經(jīng)歷操作過程 抽象數(shù)學(xué)模型

李芳 李露茜 邵漢民

【摘 要】人教版教材二年級下冊有關(guān)“表內(nèi)除法”的兩個教學(xué)單元可以看成一個整體。這部分內(nèi)容教材編寫層次清晰，注重聯(lián)系實(shí)際創(chuàng)設(shè)情境，但教材中“除法的初步認(rèn)識”“除法運(yùn)算”“用除法運(yùn)算解決問題”三部分內(nèi)容之間的聯(lián)系體現(xiàn)得不足，故據(jù)此提出具體教學(xué)策略，以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的一致性與結(jié)構(gòu)化目標(biāo)。最后通過實(shí)踐改進(jìn)教學(xué)思路，按照“含義·方法·應(yīng)用”的路徑，融合學(xué)習(xí)除法含義，“想乘做除”學(xué)習(xí)除法運(yùn)算，“由乘引除”用除法運(yùn)算解決問題。

【關(guān)鍵詞】操作活動；數(shù)學(xué)模型；表內(nèi)除法

人教版教材二年級下冊“表內(nèi)除法”分為兩個教學(xué)單元，包含三個方面，分別是除法的含義、除法運(yùn)算（用乘法口訣求商）和用除法運(yùn)算解決問題。首先，從整體分析的視角，可以把這兩個教學(xué)單元整合到一起進(jìn)行梳理，從而發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的編寫結(jié)構(gòu)。其次，從整體設(shè)計的視角，提出可以改進(jìn)的地方。最后，把改進(jìn)之處付諸實(shí)踐，形成除法意義、除法運(yùn)算與用除法運(yùn)算解決問題相互融合的一個整體。

一、梳理——了解教材的編寫特點(diǎn)

人教版教材在二年級下冊第二、第四單元分別編排了“表內(nèi)除法（一）”“表內(nèi)除法（二）”，從整體分析，主要包括三個板塊，第一個板塊是“除法的初步認(rèn)識”，第二個板塊是“用2～6的乘法口訣求商”，第三個板塊是“用7～9的乘法口訣求商”。把兩個教學(xué)單元的教學(xué)內(nèi)容看成一個整體，主要包括三個方面的具體內(nèi)容——除法的初步認(rèn)識、除法運(yùn)算（用乘法口訣求商）和用除法運(yùn)算解決問題。筆者從教學(xué)內(nèi)容與情境創(chuàng)設(shè)兩個維度對教材進(jìn)行梳理，以幫助教師理解教材編寫的特點(diǎn)。

（一）單元學(xué)習(xí)層次清晰

從教材的編排結(jié)構(gòu)看，三個方面的教學(xué)內(nèi)容既相互獨(dú)立，又層層推進(jìn)。圖1是教材編排的具體結(jié)構(gòu)與對應(yīng)的例題分布［注：帶*的是表內(nèi)除法（二）中的例題］。

從圖1可以發(fā)現(xiàn)，“表內(nèi)除法”三個方面的教學(xué)內(nèi)容十分清晰，其中“除法的初步認(rèn)識”是其他兩個方面教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)?！坝贸朔谠E求商”是在“除法的初步認(rèn)識”中的平均分物的基礎(chǔ)上優(yōu)化而成?！坝贸ㄟ\(yùn)算解決問題”中的數(shù)量關(guān)系來源于“除法的初步認(rèn)識”，而列式計算求商來源于“用乘法口訣求商”。

（二）聯(lián)系實(shí)際創(chuàng)設(shè)情境

仔細(xì)分析教材中的例題，每一個例題都創(chuàng)設(shè)了貼近學(xué)生生活實(shí)際的情境，而“平均分物”又是它們共同的主題。第二單元“表內(nèi)除法（一）”設(shè)計了“全班同學(xué)春游前，平均分零食”的主題圖，具體用“分糖果”“平均分橘子”“平均分餅干”等情境作為例題來學(xué)習(xí)“平均分”概念。其中“平均分橘子”“平均分餅干”情境分別體現(xiàn)現(xiàn)實(shí)生活中兩種平均分物的情況，即“等分（分配）”和“包含”，從而讓學(xué)生充分地體會到“平均分”來源于現(xiàn)實(shí)生活。

除法可以看成對“平均分”過程和結(jié)果的記錄。因此，教材中創(chuàng)設(shè)了“把12個竹筍平均放在4個盤里，每盤放（? ? ）個”和“20個竹筍，每4個放一盤，能放（? ? ?）盤”兩個問題情境。第一個問題情境屬于平均分物的“等分（分配）”情況，第二個問題情境則是平均分物的“包含”情況。這樣的問題情境編排分為四個層次：首先進(jìn)行平均分的操作活動；接著用語言描述什么是平均分；然后用除法算式表示平均分的過程和結(jié)果；最后介紹除法算式中各部分的名稱。

