探究圖形語言在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中的作用

李武

【摘要】數(shù)學(xué)抽象性已經(jīng)成為了高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種阻礙，所以如何在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生將抽象問題形象化就成為了教師數(shù)學(xué)教學(xué)研究的主要研究內(nèi)容。在教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生作圖能力，注重作圖的準確性和完整性，還要培養(yǎng)學(xué)生從題目抽象文字中挖掘其所隱藏的幾何意義的能力等。

【關(guān)鍵詞】圖形語言；高中數(shù)學(xué)；培養(yǎng)動態(tài)思維能力

數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維看世界。同時從公平公正的人才選拔角度來說，數(shù)學(xué)教學(xué)目的也重在培養(yǎng)學(xué)生解題能力，所以提高數(shù)學(xué)的解題能力就成為了教學(xué)重要環(huán)節(jié)。而數(shù)學(xué)的解題過程其實就是數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化過程，所以培養(yǎng)學(xué)生圖形語言具有現(xiàn)實意義。

數(shù)學(xué)語言不是簡單地描述數(shù)學(xué)知識，而是數(shù)學(xué)思維的一種載體和教學(xué)過程的交流工具。在教學(xué)活動中，很多抽象的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)需要借助恰當?shù)臄?shù)學(xué)語言來呈現(xiàn)，課堂教學(xué)也需要借助數(shù)學(xué)語言來交流互動。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)其實就是在教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)語言之間的演變、轉(zhuǎn)化和應(yīng)用的思維形成過程。

數(shù)學(xué)圖形語言可以將數(shù)學(xué)研究對象、性質(zhì)、思想進行直觀形象的描述。圖形語言包括幾何學(xué)中的各種平面和立體圖形模型；包括概率學(xué)中的頻率分布直方圖、分布列表等，以及初等函數(shù)、三角函數(shù)這樣函數(shù)的圖像?？梢哉f這些內(nèi)容涉及的圖形語言的本質(zhì)就是數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化和應(yīng)用，即在理解對象概念、性質(zhì)的基礎(chǔ)上，按照特定的法則對數(shù)學(xué)語言進行加工，最后以形象直觀的圖式呈現(xiàn)。

一、圖形語言的教學(xué)價值

培養(yǎng)學(xué)生通過圖形思考數(shù)學(xué)問題符合高中數(shù)學(xué)直觀想象的核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)圖形可以將數(shù)學(xué)研究對象、性質(zhì)、思想進行直觀形象的描述，有利于學(xué)生克服對數(shù)學(xué)的恐懼、加深對知識的記憶，提高解題能力等，所以圖形語言具有重要的現(xiàn)實意義。

1.將抽象概念形象化激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。筆者通過教學(xué)實踐發(fā)現(xiàn)，高中生之所以對數(shù)學(xué)產(chǎn)生恐懼和排斥的心理，主要原因是因為數(shù)學(xué)概念性質(zhì)過于抽象。而中學(xué)生的思維還只處于想象思維向抽象思維過渡階段，對于抽象概念很難直接通過自然語言去理解，而如果能借助圖形語言將抽象概念形象化可以在很大程度上讓學(xué)生很容易就從本質(zhì)上掌握數(shù)學(xué)抽象概念，降低學(xué)生對數(shù)學(xué)的恐懼和排斥，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

如圖1，在“集合”這一小節(jié)中，我們可以利用韋恩圖或者數(shù)軸法的圖式語言來教學(xué)，運用韋恩圖很顯然使得交集、并集的抽象概念直觀化，有利于幫助學(xué)生對概念進行理解和掌握。通過圖式語言（圖1）學(xué)生可以形象地發(fā)現(xiàn)補集、交集的準確概念，不僅降低了難度，對學(xué)生記憶也有了形象直觀的幫助，在將來的解題過程中也能避免對概念的模糊記憶而做錯題。

