逆向思維在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的作用與培養(yǎng)

鐘漳延

摘 要：逆向思維是數(shù)學(xué)思維中非常重要的一種思維方式，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維有助于學(xué)生更好地對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行理解，同時(shí)有利于學(xué)生更好地感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣與積極性。本文就逆向思維在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的作用與培養(yǎng)策略展開深入分析，旨在提出參考性教學(xué)建議，促進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展，以及幫助學(xué)生更好地成長(zhǎng)。

關(guān)鍵詞：逆向思維；小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)解題

【中圖分類號(hào)】G623.5? ? ? ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? ? ? ? ? ? ?【文章編號(hào)】1005-8877（2023）01-0202-03

逆向思維是相對(duì)于正向思維的一種思維方式，是通過結(jié)果來反推條件的一種思考途徑。很多時(shí)候以正向思維思考問題會(huì)顯得非常復(fù)雜，但通過逆向思維來思考則會(huì)變得簡(jiǎn)單明了，因此，逆向思維是學(xué)生高效理解知識(shí)點(diǎn)和高效解決問題的重要方式。與此同時(shí)，逆向思維也是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的重要組成部分，在素質(zhì)教育改革深入發(fā)展的當(dāng)下，小學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中需高度重視學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)，在此基礎(chǔ)上助力學(xué)生獲得高效、高質(zhì)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成效，同時(shí)為其今后的良好發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

1.逆向思維的作用

（1）有利于拓寬學(xué)生的解題思路

在現(xiàn)階段的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)依然集中在正向思維的培養(yǎng)上，因?yàn)橥ㄟ^培養(yǎng)學(xué)生的正向思維有利于學(xué)生打下扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。但是，在有些時(shí)候的數(shù)學(xué)解題過程中，以正向思維進(jìn)行思考會(huì)顯得題目異常復(fù)雜，不利于學(xué)生快速準(zhǔn)確地完成解題。此時(shí)，若學(xué)生以逆向思維來分析題目，則會(huì)促使題目條件更加簡(jiǎn)潔明了，從而獲得更好的解題思路與空間，并最終準(zhǔn)確而快速地完成題目解答。為此，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維對(duì)學(xué)生解題思路的拓寬意義重大。

（2）有利于夯實(shí)學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)

小學(xué)階段是學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的關(guān)鍵階段，在這個(gè)階段中，不僅需要教師正確的引導(dǎo)，還需要學(xué)生對(duì)學(xué)生產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣。只有學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿興趣，其才能夠充分發(fā)揮學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性，更為積極地鉆研與探究數(shù)學(xué)問題，并獲得理想的學(xué)習(xí)成效，打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。但就現(xiàn)階段的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)情況來看，有不少學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并沒有產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，原因就在于其無法在學(xué)習(xí)過程中感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感與樂趣。而通過逆向思維的培養(yǎng)，可促使學(xué)生從不同的角度看待數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，并就此感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，從而在有效激發(fā)其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的基礎(chǔ)上，促使其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)得以穩(wěn)固與夯實(shí)。

（3）有利于分層教學(xué)的開展

每個(gè)學(xué)生的性格特點(diǎn)、思維方式與學(xué)習(xí)天賦是不盡相同的，因此想要獲得高質(zhì)量的教學(xué)效果就必須在教學(xué)過程中做到因材施教，即充分契合學(xué)生的個(gè)人特點(diǎn)與學(xué)習(xí)情況對(duì)其進(jìn)行針對(duì)性引導(dǎo)。在以往教學(xué)過程中，教師往往是以填鴨式、灌輸式的教學(xué)方式來“一把抓”，以至于部分學(xué)生的學(xué)習(xí)成效不甚理想，其原因就在于不同學(xué)生的思維方式是不同的，有的學(xué)生正向思維能力更強(qiáng)，而有的學(xué)生逆向思維能力更強(qiáng)。通過發(fā)展學(xué)生的逆向思維，更有利于發(fā)展學(xué)生的個(gè)人學(xué)習(xí)天賦，讓教學(xué)變得層次化、差異化，促使每個(gè)學(xué)生都能夠獲得更適合其發(fā)展的學(xué)習(xí)方法，最終全面提升教學(xué)質(zhì)量。