“用乘法口訣求商”的情境分成兩類，一類是“數(shù)數(shù)”模型下的除法運(yùn)算，另一類則是“矩陣”模型下的除法運(yùn)算，用“一圖式三算式（一個乘法算式、兩個除法算式）”的方式進(jìn)行呈現(xiàn)，即根據(jù)乘法與除法的關(guān)系，由一個乘法算式引出兩個除法算式，并用乘法口訣推算除法的商。

兩個單元中各有一個例題是“用除法運(yùn)算解決問題”，每個例題的情境相對獨(dú)立。第二單元“表內(nèi)除法（一）”要解決的問題是“用籠屜放粽子”，第四單元“表內(nèi)除法（二）”要解決的問題是商品買賣中求玩具的“單價”或“數(shù)量”。結(jié)合具體情境對問題進(jìn)行抽象概括，形成解決此類問題的數(shù)量關(guān)系。

從“除法的初步認(rèn)識”“用乘法口訣求商”和“用除法運(yùn)算解決問題”這三個方面創(chuàng)設(shè)的情境中可知，它們的情境是相對獨(dú)立的?！俺ǖ某醪秸J(rèn)識”創(chuàng)設(shè)的主要是“平均分食物”這樣的情境，便于采用實(shí)物或?qū)W具進(jìn)行具體操作。“用乘法口訣求商”中，除了第二單元中的例1“猴媽媽分桃子”沿用之前的“平均分食物”的情境，其他的三個例題均采用“數(shù)數(shù)模型”或“矩陣模型”，先用乘法計算得到總數(shù)，再由乘法算式引出除法算式，最后用統(tǒng)一的乘法口訣計算出結(jié)果?！坝贸ㄟ\(yùn)算解決問題”創(chuàng)設(shè)的兩個情境“用籠屜放粽子”和“小朋友買玩具”，與前面的兩個情境完全不同，這兩個情境具有社會氣息，更貼近日常的勞動與生活。

通過以上的單元梳理可以發(fā)現(xiàn)，整個“表內(nèi)除法”教學(xué)內(nèi)容的編排具有學(xué)習(xí)層次清晰、例題情境設(shè)計多樣與不同學(xué)習(xí)內(nèi)容情境獨(dú)立等特點(diǎn)。這些特點(diǎn)既有值得在教學(xué)中充分展現(xiàn)的地方，也有可以改進(jìn)之處。

二、反思——提出改進(jìn)的具體內(nèi)容

對于上述編排特點(diǎn)，筆者進(jìn)行進(jìn)一步反思，并發(fā)現(xiàn)問題，提出了一些可以改進(jìn)的具體內(nèi)容。

（一）發(fā)現(xiàn)割裂處

圖1的教材梳理結(jié)構(gòu)圖把教學(xué)內(nèi)容清晰地劃分為三個方面，它們既相對獨(dú)立又密切聯(lián)系。但是，教材在具體編排時，沒能很好地體現(xiàn)出其中的聯(lián)系。在“除法的初步認(rèn)識”中，教材采用操作活動讓學(xué)生學(xué)習(xí)“平均分”與“除法的含義”，卻沒有借機(jī)呈現(xiàn)除法算式中各部分的含義，并引導(dǎo)學(xué)生以此提煉出數(shù)量關(guān)系。或許編者認(rèn)為不需要在此時引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)另外兩方面內(nèi)容。

“用乘法口訣求商”實(shí)際上是依據(jù)除法是乘法的逆運(yùn)算，利用表內(nèi)乘法口訣求商，即“想乘做除”，從而實(shí)現(xiàn)除法運(yùn)算與乘法運(yùn)算的一致性。但是，仔細(xì)分析“用除法運(yùn)算解決問題”的兩個例題，在分析數(shù)量關(guān)系時，這兩個例題并沒有與相應(yīng)的乘法解決問題進(jìn)行關(guān)聯(lián)，從而無法讓學(xué)生感受到，除法解決問題的數(shù)量關(guān)系實(shí)質(zhì)上是通過在乘法解決問題的數(shù)量關(guān)系中逆向思考所得的。也就是說，沒有實(shí)現(xiàn)“用除法運(yùn)算解決問題”與“用乘法運(yùn)算解決問題”在數(shù)量關(guān)系上的結(jié)構(gòu)化。