在講“函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性”等性質(zhì)時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過觀察直觀的圖像入手，由淺入深，由具體到抽象層層遞進展開。再引導(dǎo)學(xué)生通過圖像語言得到文字語言或符號語言，這在一定程度上大大地降低了學(xué)習(xí)的難度，有利于幫助學(xué)生理解和掌握。如圖2，學(xué)生很容易就可以從圖像中得到單調(diào)函數(shù)定義的自然語言：在x的某一范圍內(nèi)函數(shù)值y隨著x的增大而增大，或者在x的某一范圍內(nèi)函數(shù)值y隨著x的減小而減小。

學(xué)生通過圖形觀察歸納共同性質(zhì)從而得出數(shù)學(xué)概念，符合高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)要求，也符合學(xué)生思維的發(fā)展規(guī)律。這種通過圖像歸納概念的方法不僅讓學(xué)生掌握了概念，而且也讓學(xué)生簡單明了地在視覺上感受了數(shù)學(xué)直觀的美感。

2.促進形象記憶。圖形語言是種形象語言，它不但可以像文字語言那樣具有記錄的作用，而且相對于文字語言而言圖形語言更直觀和形象，有利于培養(yǎng)學(xué)生形成直觀記憶，當然也更符合新課程改革中的數(shù)學(xué)思想，有利于學(xué)生探索解題思路，符合課程改革所提倡的直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。通過圖形來記憶數(shù)學(xué)的相關(guān)知識不僅在一定程度上降低了數(shù)學(xué)本身的抽象性，還在很大程度上提高學(xué)生記憶數(shù)學(xué)重要知識的效率。

在講解“指數(shù)函數(shù)性質(zhì)”這節(jié)課時，通過圖3學(xué)生會很容易發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)的共同特征，而老師也能輕松引導(dǎo)學(xué)生通過觀察圖像歸納指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。從圖3中學(xué)生能很快得知當a＞0，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，函數(shù)恒過（0，1）點，以及函數(shù)非奇非偶。當a＜0，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，函數(shù)恒過（0，1）點，以及函數(shù)非奇非偶。這個圖直觀形象，對于學(xué)生而言更便于觀察與聯(lián)想，讓學(xué)生很輕松就能記住指數(shù)函數(shù)的基本性，同時因為圖像形象直觀的特點促進學(xué)生深刻記憶，這是其他數(shù)學(xué)語言所沒有的優(yōu)越性。

3.提高解題能力。數(shù)學(xué)解題本質(zhì)就是邏輯推理，就是要在題目的抽象文字中篩選出研究對象，并尋找對象間的邏輯關(guān)系。對學(xué)生來講尋找題目的邏輯關(guān)系并不是很容易，因為大部分學(xué)生很難直接通過題目的語言去理解題目意思，但是如果能培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)題目特點用圖形語言重新表達題目的意思，那么往往就能降低難度，獲取解題的思路。所以，從語言轉(zhuǎn)換的視角研究提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，不僅有利于核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，還能讓他們學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界。

例1：解決零點問題。

（1）函數(shù)y=log2∣x∣-2x零點有多少個？

從題目中學(xué)生要能從求零點問題的幾種等價關(guān)系出發(fā)分析題干信息：①題目含義相當于求函數(shù)y=log2∣x∣-2x跟x軸的交點到底有多少個；②題目含義相當于求y=log2∣x∣-2x=0根的個數(shù)；③題

目含義相當于求方程組的解，即y=log2∣x∣與y=2x交點個數(shù)。

對于這三種情況來說，第①種情況顯然不是初等函數(shù)的簡單變化，所以如果不借助多媒體軟件很難直接作圖；第②種情況是超越方程，求解這類方程已經(jīng)超出了中學(xué)生的能力水平；第③種情況中顯然y=log2∣x∣和y=2x都是可以用圖像（圖4）表示的，所以問題就轉(zhuǎn)化成為了用圖像語言來解決零點問題。

