數(shù)學(xué)巡禮

將目光從我們的身邊收回，正視數(shù)學(xué)王國(guó)的大門。踏入這個(gè)國(guó)度時(shí)，我們總是早早扎入了紛繁的數(shù)字里，而忽略了數(shù)學(xué)史的存在（對(duì)了，數(shù)學(xué)史還是一個(gè)專業(yè)呢）。它告訴我們，數(shù)學(xué)從哪里來(lái)。

當(dāng)然，波瀾壯闊的數(shù)學(xué)史無(wú)法在小小的雜志上悉數(shù)展開(kāi)。接下來(lái)，就由來(lái)自中國(guó)科學(xué)院自然科學(xué)史研究所專門研究數(shù)學(xué)史的郭園園老師，帶你領(lǐng)略數(shù)學(xué)史上的一些“高光”時(shí)刻！

《幾何原本》

約在公元前300年，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得寫成了13卷的《原本》。在數(shù)學(xué)中，判斷某一件事情的陳述句叫作“命題”，歐幾里得將其中最重要、最基礎(chǔ)的命題稱為“Elements”（原本）?！对尽分泄灿?65個(gè)命題，數(shù)學(xué)中成千上萬(wàn)的命題都由它們推理而來(lái)。這本書的第一個(gè)漢譯本是1607年由意大利傳教士利瑪竇和我國(guó)的徐光啟合作翻譯的。兩人在書名上加了“幾何”二字，從此“幾何原本”的名稱沿用至今。

《幾何原本》問(wèn)世之前積累下來(lái)的數(shù)學(xué)知識(shí)是零碎的，歐幾里得最大的貢獻(xiàn)在于他巧妙地把這465個(gè)命題排成一個(gè)清晰明確、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)逆湕l。定義、公設(shè)和公理是歐氏幾何這座大廈的根基，利用它們，歐幾里得首先證明了第一個(gè)命題。然后以第一個(gè)命題為基礎(chǔ)，結(jié)合其他定義、公設(shè)和公理，他又證明了第二個(gè)命題。如此循序漸進(jìn)，直到證明所有命題為止。這部巨著是用公理法建立起演繹數(shù)學(xué)體系的最早典范，因此歐幾里得被稱為“幾何學(xué)之父”。《幾何原本》并不完美，直到1899年德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》問(wèn)世，才彌補(bǔ)了其中的一些漏洞。

無(wú)理數(shù)

無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成兩個(gè)整數(shù)之比。無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，最早可以追溯到古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，這個(gè)學(xué)派有一個(gè)重要的數(shù)學(xué)信條——“萬(wàn)物皆數(shù)”。數(shù)，即正整數(shù)。他們認(rèn)為每樣?xùn)|西的長(zhǎng)度都是可度量的。要度量長(zhǎng)度，就需要長(zhǎng)度單位，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派假定這樣的單位總是存在的，一旦找到這樣的單位長(zhǎng)度，它就不可再分。同樣，他們認(rèn)為任何兩條不等長(zhǎng)的線段，總有一條最大公度線段，也就是說(shuō)，任意兩條線段的長(zhǎng)度都可以表示成兩個(gè)正整數(shù)之比。學(xué)派成員希帕索斯通過(guò)嚴(yán)格的邏輯推理發(fā)現(xiàn)，等腰直角三角形的斜邊與其直角邊不存在最大公度線段，即正方形對(duì)角線與其一邊之比不能用兩個(gè)整數(shù)之比表達(dá)，以現(xiàn)在的眼光來(lái)看，相當(dāng)于根號(hào)2∶1不能表示成兩個(gè)正整數(shù)之比。這一發(fā)現(xiàn)迫使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派放棄“萬(wàn)物皆數(shù)”的基本哲學(xué)觀點(diǎn)，產(chǎn)生了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。直到1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來(lái)定義無(wú)理數(shù)，并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了這場(chǎng)危機(jī)。

