“新課標”下尺規(guī)作圖的命題變革與教學展望

【摘?要】?基于“新課標”對近三年江蘇省中考尺規(guī)作圖題的命題趨勢進行分析，發(fā)現(xiàn)各市對尺規(guī)作圖的重視程度越來越高，且命題形式也呈現(xiàn)出了多樣化特征.本文以具體案例闡述了主題探究、材料閱讀、搭建支架三類尺規(guī)作圖問題，并在此基礎(chǔ)上總結(jié)出了兩點教學展望.

【關(guān)鍵詞】?尺規(guī)作圖；新課標；推理能力；數(shù)學文化；命題

0?引言

尺規(guī)作圖是指在次數(shù)有限的情況下，用無刻度的直尺和圓規(guī)解決平面內(nèi)的幾何作圖問題，最早起源于古希臘數(shù)學課題研究.尺規(guī)作圖作為基礎(chǔ)教育領(lǐng)域的數(shù)學必學內(nèi)容，是融合觀察、分析、預(yù)測、判斷的復(fù)雜思維活動，旨在幫助學生表達幾何思維、提升推理能力、發(fā)展核心素養(yǎng).最新頒布的《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）對尺規(guī)作圖的教學與評價提出了新的要求，并已在2022年江蘇省各地中考試題中有所體現(xiàn).本文將以總體分析與案例剖析相結(jié)合的方式分析“新課標”下尺規(guī)作圖的命題趨勢，并提出相應(yīng)的教學展望，以更好應(yīng)對2024年全省中考統(tǒng)一命題與“新課標”落實帶來的挑戰(zhàn).

1?“新課標”中尺規(guī)作圖的內(nèi)容變化分析

相較于《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》，“新課標”在初中階段的“尺規(guī)作圖”部分新增了以下表述：“通過尺規(guī)作圖等直觀操作方法，理解平面圖形的性質(zhì)與關(guān)系；經(jīng)歷尺規(guī)作圖的過程，增強動手能力，能想象出通過尺規(guī)作圖的操作所形成的圖形，理解尺規(guī)作圖的基本原理與方法，發(fā)展空間觀念和空間想象力.”[1]這彰顯了尺規(guī)作圖作為一種探究方法與認知策略的學習價值，以及對于發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要性.另外，“新課標”在小學階段首次新增了三個“尺規(guī)作圖”內(nèi)容，要求學生在步入初中前就掌握作一條線段等于已知線段、將三角形三邊畫到一條直線上以及畫三角形的作圖問題.由此看來，在“新課標”背景下，初中階段更應(yīng)將尺規(guī)作圖視為促進學生思維發(fā)展的重要載體，讓學生在分析基本圖形與解決作圖問題的過程中，逐步體會數(shù)學學習的本質(zhì)、形成學科基本觀念.

2?近三年江蘇省中考尺規(guī)作圖命題趨勢分析

筆者梳理了江蘇省十二個地級市近三年中考的尺規(guī)作圖題，并在表1的基礎(chǔ)上制作了圖1的條形統(tǒng)計圖.通過分析表1不難發(fā)現(xiàn)，近三年只有無錫等5個城市從未“缺席”尺規(guī)作圖，到了2022年除徐州外的其他城市均有所考察，這足以說明“新課標”的頒布引發(fā)了各市命題組對尺規(guī)作圖的重視.另外，在2020年與2021年大部分尺規(guī)作圖題的題號靠前，而到了2022年開始有越來越多的城市將尺規(guī)作圖的試題類型從基礎(chǔ)題或中檔題向探究題轉(zhuǎn)型（如圖1）.由此看來，在“新課標”頒布后，尺規(guī)作圖命題熱度不斷高漲的同時，其評價要求與命題趨勢也悄然發(fā)生了變化，單一考察作圖技法的命題形式已逐漸被淘汰，取而代之的是將活動探究、材料分析、計算說理等高階思維活動嵌入其中，很多城市甚至史無前例地將其作為中考試卷最后一題的最后一問，使一把無刻度的直尺與圓規(guī)也“玩”出了花樣、新意與深度.圖1?探究性試題題量占總題量的百分比

3?例說“新課標”下尺規(guī)作圖命題形式的變化

“新課標”不僅在“學業(yè)要求”中明確提出：“經(jīng)歷數(shù)學的學習運用、實踐探索活動的經(jīng)驗積累，逐步產(chǎn)生對數(shù)學的好奇心、求知欲，以及對數(shù)學學習的興趣和自信心，初步養(yǎng)成獨立思考、探究質(zhì)疑等學習習慣”，而且在“命題原則”也指出：“適當提高應(yīng)用性、探究性和綜合性試題的比例.”為了響應(yīng)“新課標”的政策要求，2022年江蘇省各地中考以尺規(guī)作圖為載體嘗試命制了主題活動、材料閱讀、搭建支架等形式多樣的探究性試題，本文便以2022年鎮(zhèn)江、鹽城、揚州市中考的尺規(guī)作圖題為例，簡要闡述命題形式的變革與創(chuàng)新.