4.培養(yǎng)動態(tài)思維能力。數(shù)學(xué)其他語言向圖形語言的轉(zhuǎn)變本質(zhì)上就是學(xué)生思維從抽象到直觀，從靜態(tài)到動態(tài)的轉(zhuǎn)變。特別是在求參量問題上，如果能讓學(xué)生根據(jù)題意構(gòu)造圖形，則在很大程度上就能降低求參量問題這種題型的解題難度，使思維變成可操作的數(shù)學(xué)演算，使思路從復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡潔，讓思維變得快捷，思維由靜態(tài)向動態(tài)化轉(zhuǎn)變，思維活動清晰明了。

例2：已知的解集合為（4，m），求

a、m的值。分析：由題意可以將代數(shù)思想轉(zhuǎn)化為幾何思想，構(gòu)造y2=x（y≥0）及y=ax+，根據(jù)題目發(fā)

現(xiàn)，當且僅當x∈（4，m）時，必須要求y=ax+在y2=x（y≥0）的下方（如圖5），由圖可知A（4，2），B（m，）落在y=ax+上可以得到：a=，m=36。

二、加強圖形語言教學(xué)的培養(yǎng)途徑

上面我們分析了圖形語言在教學(xué)中具有實用的現(xiàn)實意義，所以如何培養(yǎng)學(xué)生作好圖就成為了我們在教學(xué)中要解決的問題。筆者在多年的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生作圖隨意，特別是一些涉及到平移和對稱變化后的題目學(xué)生在作圖時往往過于隨意而導(dǎo)致最后出現(xiàn)錯誤，當然造成這種錯誤一定程度上是由于學(xué)生粗心，但同時也反映出學(xué)生對數(shù)學(xué)基本知識概念掌握不扎實，所以我們在引導(dǎo)學(xué)生作圖時既要要求圖像的準確完整，也要注重學(xué)生對數(shù)學(xué)定義定理的理解和掌握。

1.重視學(xué)生作圖的準確性和完整性。圖形語言雖然不能作為解題的步驟，但它為學(xué)生尋找解題方法和技巧提供了方向。可是在教學(xué)中我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)學(xué)生因為作圖時候過于隨意最后出現(xiàn)了錯誤，所以在日常的作圖訓(xùn)練中一定要重視學(xué)生作圖的準確性和完整性。

例3：如圖6，已知f（x）=∣2x-2∣-b有兩個零點，則實數(shù)b的取值范圍是多少？

分析：這個題目是零點問題，筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生雖然能把大概的圖形畫出來，但由于畫得不準確，部分學(xué)生在畫圖過程中忽略了圖形不能穿過y=-2，所以在x＜1關(guān)于x對稱以后在x＜1部分的圖形高度就超過了y=2的圖形高度，得到的結(jié)果是b∈（0，+∞）。通過這個題目可以看出學(xué)生在畫圖時容易因為自己的不嚴謹使得畫出的圖形不夠準確導(dǎo)致解題錯誤，所以在加強圖形語言教學(xué)的培養(yǎng)中要重視學(xué)生作圖的準確性和完整性。

2.培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題中隱藏的幾何意義。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)注重的是邏輯思維的轉(zhuǎn)換，而圖形語言就是將抽象思維向形象思維轉(zhuǎn)變的載體，培養(yǎng)學(xué)生這種思維轉(zhuǎn)變可以通過題目進行引導(dǎo)和解讀，比如有些題目表面上是代數(shù)問題，可是其中卻隱藏了豐富的幾何意義，而引導(dǎo)學(xué)生挖掘其中的幾何意義可以在一定程度上簡化解題的過程，豐富解題技巧。