素?cái)?shù)

數(shù)論是研究整數(shù)性質(zhì)的一門古老數(shù)學(xué)分支。素?cái)?shù)是數(shù)論中的一個(gè)重要概念，《幾何原本》中就已經(jīng)給出了素?cái)?shù)的定義：素?cái)?shù)是只能為一個(gè)單位所量盡者?，F(xiàn)代數(shù)論中的素?cái)?shù)定義是：除1和它本身以外，再無(wú)正整數(shù)約數(shù)的數(shù)稱為素?cái)?shù)，也稱質(zhì)數(shù)。任何大于1的整數(shù)，要么本身是素?cái)?shù)，要么可以寫成一系列素?cái)?shù)的乘積形式?？梢哉f(shuō)，素?cái)?shù)是建筑整數(shù)大廈的基石。

古希臘數(shù)學(xué)家埃拉托塞尼曾給出過(guò)素?cái)?shù)篩選方法：要找到不超過(guò)某個(gè)正整數(shù)Ｎ的素?cái)?shù)，先列出不超過(guò)根號(hào)N的全體素?cái)?shù)：2，3，5，7，…，ｐ（ｐ≤根號(hào)N）。畫去1，留下2，把2的倍數(shù)畫去；再留下3，把3的倍數(shù)畫去；繼續(xù)下去，直到最后留下ｐ，把ｐ的倍數(shù)畫去，剩下的就是全部符合要求的素?cái)?shù)。隨著數(shù)值的增大，素?cái)?shù)之間的“跨度”似乎越來(lái)越大，那么素?cái)?shù)會(huì)不會(huì)有盡頭呢？《幾何原本》命題IX.20證明了“素?cái)?shù)的無(wú)窮性”——預(yù)先給定任意多個(gè)素?cái)?shù)，則有比它們更多的素?cái)?shù)。從素?cái)?shù)出發(fā)，可以提出極難證明的問(wèn)題，例如至今尚未解決的“孿生素?cái)?shù)猜想”“哥德巴赫猜想”等。正是這些問(wèn)題，使得數(shù)學(xué)青春常在。

《九章算術(shù)》

儒家經(jīng)典《周禮》中記載了西周初年貴族子弟要學(xué)習(xí)的“六藝”：禮、樂(lè)、射、御、書、數(shù)。其中，“數(shù)”即“九數(shù)”，是數(shù)學(xué)的9個(gè)分支。西周初年的“九數(shù)”已無(wú)可考。到先秦時(shí)，“九數(shù)”經(jīng)過(guò)發(fā)展形成《九章算術(shù)》，這本書很可能在秦始皇焚書或秦末戰(zhàn)亂時(shí)遭到破壞。后來(lái)，西漢數(shù)學(xué)家張蒼和耿壽昌憑借殘缺的原文，刪補(bǔ)成了現(xiàn)在的《九章算術(shù)》。

書中共含有約90條抽象性公式和算法，246個(gè)應(yīng)用問(wèn)題，按照問(wèn)題類型分為9卷：方田、粟米、衰分、少?gòu)V、商功、均輸、盈不足、方程、勾股。《九章算術(shù)》中的分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算法則、比例和比例分配算法、“盈不足”算法、“開(kāi)方術(shù)”、線性方程組解法、正負(fù)數(shù)加減法則、勾股數(shù)組及部分解勾股形的方法等等，在很長(zhǎng)一段時(shí)間里都處于世界領(lǐng)先地位?？梢哉f(shuō)，《九章算術(shù)》構(gòu)筑了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的基本框架，這個(gè)框架以“九數(shù)”為主體，影響了此后2000年來(lái)的中國(guó)乃至東方數(shù)學(xué)。同時(shí)，《九章算術(shù)》確立了中國(guó)古代數(shù)學(xué)長(zhǎng)于計(jì)算、以機(jī)械化和程序化的算法為中心、理論密切聯(lián)系實(shí)際的風(fēng)格。