（二）實(shí)現(xiàn)一致性

從單元整體設(shè)計的視角，可以把“除法的初步認(rèn)識”“用乘法口訣求商”與“用除法運(yùn)算解決問題”進(jìn)行整體構(gòu)思，有機(jī)融合。具體而言，在“除法的初步認(rèn)識”中，可以把“相同減數(shù)連減”與“除法運(yùn)算”構(gòu)建起聯(lián)系，把“除法運(yùn)算”當(dāng)作“相同減數(shù)連減”的一種簡便運(yùn)算；然后在說明除法中各部分的含義時概括出除法算式表示的數(shù)量關(guān)系；計算除法的商則可以與乘法口訣相聯(lián)系，最終實(shí)現(xiàn)除法的初步認(rèn)識、除法運(yùn)算的一致性。

圖2中，從“分物情境”到“除法”的過程實(shí)際上也是用除法運(yùn)算解決問題的過程。因此，把學(xué)習(xí)“除法含義”與用除法運(yùn)算解決問題融為一體，可以更好地體現(xiàn)用除法運(yùn)算解決問題中的“數(shù)量關(guān)系”與“除法含義”具有一致性。

（三）達(dá)成結(jié)構(gòu)化

除法是乘法的逆運(yùn)算，乘除法在內(nèi)在結(jié)構(gòu)上是相通的。因此，除法概念學(xué)習(xí)中的數(shù)量關(guān)系應(yīng)與利用乘法口訣求商的除法運(yùn)算相結(jié)合。在教學(xué)“用除法運(yùn)算解決問題”時，可以讓學(xué)生把學(xué)習(xí)的重點(diǎn)放在與二年級上冊學(xué)習(xí)的用乘法運(yùn)算解決問題構(gòu)建聯(lián)系上，形成用乘除法運(yùn)算解決問題的基本結(jié)構(gòu)。

如在第二單元的解決問題中，先創(chuàng)設(shè)用乘法解決問題的情境，讓學(xué)生通過畫一畫（畫出示意圖）、列一列（列出數(shù)量關(guān)系）、算一算（列式解答算出結(jié)果）的方法解決問題（如圖3）。再請學(xué)生觀察圖3中的已知信息與問題，并提出問題：能否通過交換其中的信息與問題，把它變成用除法運(yùn)算解決問題？請學(xué)生自主改編，并按照用乘法解決問題的步驟自主解答。第四單元中的解決問題也可以采用同樣的設(shè)計思路。

基于以上思考，“除法的含義”與“用除法運(yùn)算解決問題”從數(shù)量關(guān)系的視角實(shí)現(xiàn)了聯(lián)通，“除法運(yùn)算”與“乘法運(yùn)算”通過乘法口訣發(fā)現(xiàn)了共同的計算方法，“用除法運(yùn)算解決問題”與“用乘法運(yùn)算解決問題”在數(shù)量關(guān)系上找到了聯(lián)系，從而實(shí)現(xiàn)了“含義、方法、應(yīng)用”這三者的有機(jī)融合。

三、實(shí)踐——落實(shí)改進(jìn)的教學(xué)思路

通過反思，筆者尋找到了在單元學(xué)習(xí)時可以改進(jìn)的地方，即實(shí)現(xiàn)“除法的含義”“用乘法口訣求商”與“用除法運(yùn)算解決問題”在情境創(chuàng)設(shè)、操作活動上的一致性，以及用乘法運(yùn)算解決問題與用除法運(yùn)算解決問題在數(shù)量關(guān)系上的結(jié)構(gòu)化。那么，在實(shí)踐中如何真正落實(shí)呢？我們需要進(jìn)一步改進(jìn)教學(xué)思路。

（一）“三者融合”學(xué)習(xí)含義

如何實(shí)現(xiàn)“除法的含義”“用乘法口訣求商”與“用除法運(yùn)算解決問題”在情境創(chuàng)設(shè)、操作活動上的一致性？筆者以“用除法運(yùn)算解決問題”為基本活動，讓學(xué)生經(jīng)歷操作活動、連減記錄與除法優(yōu)化這樣三個步驟，學(xué)習(xí)除法的含義。

教師先用板貼的形式出示6顆糖果，并提出要求：把它們分給三個同學(xué)，可以怎樣分？學(xué)生操作后形成（1，1，4）（1，2，3）和（2，2，2）這樣三種分法，比較后概括出分得“一樣多”就是“平均分”。接著出示“平均分”中“等分”與“包含”兩種情況的問題情境：（1）把18個橘子平均裝在6個盤子里面，每個盤子里面可以裝幾個？（2）有18個橘子，每個盤子裝6個，可以裝這樣的幾盤？按照“分一分”“減一減”“數(shù)一數(shù)”這樣三個步驟，學(xué)生發(fā)現(xiàn)“等分”中“分一分”時“每次取6個橘子”，是為了“每盤放一個”；而“包含”中“分一分”時“每次取6個橘子”，是為了“裝一盤”。最后數(shù)出“每盤里面的個數(shù)”或者“裝的盤數(shù)”，就可以得出結(jié)果（如圖4）。