2.逆向思維的表現(xiàn)形式

（1）逆向推導(dǎo)思維

所謂逆向推導(dǎo)思維，指的就是從結(jié)果出發(fā)進(jìn)行反向推理，從而在驗(yàn)證條件的基礎(chǔ)上得出最終的解題答案。在數(shù)學(xué)解題中，該思維方式更多的是應(yīng)用于判斷題和通過結(jié)果來求未知條件的題目。在逆向思維中，逆向推導(dǎo)是最為常見的一種表現(xiàn)形式，盡管該形式的逆向思維無法完全脫離已知的相關(guān)條件，但是卻可以讓學(xué)生站在宏觀的角度看待題目，從而更加全面、更加清晰地理解題目，進(jìn)而能夠以更高的效率和準(zhǔn)確率完成解題。

（2）逆向聯(lián)想思維

所謂逆向聯(lián)想思維，指的就是在已知條件的分析與理解上進(jìn)行反向推理，并通過觸類旁通的方式聯(lián)想其他條件與結(jié)果，從而更加深入、更加全面地對(duì)問題進(jìn)行思考。小學(xué)生由于其邏輯思維能力與抽象思維能力尚不夠完善，所以在學(xué)習(xí)一些較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，尤其是在學(xué)生相關(guān)概念、定理與公式時(shí)往往會(huì)顯得較為吃力。而通過逆向聯(lián)想思維的應(yīng)用可以讓其在學(xué)習(xí)這些知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候進(jìn)行逆向思考與聯(lián)想理解，從而更為深刻地掌握知識(shí)。

（3）逆向重組思維

所謂逆向重組思維，指的是在已知條件無法直接使用的時(shí)候，需要通過展開分析甚至是重組來促使已知條件符合解題要求，從而更加順利、高效地進(jìn)行題目解答。在逆向重組思維的應(yīng)用中，有一個(gè)非常經(jīng)典的案例就是曹沖稱象，即受大象自身體重與測(cè)量工具的限制，直接完成對(duì)大象體重的測(cè)量是不可能的。而以碎石替代大象體重，實(shí)際上就是對(duì)相關(guān)條件進(jìn)行替代與重組，實(shí)現(xiàn)化整為零，進(jìn)而能夠準(zhǔn)確稱出大象體重，促進(jìn)難題的解決。

3.逆向思維培養(yǎng)策略

（1）課前準(zhǔn)備，整合逆向教學(xué)內(nèi)容

教師作為學(xué)生學(xué)習(xí)道路上的引導(dǎo)者與陪伴者，不僅對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量的提升影響巨大，而且對(duì)學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)也非常關(guān)鍵。而教師要想完成對(duì)小學(xué)生逆向思維的有效培養(yǎng)，就必須在課前進(jìn)行充分的準(zhǔn)備。即教師需要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的了解，加強(qiáng)對(duì)教材重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容的分析，以及在此基礎(chǔ)上科學(xué)整合逆向教學(xué)內(nèi)容、明確教學(xué)思路。例如，在教學(xué)“加減問題”的時(shí)候，教師需要在課前將該教學(xué)內(nèi)容與現(xiàn)實(shí)生活問題進(jìn)行整合，并在課堂上以生活問題為引導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生思考問題解決辦法，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生正確轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系。如此，由生活問題引出數(shù)量關(guān)系，同時(shí)以數(shù)量關(guān)系解決生活問題，在這一過程中有效深化學(xué)生的知識(shí)理解，并有效培養(yǎng)學(xué)生的正向思維與逆向思維。