九九乘法表

九九乘法表以1—9每?jī)蓴?shù)相乘所編成，共45句，古代從“九九八十一”開(kāi)始，因此稱“九九表”，在我國(guó)春秋時(shí)期已經(jīng)廣泛流傳。2002年，考古人員在湖南省里耶鎮(zhèn)發(fā)現(xiàn)了37000多枚秦代簡(jiǎn)牘，其中九九表從“九九八十一”起到“二二而四”止，只有36句，與今天相比，缺少“一九而九”“一八而八”等9句。同時(shí)，多出了“一一而二”（1+1＝2）、“二半而一”（1/2+1/2＝1 ）、“凡千一百一十三字”（81+72+63+…+4+2+1＝1113）。最早記載45句完整口訣的是成書于西晉的《孫子算經(jīng)》，書中通過(guò)具體的計(jì)算問(wèn)題引出了九九乘法口訣。

中國(guó)傳統(tǒng)的九九表分為“小九九”和“大九九”。里耶秦簡(jiǎn)和《孫子算經(jīng)》中的都是“小九九”?！按缶啪拧奔?—9這9個(gè)數(shù)，每?jī)蓚€(gè)數(shù)相乘所得積的81句口訣。2008年，清華大學(xué)入藏戰(zhàn)國(guó)晚期的2000多枚竹簡(jiǎn)，其中包含一張“大九九”矩形數(shù)表。9世紀(jì)后，阿拉伯人和歐洲人使用從印度傳入的十進(jìn)位值制記數(shù)法，因此在阿拉伯和歐洲數(shù)學(xué)書中，也可以找到類似的九九表。

阿拉伯?dāng)?shù)字

阿拉伯?dāng)?shù)字是十進(jìn)位值制記數(shù)法。十進(jìn)制，指?jìng)€(gè)位數(shù)字從1開(kāi)始增加到9后便達(dá)到個(gè)位的上限，當(dāng)數(shù)字進(jìn)一步增加時(shí)便需要用十位，如此繼續(xù)下去。位值制，指每個(gè)數(shù)碼所表示數(shù)的大小，既取決于它本身的數(shù)值，又取決于它所在的位置。例如數(shù)字1在個(gè)位表示1，在百位表示100。

公元前3世紀(jì)，印度人廣泛使用婆羅米數(shù)字。公元5世紀(jì)，婆羅米數(shù)字已經(jīng)演變?yōu)檩^完善的十進(jìn)位值制記數(shù)法。這些數(shù)字符號(hào)易于書寫和辨別，同時(shí)可以促進(jìn)運(yùn)算更高效。公元8世紀(jì)，它們傳入巴格達(dá)宮廷，很快，從宮廷天文學(xué)家到市場(chǎng)的商販都開(kāi)始使用這種記數(shù)法。12世紀(jì)，斐波那契將其傳入意大利并在歐洲傳播。在此之前，歐洲人使用的是羅馬數(shù)字。15世紀(jì)，表述煩瑣的羅馬數(shù)字及其運(yùn)算方法被阿拉伯?dāng)?shù)字及其運(yùn)算方法取代，并演變成今天的樣子。16世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)字由傳教士傳入我國(guó)，但當(dāng)時(shí)我國(guó)并沒(méi)有接受這些數(shù)字，原因是中國(guó)傳統(tǒng)的漢字?jǐn)?shù)字本質(zhì)上也是十進(jìn)位值制記數(shù)法。19世紀(jì)末，由于大量翻譯外文數(shù)學(xué)書籍的需求，阿拉伯?dāng)?shù)字在我國(guó)逐漸推廣。

代數(shù)學(xué)

