根判別法進(jìn)行判斷，下面給出具體的例子。

綜上可得，判斷一個(gè)根式實(shí)數(shù)是否為無(wú)理數(shù)，可以運(yùn)用數(shù)論理論或整系數(shù)多項(xiàng)式有理根判別法，且這兩種方法相差不大。判斷含有兩個(gè)及以上根式的實(shí)數(shù)是否為無(wú)理數(shù)時(shí)，運(yùn)用數(shù)論的方法證明過(guò)程比較復(fù)雜，而運(yùn)用一元整系數(shù)多項(xiàng)式有理根判別法比較容易。因此，對(duì)于判斷根式實(shí)數(shù)是否為無(wú)理數(shù)時(shí)，更傾向于選擇較簡(jiǎn)單的一元整系數(shù)多項(xiàng)式有理根判別法。

接下來(lái)，給出自然對(duì)數(shù)無(wú)理數(shù)的判斷方法。

例4：證明ln2是無(wú)理數(shù)。

該問(wèn)題來(lái)源于經(jīng)典的三等分角尺規(guī)作圖難題，因此一元整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的理論不僅可以解決實(shí)數(shù)的有理性和無(wú)理性問(wèn)題，也可以用來(lái)解決幾何上的尺規(guī)作圖問(wèn)題。三角函數(shù)無(wú)理數(shù)的判斷中，主要運(yùn)用倍角公式或者半角公式，將三角函數(shù)無(wú)理數(shù)的證明轉(zhuǎn)化為以該三角函數(shù)為根的一元整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的判定，為三角函數(shù)無(wú)理數(shù)的判定提供了一種可行性的方法。

3總結(jié)

在根式無(wú)理數(shù)、對(duì)數(shù)無(wú)理數(shù)和三角函數(shù)無(wú)理數(shù)的判斷中，運(yùn)用數(shù)論理論的方法往往需要很多技巧。然而，運(yùn)用一元整系數(shù)多項(xiàng)式有理根判別法進(jìn)行判斷，只須構(gòu)造一個(gè)以所判斷的實(shí)數(shù)為根的一元整系數(shù)多項(xiàng)式，再判斷這個(gè)實(shí)數(shù)是否為所構(gòu)造的一元整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根即可。因此，在根式、對(duì)數(shù)和三角函數(shù)的有理性和無(wú)理性判斷中，使用一元整系數(shù)多項(xiàng)式判別法更為簡(jiǎn)便。通過(guò)一題多解、方法對(duì)比，讓學(xué)生更容易理解和掌握該類(lèi)問(wèn)題，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

作者簡(jiǎn)介：趙汝菊（1990— ），女，漢族，廣西欽州人，博士，講師，主要從事廣義逆理論、Hopf代數(shù)和矩陣方程理論研究，以及高等代數(shù)和高等數(shù)學(xué)等學(xué)科教學(xué)。