（2）趣味情境，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維

學(xué)習(xí)興趣對(duì)小學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量的提升與關(guān)鍵能力的發(fā)展至關(guān)重要，只有當(dāng)其對(duì)學(xué)習(xí)的興趣被激發(fā)出來之后，其才能夠在學(xué)習(xí)中表現(xiàn)得更為積極主動(dòng)，同時(shí)思維活躍度也更加高漲。為助力小學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量的提升，以及更好地對(duì)小學(xué)生的逆向思維進(jìn)行培養(yǎng)，教師在教學(xué)過程中需要積極構(gòu)建趣味情境。即以一些富有趣味性的數(shù)學(xué)題目作為載體，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維活躍度，大力發(fā)展其逆向思維。例如，《九章算術(shù)》中的老鼠打洞問題便是一道融合趣味性與教育性的經(jīng)典題目，在引導(dǎo)學(xué)生解答這道題目的時(shí)候教師可以組織學(xué)生進(jìn)行情境再現(xiàn)。即讓學(xué)生分別扮演大老鼠與小老鼠，讓其置身于該情境中，以結(jié)果為基點(diǎn)進(jìn)行反向推理和思考。如此，在該趣味性情境中，學(xué)生的思維將被打開，以及逆向思維能力將獲得提升。與此同時(shí)，在教學(xué)過程中教師還可以將“雞兔同籠”這一經(jīng)典題目進(jìn)行具象化，讓學(xué)生以逆向推理的方式進(jìn)行思考。即教師在幫助學(xué)生分析這一題目的時(shí)候，讓學(xué)生通過已知的雞兔頭腳數(shù)量進(jìn)行想象，想象其到底有多少只，從而促使該題目變得具象化，并于之后進(jìn)行反推，看是否符合題目條件要求。而在這一反推過程中，教師還需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)，總結(jié)如何想象或假設(shè)才更合理。如此，在這一整個(gè)過程中，學(xué)生將理解并找到該題的高效解題思路，并獲得逆向思維能力的提升。

（3）轉(zhuǎn)變提問，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維

對(duì)學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)，教師在教學(xué)過程中積極轉(zhuǎn)變提問方式是非常關(guān)鍵的。即常規(guī)方式的提問往往只能夠培養(yǎng)學(xué)生的正向思維，而不同于常規(guī)方式的提問則能夠有效發(fā)散學(xué)生的思維，促使學(xué)生的逆向思維得以鍛煉和提升。例如，在簡(jiǎn)易方程的教學(xué)過程中，教師需要通過常規(guī)的提問與分析幫助學(xué)生構(gòu)建方程的基本思想，但為了促使學(xué)生在方程解題過程中應(yīng)用到逆向思維，則需要教師以不同于常規(guī)的方式進(jìn)行提問，并鼓勵(lì)學(xué)生以不同的思維對(duì)方程應(yīng)用進(jìn)行思考。方程的基本定義為“含有一個(gè)未知數(shù)的等式”，即在等式中必須有一個(gè)未知量，同時(shí)該等式要滿足一定的邏輯關(guān)系，該等式才能夠被稱之為方程。在學(xué)生掌握了這一基本定義之后，教師可以在黑板上寫出不同類型的等式，讓學(xué)生通過觀察來判斷哪些等式屬于方程。如此，在通過定義理解方程概念之后，再通過實(shí)例來反證方程概念，可促使學(xué)生更好地建立方程理解，并有效明確方程與實(shí)際問題聯(lián)系，從而在之后的方程應(yīng)用與實(shí)際問題解答中更加游刃有余，進(jìn)而獲得學(xué)習(xí)質(zhì)量的提升與逆向思維的發(fā)展。

（4）逆向分析，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維

逆向分析法是小學(xué)數(shù)學(xué)解題過程中常用的一種方法，同時(shí)是培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的重要途徑。即在明確題目已知條件與未知條件的基礎(chǔ)上，以求解問題為切入點(diǎn)逐步分析已知條件，并最終獲得正確的題目解答。為此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)中，需善于利用逆向分析法幫助學(xué)生分析問題與條件，充分鍛煉其逆向思維。例如，教師可以出示以下題目：“罐頭加工廠接到一張訂單任務(wù)，若每天加工罐頭2000個(gè)，10天可以完成該訂單任務(wù)，但在實(shí)際生產(chǎn)過程中每天多加工了500個(gè)，問提前多少天完成任務(wù)？”該題目的求解問題是提前多少天完成任務(wù)，而題目中已知計(jì)劃天數(shù)是10天，而實(shí)際完成天數(shù)未知。以逆向思維對(duì)該題目的已知條件和未知條件進(jìn)行分析便是：實(shí)際每天加工2000+500個(gè)，而總量為2000×10個(gè)，因此實(shí)際天數(shù)就是2000×10÷（2000+500）=8（天），而最終提前多少天就是少用多少天，為10-8=2（天）。在這樣一個(gè)數(shù)學(xué)題目中，以逆向思維幫助學(xué)生進(jìn)行已知條件、未知條件和求解問題的分析，可促使學(xué)生形成清晰的解題思路，從而快速而精準(zhǔn)的解出答案，并獲得逆向思維的鍛煉。

