立足數(shù)學(xué)文化 培養(yǎng)科學(xué)精神

王偉

［摘 要］課堂教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)精神、提升學(xué)生核心素養(yǎng)的主要途徑?！皩?shí)數(shù)”是初中數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)系的第二次擴(kuò)充，數(shù)系的擴(kuò)充蘊(yùn)含著豐富的文化元素，有著厚重的文化積淀。在溯源過(guò)程中，學(xué)生感受到數(shù)系的擴(kuò)充在數(shù)學(xué)發(fā)展中的重要作用，體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展，從而培育數(shù)學(xué)科學(xué)精神，提升核心素養(yǎng)，彰顯數(shù)學(xué)文化的育人價(jià)值。

［關(guān)鍵詞］數(shù)學(xué)文化；科學(xué)精神；實(shí)數(shù)

［中圖分類(lèi)號(hào)］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號(hào)］? ? 1674-6058（2023）05-0007-04

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中提出：“數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類(lèi)文明的重要組成部分?！薄皩?shí)數(shù)”作為初中代數(shù)的核心概念之一，是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)方程、函數(shù)等內(nèi)容的基礎(chǔ)。教師在教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生感受到數(shù)系的擴(kuò)充在數(shù)學(xué)發(fā)展中的重要作用，幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)家的思考過(guò)程，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，體會(huì)數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神，形成“數(shù)學(xué)式”的理性思維，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)求真、實(shí)事求是、鍥而不舍的科學(xué)精神，自覺(jué)接受數(shù)學(xué)文化的熏陶，感受數(shù)學(xué)的無(wú)窮魅力。本文以人教版數(shù)學(xué)教材七年級(jí)下冊(cè)第六章第3節(jié)“實(shí)數(shù)”的教學(xué)為例，談?wù)勗跀?shù)學(xué)教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)科學(xué)精神，提升核心素養(yǎng)。

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

（一）內(nèi)容

無(wú)理數(shù)與實(shí)數(shù)的概念；實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

（二）內(nèi)容解析

“實(shí)數(shù)”一課在學(xué)生學(xué)習(xí)了有理數(shù)、平方根、立方根的基礎(chǔ)上引進(jìn)無(wú)理數(shù)的概念，并將數(shù)的范圍從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)。本節(jié)課既是二次根式、一元二次方程、銳角三角函數(shù)等后續(xù)知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，又是高中階段學(xué)習(xí)函數(shù)、不等式等知識(shí)的基礎(chǔ)。

學(xué)生通過(guò)本章前兩節(jié)的學(xué)習(xí)，已經(jīng)掌握了正有理數(shù)的算術(shù)平方根與無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的關(guān)系意義，即絕大多數(shù)的正有理數(shù)的算術(shù)平方根屬于無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。對(duì)此，教師可首先整合有限小數(shù)、無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，再與有理數(shù)進(jìn)行對(duì)比，探討有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的關(guān)系；同時(shí)在無(wú)理數(shù)的基礎(chǔ)上引入實(shí)數(shù)，進(jìn)而擴(kuò)充數(shù)的范圍，即有理數(shù)→實(shí)數(shù)；然后采用類(lèi)比法，將有理數(shù)表示為數(shù)軸上的點(diǎn)，并指出實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的每個(gè)點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系?；谝陨戏治觯竟?jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生了解無(wú)理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念，知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

（一）目標(biāo)

（1）了解無(wú)理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念。

（2）知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，初步體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)、逐步逼近、轉(zhuǎn)化、由特殊到一般等數(shù)學(xué)思想。

（二）目標(biāo)解析

達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是學(xué)生會(huì)從一些數(shù)中辨析出哪些是有理數(shù)、哪些是無(wú)理數(shù)，并能自己舉例說(shuō)明。

達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是學(xué)生能在數(shù)軸上找到[π]、[2]這樣的無(wú)理數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)；知道實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

無(wú)理數(shù)是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來(lái)的一種數(shù)，具有極高的抽象性。而初中生正處于由感性思維到理性思維的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，對(duì)無(wú)理數(shù)幾乎沒(méi)有任何感性認(rèn)識(shí)，因此認(rèn)識(shí)無(wú)理數(shù)就成了初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)。為了突破此難點(diǎn)，就要從學(xué)生熟悉的有理數(shù)入手，通過(guò)厘清有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別，引入無(wú)理數(shù)的概念。