例4：在△ABC中，已知AB=，BC=2。求角C的取值范圍。

常規(guī)解法1：在△ABC中，由余弦定理得AB2=

AC2+BC2-2AC·BCCOSC，所以3=AC2+4-4AC·COSC，即AC2-4AC·COSC+1=0。

由題，關(guān)于AC的一元二次方程應(yīng)該有解，令△ABC=（4COSC）2-4≥0得COSC≥，或COSC≤-（舍去，

因為AB＜AC），所以，0＜C≤，即角C的取值范圍是（0，]。

幾何意義解法2：如圖7，點A處在以點B為圓心以線段AB為半徑的圓上，且不與CB處在同一條直線上。顯然當AC與AB垂直時可得最大角∠C，此時sinC==C=60o，所以0＜C≤。

3.提高學(xué)生的構(gòu)圖能力。在某些數(shù)學(xué)題目中，如果條件和結(jié)論之間存在著某些特定的幾何意義，那么我們可以引導(dǎo)學(xué)生將問題轉(zhuǎn)化為幾何問題并構(gòu)造出恰當?shù)膸缀螆D形，從而使得問題簡單化、形象化，做到化難為易。

例5：如圖8，計算19981998×19971997-19981997×19971998這個代數(shù)運算其實就是兩個矩形面積的差，即SABHG-SEDGF。

從這個簡單例子中我們發(fā)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)圖能力對有效促進學(xué)生掌握圖形語言，增強數(shù)學(xué)思維具有重要的意義。

4.分層培養(yǎng)學(xué)生作圖。如何培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力已經(jīng)成為我們教學(xué)中要解決的重要問題。在教學(xué)上我們要因材施教，根據(jù)不同的學(xué)生設(shè)置不同的問題，從而提高課堂質(zhì)量。

課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生作圖能力可以是老師示范引導(dǎo)，亦可以是學(xué)生自己動手。不論是采用什么方式，目的都是讓學(xué)生在課堂上掌握準確的畫圖方式，哪怕是草圖也不能出現(xiàn)原則性錯誤或者概念錯誤，比如圖像的對稱平移要能準確刻畫。雖然一節(jié)課的內(nèi)容和教學(xué)要求都是統(tǒng)一的，但作為教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的能力差異和認知水平差異，對不同層次的學(xué)生進行有針對性的教學(xué)。教師在培養(yǎng)學(xué)生作圖能力時，需充分考慮學(xué)生的知識掌握水平來將問題按難、適中和容易三個層次進行設(shè)計。先是站在激發(fā)學(xué)生興趣的角度設(shè)計問題，引導(dǎo)學(xué)生層層深入，幫助學(xué)生理清基本概念性質(zhì)，再適時、適量地設(shè)計出若干問題，讓不同層次的學(xué)生解答。其中，針對性強、鞏固知識類的常見的圖形提問，以基礎(chǔ)差的學(xué)生為主，讓全體學(xué)生回憶所學(xué)過的知識，提醒學(xué)生加強理解和記憶重點知識；比較復(fù)雜的不常見的圖形提問，以優(yōu)生回答為主，一方面可以拓展優(yōu)生的能力，另一方面讓優(yōu)生帶動其他學(xué)生拓寬思路。也可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)內(nèi)容相互提問，會讓課堂更具趣味性與拓展性。只有在課堂中分層設(shè)置問題，靈活地運用提問技能，才有助于把課堂真正構(gòu)建為師生互動的課堂，調(diào)動學(xué)生的積極性從而使其更加牢固地掌握數(shù)學(xué)基本知識，為提高數(shù)學(xué)作圖能力奠定堅實基礎(chǔ)。

總之，圖形語言最大的特點就是直觀性強，它可以讓抽象思維具體化、繁瑣問題簡潔化，幫助學(xué)生分析題目、記憶知識點。此外，雖然圖式語言不能作為解題或證明的依據(jù)，但它很多時候能給我們啟發(fā)，而且我們大多數(shù)時候都要結(jié)合圖像、圖表等來分析題目。正如我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚所說：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分開萬事非?！?/p>

【參考文獻】

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（基金項目：本文系海南省教育科學(xué)規(guī)劃2021年度課題“基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)三種語言轉(zhuǎn)化研究”的研究成果，課題編號：QJH202110070）