有限功能計(jì)算的組合

陳凱

《紅樓夢(mèng)》中有“弱水三千，我只取一瓢飲”之語(yǔ)?！耙黄帮嫛弊钤缫?jiàn)于《論語(yǔ)》中“一簞食，一瓢飲，在陋巷，人不堪其憂(yōu)，回也不改其樂(lè)”?！叭跛币辉~有不同的含義，但都有飄渺不定的意味，《山海經(jīng)》中有“昆侖之北有水，其力不能勝芥，故名弱水”，蘇軾詩(shī)句中有“蓬萊不可到，弱水三萬(wàn)里”。據(jù)說(shuō)《紅樓夢(mèng)》最早開(kāi)創(chuàng)性地將“取一瓢飲”和用情專(zhuān)一聯(lián)系起來(lái)，之前古人更多將“一瓢飲”與貪念的斷除相聯(lián)系，如有寓言故事說(shuō)，某個(gè)十分口渴之人在面對(duì)一整個(gè)大湖的充沛水量時(shí)卻總是無(wú)法下定主意要喝哪一瓢水。與“取一瓢飲”能遙相呼應(yīng)的，是在計(jì)算模型的構(gòu)造過(guò)程中，能不被紛繁復(fù)雜的諸多現(xiàn)象迷惑，而“專(zhuān)情”一種計(jì)算現(xiàn)象并加以利用的能力。

一個(gè)簡(jiǎn)單的觸碰裝置

想象這樣一個(gè)場(chǎng)景，某人在游戲機(jī)房無(wú)聊閑逛，遇見(jiàn)一個(gè)從未見(jiàn)過(guò)的裝置，裝置上有兩個(gè)畫(huà)著手掌圖案的觸碰面板，裝置左上方和右上方各有兩盞燈。裝置的樣子如圖1所示，這里稱(chēng)之為觸碰裝置A。這個(gè)裝置在未被觸碰時(shí)，兩個(gè)燈都是不亮的，若按住左面手的圖案或右面手的圖案，裝置右上方的燈會(huì)亮，當(dāng)他同時(shí)用兩個(gè)手按住面板時(shí)，裝置左上方的燈會(huì)亮。作為一個(gè)游戲裝置，這未免有些無(wú)趣，一個(gè)稍微有趣一點(diǎn)的問(wèn)題是，這個(gè)裝置到底有怎樣的用處？

例如，可以想象這個(gè)裝置是用來(lái)進(jìn)行二進(jìn)制加法計(jì)算的，對(duì)于學(xué)習(xí)過(guò)二進(jìn)制計(jì)算的人來(lái)說(shuō)，更容易產(chǎn)生這樣的聯(lián)想，表1展示了動(dòng)作和亮燈的關(guān)系，的確正對(duì)應(yīng)著兩個(gè)一位的二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行加法計(jì)算得出兩位二進(jìn)制數(shù)結(jié)果的過(guò)程。

關(guān)于觸碰裝置的頭腦風(fēng)暴

撇開(kāi)二進(jìn)制加法的問(wèn)題，單純地關(guān)注觸碰裝置A的工作過(guò)程，想象一下，既可以單獨(dú)使用這個(gè)觸碰裝置A，或者也可以將多個(gè)觸碰裝置A級(jí)聯(lián)，就是說(shuō)將某些觸碰裝置A的輸出信號(hào)接到某些觸碰裝置A的輸入面板（某個(gè)觸碰裝置的燈的亮或暗，能影響另一個(gè)觸碰裝置的面板自動(dòng)產(chǎn)生按住或松開(kāi)的動(dòng)作），那么，可以利用這些裝置實(shí)現(xiàn)哪些場(chǎng)景中的具體功能呢？筆者針對(duì)自己的學(xué)生開(kāi)展了一項(xiàng)給予充分思考時(shí)間的頭腦風(fēng)暴的調(diào)查，結(jié)果如圖2所示，其中，大約35%的被調(diào)查者放棄了回答，差不多一半的被調(diào)查者雖然試圖列舉了可能的具體功能，但較難詳細(xì)描述工作過(guò)程和功能之間的關(guān)系，只有差不多15%的被調(diào)查者不僅列出了這些裝置可能實(shí)現(xiàn)的功能，也比較詳細(xì)地描述了裝置的工作過(guò)程。將調(diào)查換一個(gè)角度進(jìn)行還能得到另一個(gè)有意思的結(jié)果，即便學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)二進(jìn)制加法運(yùn)算，也只有10%左右的學(xué)生主動(dòng)聯(lián)想到這個(gè)裝置可用于二進(jìn)制運(yùn)算。

這里從調(diào)查結(jié)果中選取一些較為有趣的回答，如有學(xué)生認(rèn)為可以用這個(gè)裝置實(shí)現(xiàn)物品或人員的分類(lèi)，有學(xué)生認(rèn)為可以用來(lái)實(shí)現(xiàn)一個(gè)密碼解鎖的裝置，還有學(xué)生提出，如果將這些裝置間隔一定距離架設(shè)，就能實(shí)現(xiàn)信號(hào)的放大和傳遞，這個(gè)回答展現(xiàn)出這樣的情況：即便是拋棄了裝置的核心功能，也還是有可能發(fā)現(xiàn)其某些特殊的用途。