基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是對(duì)無(wú)理數(shù)的認(rèn)識(shí)。

四、教學(xué)支持條件分析

學(xué)生可以自主動(dòng)手折疊圖形，借助圖形尋找數(shù)軸上的點(diǎn)，教師可借助希沃助手投屏學(xué)生的活動(dòng)場(chǎng)景。

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）展示數(shù)學(xué)史——無(wú)理數(shù)的誕生，引入課題

1. 《九章算術(shù)》中的開(kāi)方術(shù)

問(wèn)題：今有積五萬(wàn)五千二百二十五步，問(wèn)為方幾何？（譯文：現(xiàn)有正方形田，面積為55225平方步，那么其邊長(zhǎng)是多少？）

教師播放視頻展示《九章算術(shù)》中的開(kāi)方術(shù)求邊長(zhǎng)，其中“若開(kāi)之不盡者，為不可開(kāi)，當(dāng)以面命之”，“面”是指開(kāi)方開(kāi)不盡的無(wú)理數(shù)，對(duì)一個(gè)正數(shù)使用開(kāi)方術(shù)時(shí)“開(kāi)方開(kāi)不盡”將得到無(wú)理數(shù)，這樣不僅突出無(wú)理數(shù)獨(dú)有的特征，而且還提供得到無(wú)理數(shù)的常用辦法。讓學(xué)生了解《九章算術(shù)》中的開(kāi)方術(shù)和現(xiàn)代數(shù)學(xué)開(kāi)方的方法在數(shù)學(xué)思想方面是緊密相連的，后者在符號(hào)和形式上都有變化。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)《九章算術(shù)》中的開(kāi)方術(shù)讓學(xué)生感受到我國(guó)古代數(shù)學(xué)在世界上處于遙遙領(lǐng)先的地位，幫助學(xué)生了解和感悟中華民族獨(dú)特的數(shù)學(xué)智慧，提高學(xué)生的文化自信，增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感。

2.數(shù)學(xué)史大事件——[2]的由來(lái)

學(xué)生查閱資料，教師課前做好PPT講解，介紹第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的基本觀點(diǎn)為“萬(wàn)物皆數(shù)”，即一切量都可以用整數(shù)或整數(shù)之比來(lái)表示，即一切量都可以用有理數(shù)來(lái)表示，畢達(dá)哥拉斯的弟子希伯索斯發(fā)現(xiàn)正方形的對(duì)角線(xiàn)與其一邊的長(zhǎng)度之比不能用兩個(gè)整數(shù)的比表示，[2]也無(wú)法用分?jǐn)?shù)表示（不可比數(shù)），對(duì)此有理數(shù)不夠用了，于是引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體悟這種敢于質(zhì)疑權(quán)威的精神，同時(shí)認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)自身發(fā)展的重要性；讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的生成不是臆想出來(lái)的，它源于生活，又高于生活，最終轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力作用于生活，從而引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)。

（二）復(fù)習(xí)提升，溫故知新

問(wèn)題1：能否舉例我們學(xué)過(guò)哪些不同類(lèi)型的數(shù)？

學(xué)生可能會(huì)提出有理數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)等，教師指出需要列舉不同類(lèi)型的數(shù)。在教師的引導(dǎo)下學(xué)生舉出不同類(lèi)型的數(shù)，教師將學(xué)生列舉的數(shù)按正有理數(shù)、0、負(fù)有理數(shù)以及正無(wú)理數(shù)和負(fù)無(wú)理數(shù)的順序整理排序，具體如下。

思考：你能將這些數(shù)都寫(xiě)成小數(shù)的形式嗎？你還有什么發(fā)現(xiàn)？

教師可根據(jù)學(xué)生的課堂生成情況做進(jìn)一步引導(dǎo)，將整數(shù)視為小數(shù)點(diǎn)后是0的小數(shù)，那么任何一個(gè)數(shù)都可以把它寫(xiě)成有限小數(shù)或是無(wú)限循環(huán)小數(shù)的形式；反過(guò)來(lái)，任何有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以當(dāng)作是同一類(lèi)數(shù)，即有理數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生舉例已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)，一方面能幫助學(xué)生復(fù)習(xí)舊知識(shí)，另一方面能通過(guò)探究活動(dòng)驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考有理數(shù)都可以寫(xiě)成有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)的形式，為本節(jié)課數(shù)的分類(lèi)做好鋪墊。