盡管在許多早期數(shù)學(xué)文明中，或多或少都出現(xiàn)過(guò)代數(shù)學(xué)的內(nèi)容，但是首次明確提出初等代數(shù)方程思想且產(chǎn)生巨大影響的數(shù)學(xué)著作，是9世紀(jì)初阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子密所著的《還原與對(duì)消之書》（kitāb al-jabr wa-al-muqābala）。書名中的 “al-jabr”意為“還原”，花拉子密將“還原”定義為這樣一種運(yùn)算——將方程一側(cè)一個(gè)減去的量轉(zhuǎn)移到方程另一側(cè)變?yōu)榧由系牧?，例?x+1=2-3x化為8x+1=2，這就是一個(gè)“還原”過(guò)程。書名中的“al-muqābala”的意思是將方程兩側(cè)的同類加上的項(xiàng)消去，例如8x+1=2化為8x=1，這就是一個(gè)“對(duì)消”過(guò)程。后世的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家逐漸用“還原”一詞來(lái)代替“還原與對(duì)消”，并將其慢慢演化為今天方程化簡(jiǎn)中的移項(xiàng)與合并同類項(xiàng)。

《還原與對(duì)消之書》基本確定了后世初等代數(shù)學(xué)中方程化簡(jiǎn)與方程求解這兩條主要的發(fā)展脈絡(luò)，因此花拉子密被稱為“代數(shù)學(xué)之父”。后來(lái)阿拉伯代數(shù)學(xué)傳入歐洲，“還原”（al-jabr）一詞演變?yōu)橛⑽闹械摹按鷶?shù)”（algebra）一詞。西方代數(shù)學(xué)最晚到清初已由傳教士傳入我國(guó)。1853年，傳教士偉烈亞力在與我國(guó)數(shù)學(xué)家李善蘭合作翻譯德·摩根的《代數(shù)學(xué)》時(shí)，首次用漢字“代數(shù)”作為該數(shù)學(xué)分支的代名詞。

圓周率

古代很長(zhǎng)一段時(shí)間里，古巴比倫、古印度、中國(guó)等國(guó)家都將圓周率取值為3，例如我國(guó)成書于公元前1世紀(jì)的《周髀算經(jīng)》中就有“圓徑一而周三”的說(shuō)法。劉徽在《九章算術(shù)注》中創(chuàng)造了新的圓面積計(jì)算方法“割圓術(shù)”：從圓內(nèi)接正六邊形開(kāi)始計(jì)算，依次得到圓內(nèi)接正十二邊形、正二十四邊形……隨著邊數(shù)的增加，多邊形面積與圓的面積越來(lái)越接近。劉徽通過(guò)圓內(nèi)接正一百九十二邊形，得到圓周率的近似值為157/50，相當(dāng)于取值3.14。祖沖之在《綴術(shù)》一書中將圓周率的數(shù)值計(jì)算到3.1415926<π<3.1415927。但《綴術(shù)》已經(jīng)遺失，我們對(duì)祖沖之的算法并不清楚，一般認(rèn)為他可能繼承了劉徽的算法。15世紀(jì)初，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西在《論圓周》中使用了相似的算法，得到π≈3.1415926535897932。完整保存下來(lái)的史料為我們展現(xiàn)了古人高深的智慧。1676 年，牛頓開(kāi)創(chuàng)了用近代數(shù)學(xué)中的解析方法來(lái)求解圓周率的方法，他利用反正弦函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)式在幾分鐘內(nèi)就推算出π的 14 位準(zhǔn)確小數(shù)值。今天，借助計(jì)算機(jī)可以將圓周率的準(zhǔn)確值推算到60萬(wàn)億位。不斷追求卓越是我們與生俱來(lái)的天性，人類在未來(lái)一定會(huì)計(jì)算出更高精度圓周率的值。

小編：2020年起，每年的3月14日被定為“國(guó)際數(shù)學(xué)日”，也叫“π日”，以慶?！皵?shù)學(xué)在我們?nèi)粘Ｉ钪械拿利惻c重要”！