顯然，如果一直用“相同減數(shù)連減”的形式表示平均分，就會十分麻煩，尤其是分的次數(shù)增多時。因此，需要從“相同減數(shù)連減”的過程中提取出關(guān)鍵的數(shù)據(jù)，用新的運(yùn)算符號進(jìn)行連接，除法的記錄以及數(shù)量關(guān)系就在這樣的過程中逐步形成了。圖4中的等分除與包含除就在這樣的思路中產(chǎn)生。

（二）“想乘做除”學(xué)習(xí)計算

兩個教學(xué)單元的標(biāo)題都叫作“表內(nèi)除法”，這里的“表”就是“乘法口訣表”，即用“乘法口訣”與乘除法的關(guān)系，推算出除法的商。這種思路在教學(xué)“除法”概念之一的“等分除”時已經(jīng)讓學(xué)生結(jié)合具體例子進(jìn)行過嘗試。即當(dāng)學(xué)生利用“分一分”的方法求出“10÷2”和“10÷5”的結(jié)果后，讓學(xué)生想一想，是否有辦法不用畫圖“分一分”，也可以直接得到結(jié)果，學(xué)生自然地聯(lián)想到二年級上冊學(xué)習(xí)的表內(nèi)乘法口訣——“二五一十”，推算出商。也就是從第2課時學(xué)習(xí)“除法的含義”時就開始讓學(xué)生利用乘法口訣求商。

依照這樣的教學(xué)思路，在第2課時“等分除”和第3課時“包含除”這兩種除法含義的學(xué)習(xí)過程中，讓學(xué)生結(jié)合除法各部分含義的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)用“乘法口訣”進(jìn)行計算。其中第2課時用到的乘法口訣是“2～6的乘法口訣”，第3課時用到的乘法口訣是“7～9的乘法口訣”。這樣將除法的含義與除法的運(yùn)算相融合，把用操作活動與連減得到結(jié)果優(yōu)化為用“乘法口訣”推算出商，能夠及時形成除法與乘法在運(yùn)算中的內(nèi)在聯(lián)系。

（三）“由乘引除”解決問題

把兩個教學(xué)單元整合成一個單元，并把解決問題的兩個例題安排在前后連接的兩個課時中，均由“用乘法運(yùn)算解決問題”的數(shù)量關(guān)系引入。

如在“解決問題（2）”的教學(xué)中，先讓學(xué)生依據(jù)信息提出問題，求出“總元數(shù)”（如圖5）。那么，之后該如何“由乘引除”，用除法運(yùn)算解決問題呢？從圖5中的圖式可以發(fā)現(xiàn)，還有每個皮球的價格這一個信息沒有被利用，由此可以提出問題：（1）樂樂帶的錢可以買多少個皮球？另外，每輛汽車的價格被樂樂擋住了，也可以在添加信息后作為問題提出；（2）樂樂帶的錢可以買4輛汽車，每輛汽車多少元？在解決以上兩個問題的過程中，概括出商品買賣中用除法運(yùn)算解決問題的數(shù)量關(guān)系。

上述教學(xué)把“除法”學(xué)習(xí)的三個方面有機(jī)融合，消除了三個方面的界線，從而讓學(xué)生完整經(jīng)歷“除法”產(chǎn)生、形成、完善與應(yīng)用的過程。

除法運(yùn)算是四則運(yùn)算的最后一種運(yùn)算，教師在教學(xué)時可以充分利用學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和知識基礎(chǔ)。利用生活經(jīng)驗(yàn)，安排具體的操作活動，讓學(xué)生認(rèn)識到“除法”中“平均分”的操作方法；利用知識基礎(chǔ)，可以更好地把新知學(xué)習(xí)建立在已有舊知的基礎(chǔ)上，探尋新舊知識之間的聯(lián)系，形成內(nèi)涵更加豐富的除法含義，讓學(xué)生更好地體會除法與乘法的聯(lián)系。

（1.浙江省杭州市蕭山區(qū)萬向小學(xué)

2.浙江省杭州市蕭山區(qū)金山小學(xué)

3.浙江省杭州市蕭山區(qū)所前鎮(zhèn)第二小學(xué)）