思考：依據(jù)學(xué)生列舉的數(shù)，類(lèi)似[2]、[π]、0.101001…（有規(guī)律但不循環(huán)）、[-3]、[-53]，它們是什么小數(shù)？

學(xué)生基于問(wèn)題1的鋪墊容易回答“無(wú)限不循環(huán)小數(shù)”，教師順勢(shì)引出無(wú)理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念，由學(xué)生列舉的數(shù)自然生成實(shí)數(shù)的第一種分類(lèi)，具體如下。

[實(shí)數(shù)有理數(shù)（有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)）正有理數(shù)0負(fù)有理數(shù)無(wú)理數(shù)（無(wú)限不循環(huán)小數(shù)）正無(wú)理數(shù)負(fù)無(wú)理數(shù)]

問(wèn)題2：你能否類(lèi)比正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)、正無(wú)理數(shù)、負(fù)無(wú)理數(shù)，引出實(shí)數(shù)分類(lèi)？

師生互動(dòng)，在類(lèi)比有理數(shù)分類(lèi)的基礎(chǔ)上，共同討論實(shí)數(shù)的分類(lèi)原則，總結(jié)實(shí)數(shù)的分類(lèi)，具體如下。

[實(shí)數(shù)正實(shí)數(shù)正有理數(shù)正無(wú)理數(shù)0負(fù)實(shí)數(shù)負(fù)有理數(shù)負(fù)無(wú)理數(shù)]

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)組內(nèi)討論，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步把握無(wú)理數(shù)和實(shí)數(shù)的分類(lèi)及整體性。

（三）合作探究，活動(dòng)領(lǐng)悟

探究1：數(shù)軸上的點(diǎn)可以表示數(shù)，你能在數(shù)軸上找到表示[π]的點(diǎn)嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生探究直徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓，從原點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸向右滾動(dòng)一周到達(dá)點(diǎn)B， 點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)就是[π]（如圖1）。

教師參與并巡堂指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)際操作，借助希沃助手投屏，讓學(xué)生理解無(wú)理數(shù)[π]可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來(lái)，-[π]也一樣。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)在數(shù)軸上滾動(dòng)直徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓，讓學(xué)生感受無(wú)理數(shù)也可以在數(shù)軸上表示。

探究2：借助邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形在數(shù)軸上找到表示[2]的數(shù)。

學(xué)生發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為[2]，將正方形對(duì)角線(xiàn)的一個(gè)頂點(diǎn)和原點(diǎn)重合，借助旋轉(zhuǎn)或直接尺規(guī)作圖的辦法，可知正方形對(duì)角線(xiàn)的另外一個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)為[2]，教師直接給出“實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的”這一結(jié)論。實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，即每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示；反過(guò)來(lái)，數(shù)軸上的每個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)表示一個(gè)實(shí)數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)具體操作，讓學(xué)生體會(huì)到無(wú)理數(shù)也可以在數(shù)軸上表示。

（四）師生互動(dòng)，變式深化

1.把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi)。

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)實(shí)數(shù)的概念及分類(lèi)、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)進(jìn)行考查，檢測(cè)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握程度。

（五）嘗試練習(xí)，鞏固提升

下列說(shuō)法正確的是（）。

（1）不存在絕對(duì)值最小的實(shí)數(shù)；（2）不存在與本身的算術(shù)平方根相等的數(shù)；（3）比正實(shí)數(shù)小的數(shù)都為負(fù)實(shí)數(shù)；（4）非負(fù)實(shí)數(shù)中最小的數(shù)為0。

A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)實(shí)數(shù)的概念及分類(lèi)進(jìn)行更深層次的考查，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的理解。

（六）適時(shí)小結(jié)，興趣延伸

教師：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？試從知識(shí)、思想方法等方面談一談。

知識(shí)方面：無(wú)理數(shù)與實(shí)數(shù)的概念及其分類(lèi)；實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；對(duì)于數(shù)軸上的任意兩個(gè)點(diǎn)，右邊的點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大。