（5）反向推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維

在數(shù)學(xué)題目中，常常會(huì)出現(xiàn)已知條件多次變化的情況，導(dǎo)致題目變得非常復(fù)雜，不容易解答。針對(duì)這一情況，教師可以引導(dǎo)學(xué)生以反向推導(dǎo)的方式來分析題干，清晰羅列已知條件和未知條件，還原題意，找出解答路徑。即在實(shí)際解答過程中，由變化后的結(jié)果來推導(dǎo)變化條件，并由各條件獲得最終結(jié)果。例如，教師可以出示以下題目：“某服裝店一天賣出服裝30套，之后第二天又新進(jìn)服裝50套，同時(shí)賣出15套，此時(shí)該服裝店剩余服裝72套，問該服裝店最初有服裝多少套？”題目中的已知條件共計(jì)變化了3次，分別是賣出30套、新進(jìn)50套和賣出15套，導(dǎo)致最后的結(jié)果為72套，而最初的數(shù)量未知。以逆向思維對(duì)其進(jìn)行分析：將剩余的72套轉(zhuǎn)化為庫存數(shù)為72套，賣出15套轉(zhuǎn)化為新進(jìn)15套，新進(jìn)50套轉(zhuǎn)化為賣出50套，以及賣出30套轉(zhuǎn)化為新進(jìn)30套，最終剩余72+15-50+30=67（套），而此時(shí)在逆向思維中剩余的這67套其實(shí)就是正向思維中的初始數(shù)量，為此，該題目最終的答案就是67套。在該解題過程中，通過以逆向思維的方式幫助學(xué)生進(jìn)行分析條件與結(jié)果，可促使學(xué)生找到清晰的解題思路，并最終獲得準(zhǔn)確的答案，不但提升了學(xué)生的解題效力，還強(qiáng)化了學(xué)生的逆向思維。

（6）互逆問題，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維

逆向思維是相較于正向思維的一種思維方式，因此，為有效培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，教師可以在教學(xué)過程中積極設(shè)置一些互逆問題來對(duì)學(xué)生進(jìn)行強(qiáng)化鍛煉。例如，教師可以為學(xué)生設(shè)置如下路程問題：“兩個(gè)人分別從兩地對(duì)向出發(fā)，在兩人相遇的時(shí)候A走了總路程的3/5，其速度為3m/s，而在相遇之后兩人接著走，最終B花費(fèi)了1.5個(gè)小時(shí)走完了全程，問A走完全程需要花費(fèi)多少時(shí)間？”該題目是一個(gè)較為典型的互逆問題，若單純地依靠正向思維進(jìn)行思考是很難獲得最終答案的，而若以逆向思維進(jìn)行思考則相對(duì)簡(jiǎn)單。兩人在相遇的時(shí)候A走了全程的3/5，那么也就意味著兩人此時(shí)的路程比為A：B=3/5：2/5=3：2，從而可知兩人的速度比為A：B=3：2，以及兩人的時(shí)間比為A：B=2：3，為此，依據(jù)B花費(fèi)時(shí)間為1.5小時(shí)可得A最終花費(fèi)時(shí)間為1.5÷3×2=1小時(shí)。通過設(shè)置這樣一個(gè)互逆問題，讓學(xué)生以不同角度去看待、分析題目，可促使學(xué)生發(fā)散思維，并有效鍛煉和培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維。

總而言之，逆向思維的培養(yǎng)對(duì)學(xué)生解題有著至關(guān)重要的作用，包括拓寬學(xué)生的解題思路、提升學(xué)生的解題效力以及夯實(shí)學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)和有效促進(jìn)分層教學(xué)的實(shí)施。為此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師需在解題教學(xué)過程中高度重視學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)，包括通過逆向分析、反向推導(dǎo)、互逆問題設(shè)置以及轉(zhuǎn)變提問方式和設(shè)置趣味情境等方式激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，深化學(xué)生對(duì)問題的思考，并讓學(xué)生思維得以發(fā)散，及以不同的角度看待問題，從而在獲得全新問題理解的基礎(chǔ)上有效發(fā)展逆向思維能力，進(jìn)而在此基礎(chǔ)上不斷提升學(xué)習(xí)質(zhì)量與發(fā)展核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

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