有一個(gè)回答值得重點(diǎn)展開(kāi)討論：這個(gè)裝置其實(shí)也可以指示“少”和“多”、“局部”和“全體”之類(lèi)的關(guān)系。不妨做這樣的假設(shè)，徜徉于游戲廳的某人后來(lái)發(fā)現(xiàn)，剛才所“玩”的設(shè)備，其實(shí)被遮擋住了一部分，當(dāng)整個(gè)裝置都顯露出來(lái)后，就能見(jiàn)到裝置上有著三個(gè)觸碰面板和三個(gè)燈，這里稱(chēng)之為觸碰裝置B，如圖3所示。此人發(fā)現(xiàn)，需要兩個(gè)人用三只手合作來(lái)和這個(gè)裝置互動(dòng)。

觸碰裝置B的反應(yīng)規(guī)則如表2所示。當(dāng)只有一個(gè)面板被按住時(shí)，最右側(cè)的燈亮；當(dāng)有兩個(gè)面板被按住時(shí)，中間的燈亮；當(dāng)三個(gè)面板都被按住時(shí)，最左側(cè)的燈亮?？梢杂帽砀裾故緞?dòng)作和亮燈的關(guān)系，可以看出，所亮燈的位置可以用來(lái)指示觸碰面板的個(gè)數(shù)。這與二進(jìn)制加法規(guī)則顯然是不一致的，如果它真是一個(gè)二進(jìn)制加法器，那么當(dāng)被觸碰面板個(gè)數(shù)為3時(shí)，亮起的應(yīng)該是中燈和右燈。

在經(jīng)過(guò)這么一番互動(dòng)和思考后，人們反而可能打消認(rèn)為此裝置是一個(gè)二進(jìn)制加法器的念頭。不妨將此裝置稱(chēng)為觸碰裝置B。甚至于還能繼續(xù)擴(kuò)充其計(jì)數(shù)能力，如裝置C可以記錄四個(gè)面板的觸碰數(shù)量，裝置D可以記錄五個(gè)面板的觸碰數(shù)量……不過(guò)，裝置最右側(cè)兩列燈和觸碰面板的局部行為和二進(jìn)制加法器的行為仍然是完全一致的。若有人問(wèn)，這些裝置到底算不算是二進(jìn)制加法器？該如何回答這個(gè)問(wèn)題呢？因?yàn)楹茈y說(shuō)這到底是一個(gè)觸碰計(jì)數(shù)裝置，還是觸碰加法裝置，所以干脆稱(chēng)其為觸碰交互裝置。

用觸碰交互裝置的部分功能組裝成為其他裝置

毫無(wú)疑問(wèn)，如果將觸碰裝置B的左側(cè)部分遮掩，它們就又變回了觸碰裝置A，但如果被遮掩的是其他部分呢？例如，遮住左燈、中燈和左面板，它就成了一個(gè)可以進(jìn)行異或邏輯運(yùn)算的裝置；遮住左燈、右燈和左面板，它就成了一個(gè)可以進(jìn)行與邏輯運(yùn)算的裝置。其部分變化規(guī)律如下頁(yè)圖4所示。

這樣，將多個(gè)觸碰交互裝置組合連結(jié)起來(lái)，就能開(kāi)發(fā)出各種功能不同的計(jì)算裝置了。例如，下頁(yè)圖5所示的是用三個(gè)觸碰交互裝置組合而成的三個(gè)一位二進(jìn)制數(shù)的加法器，又稱(chēng)全加器——既然觸碰裝置B被部分遮擋后能當(dāng)加法器使用，那么多個(gè)被部分遮擋的觸碰裝置B也就能組合成為具有更復(fù)雜功能的加法器了。對(duì)于更復(fù)雜的觸碰交互裝置，當(dāng)然也同樣能夠借助遮掩而只使用其部分功能的方法，使之成為全加器。

下頁(yè)圖6所示是利用這個(gè)觸碰交互裝置實(shí)現(xiàn)或非運(yùn)算和非運(yùn)算，再將或非運(yùn)算和非運(yùn)算的計(jì)算裝置級(jí)聯(lián)，最終實(shí)現(xiàn)或運(yùn)算計(jì)算裝置的例子。

或非門(mén)是一種通用的邏輯門(mén)，只使用單一的或非門(mén)的組合，就可以搭建出任意的邏輯門(mén)元件。不妨戲稱(chēng)為“邏輯三千，我只取或非一種用”。另一種通用邏輯門(mén)是與非門(mén)，同樣可以借助觸碰交互裝置的遮掩和連結(jié)搭建出來(lái)。

假設(shè)某裝置有n個(gè)二進(jìn)制輸入端和m個(gè)二進(jìn)制輸出端，假設(shè)對(duì)于任何一種輸入和輸出的對(duì)應(yīng)關(guān)系都能找出一套邏輯運(yùn)算裝置或裝置的組合能滿(mǎn)足這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，則這個(gè)裝置是邏輯完備的，或非門(mén)就是一種邏輯完備的計(jì)算裝置。既然通過(guò)遮掩和組合的觸碰交互裝置能實(shí)現(xiàn)或非計(jì)算，那么，觸碰交互裝置當(dāng)然也是邏輯完備的。

回到文章開(kāi)頭的話題，“弱水三千，我只取一瓢飲”，自然界事物的行為雖然千變?nèi)f化，但對(duì)于某些事物，施加以某些動(dòng)作作為“輸入”，它總能有規(guī)律地產(chǎn)生某些行為作為“輸出”，當(dāng)這些“輸入”和“輸出”的行為恰好對(duì)應(yīng)某個(gè)計(jì)算需求的時(shí)候，就能使用這個(gè)事物的這種特定的行為實(shí)現(xiàn)某種計(jì)算。