思想方面：類(lèi)比思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)思想等。

課后作業(yè)：

1.習(xí)題6.3和復(fù)習(xí)鞏固1、2、7題。

2.復(fù)習(xí)題6第6題。

3.利用如圖2所示的4×4方格，你能畫(huà)出幾種面積不同的正方形？哪幾種正方形的邊長(zhǎng)是無(wú)理數(shù)？（一張4×4方格中僅畫(huà)一種正方形）

六、教學(xué)反思

（一）引領(lǐng)新思考，導(dǎo)入課題內(nèi)容

教師通過(guò)讓學(xué)生嘗試列舉所學(xué)過(guò)的不同類(lèi)型的數(shù)，提前設(shè)定學(xué)生可能會(huì)提出有理數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)等。教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)列舉的數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，再思考能否將這些數(shù)都寫(xiě)成小數(shù)的形式。教師根據(jù)課堂生成情況進(jìn)一步引導(dǎo)，可以將整數(shù)看成小數(shù)點(diǎn)后是0的小數(shù)形式，那么任何一個(gè)數(shù)都可以把它寫(xiě)成有限小數(shù)或是無(wú)限循環(huán)小數(shù)的形式。反過(guò)來(lái)，任何有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以當(dāng)作是相同種類(lèi)的數(shù)，即有理數(shù)。基于學(xué)生對(duì)問(wèn)題的回答，教師順勢(shì)引出無(wú)理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念，由學(xué)生列舉的數(shù)自然生成實(shí)數(shù)的第一種分類(lèi)，讓學(xué)生帶著問(wèn)題深入思考，體會(huì)學(xué)習(xí)本課知識(shí)的必要性。

（二）關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)史，培養(yǎng)質(zhì)疑意識(shí)

數(shù)學(xué)史不僅蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展脈絡(luò)，而且揭示了數(shù)學(xué)思想方法的豐富含義。劉徽在《九章算術(shù)注》中指出以面命之的方法（如何求無(wú)理數(shù)），即用有理數(shù)逼近無(wú)理數(shù)。學(xué)生通過(guò)觀看視頻，了解中國(guó)古代數(shù)學(xué)家在代數(shù)方面的研究，感受到我國(guó)古代數(shù)學(xué)在世界上處于遙遙領(lǐng)先的地位，感悟中華民族獨(dú)特的數(shù)學(xué)智慧，從而提高文化自信，增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感。

再者，教師介紹畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的基本觀點(diǎn)——“萬(wàn)物皆數(shù)”，即一切量都是可以用整數(shù)或整數(shù)之比來(lái)表示的（一切量都可以用有理數(shù)來(lái)表示），而希伯索斯發(fā)現(xiàn)[2]無(wú)法用分?jǐn)?shù)表示，有理數(shù)不夠用，由此引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中感悟這種敢于質(zhì)疑權(quán)威的科學(xué)精神，感受文化的熏陶，從而叩問(wèn)數(shù)學(xué)之真、觸摸數(shù)學(xué)靈魂。

（三）活動(dòng)再領(lǐng)悟，發(fā)展理性思維

無(wú)理數(shù)是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來(lái)的數(shù)，教師在教學(xué)中直接給出無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)，[2]為什么是個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)？無(wú)限不循環(huán)是怎么樣得到的？這需要用到集合、對(duì)應(yīng)、極限等知識(shí)，七年級(jí)還沒(méi)有涉及這些知識(shí)，學(xué)生只能進(jìn)行感性認(rèn)識(shí)。為此，教師帶領(lǐng)學(xué)生思考、操作，借助旋轉(zhuǎn)或直接尺規(guī)作圖的辦法，在數(shù)軸上找到表示[π]、[2]的點(diǎn)，讓學(xué)生直觀地理解無(wú)理數(shù)也可以在數(shù)軸上表示。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2022年版［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］? 劉祖希，陳飛.HPM與MM教育方式的耦合初探：兼談當(dāng)代中國(guó)數(shù)學(xué)教育流派［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2020（11）：31-34，49.

［3］? 李雪嬌. 滲透數(shù)學(xué)文化 彰顯數(shù)學(xué)魅力：以“歸納——猜想——論證”教學(xué)為例［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2020 （11）：26-29.

［4］? 張煒. 呼喚真實(shí)的教學(xué)情境［J］.湖南教育（B版），2022（7）： 68.

［5］? 羅增儒. “實(shí)數(shù)”課例的現(xiàn)場(chǎng)研修［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考， 2022 （32）： 21-27.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）