3.1?以主題活動形式豐富作圖探究過程

主題活動型試題立足于學生已有的知識經(jīng)驗，圍繞特定主題經(jīng)歷提出問題、制定計劃、嘗試解決、評鑒反思等過程，最終發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律或得出某個結(jié)論以解決更復(fù)雜的問題.尺規(guī)作圖與主題活動一樣有明確的目標要求，再加上直尺與圓規(guī)的工具“極簡性”，在達成目標前往往需要較多思維活動的參與，甚至在作圖過程中時常會對不同作圖方案進行反復(fù)試錯與修正.由此可見，主題活動型試題與尺規(guī)作圖的目標明確、聚焦過程、方法多元化、關(guān)注可行性等特點高度一致，能將其本身蘊含的探究本質(zhì)更加鮮活地呈現(xiàn).反之，尺規(guī)作圖也為開發(fā)主題活動型試題提供了豐富的素材資源，二者可謂相輔相成.

評析?本題是一道以圓規(guī)等分弧為主題的探究性試題.根據(jù)圓的半徑處處相等，僅用圓規(guī)在圓上易構(gòu)造60°的弧.操作與交流環(huán)節(jié)便以此為探究起點，在n的取值由簡單到復(fù)雜、從特殊到一般的遞進設(shè)計下，引導學生逐步感受可利用60°與已知度數(shù)的弧構(gòu)造和差關(guān)系進而作出目標圖形，最終解決作十四等分弧的復(fù)雜作圖問題.整個過程經(jīng)歷了制定方案、合理性評估、方法遷移等過程，讓學生在操作、實驗中由直觀感知過渡到理性分析，由合情猜想上升至演繹推理，以一系列行之有效的探究活動考察了學生核心素養(yǎng)不同維度的發(fā)展水平.

3.2?以材料閱讀形式開闊作圖想象空間

材料閱讀型試題需要通過提煉材料中的關(guān)鍵信息，將相應(yīng)的知識、思想與方法遷移到具體問題中去.皮亞杰指出：學生對新穎且與自身經(jīng)驗密切相關(guān)、富有挑戰(zhàn)又易于上手的閱讀內(nèi)容是最感興趣的[2].因此，引導性材料的設(shè)計不僅要基于學生已有的知識經(jīng)驗，而且要合理控制閱讀理解的難度.直線與圓作為尺規(guī)作圖的基本元素是學生從小學就開始接觸的，在初中階段又作了更加系統(tǒng)、深入的研究，有扎實的知識與理解基礎(chǔ).另外，尺規(guī)作圖屬于幾何領(lǐng)域，教材中“閱讀板塊”有多處是介紹幾何文化的，學生有相關(guān)閱讀經(jīng)驗.由此看來，以材料閱讀形式命制尺規(guī)作圖題符合學生的一般認知規(guī)律，能賦予作圖問題更加開闊的想象空間.

案例2?（2022年鹽城）經(jīng)典回顧：梅文鼎是我國清初著名的數(shù)學家，他在《勾股舉隅》中給出多種證明勾股定理的方法．圖4是其中一種方法的示意圖及部分輔助線．在△ABC中，∠ACB＝90°，四邊形ADEB，ACHI，BFGC分別是以Rt△ABC的三邊為一邊的正方形．延長IH和FG，交于點L，連接LC并延長交DE于點J，交AB于點K，延長DA交IL于點M．

（1）證明：AD＝LC；

（2）證明：正方形ACHI的面積等于四邊形ACLM的面積；

（3）請利用（2）中的結(jié)論證明勾股定理．

遷移拓展：（4）如圖5，四邊形ACHI和BFGC分別是以△ABC的兩邊為一邊的平行四邊形，探索在AB下方是否存在平行四邊形ADEB，使得該平行四邊形的面積等于平行四邊形ACHI，BFGC的面積之和．若存在，作出滿足條件的平行四邊形ADEB（保留適當?shù)淖鲌D痕跡）；若不存在，請說明理由．

評析?本題需要學生從材料中提煉“出入相補”原理以及平移變換策略，并將其遷移至平行四邊形中解決作圖問題.勾股定理作為舉世聞名的重要數(shù)學定理，在現(xiàn)有的約500種證明方法中大多數(shù)以構(gòu)造幾何圖形完成證明，是數(shù)形結(jié)合的經(jīng)典范例.因此，將勾股定理的相關(guān)拓展作為閱讀素材，不僅尊重學生的已有認知經(jīng)驗，符合學生的閱讀理解水平，而且從圖5到圖6的等積變換過程正體現(xiàn)了勾股定理的轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等本源性思想方法，是幫助學生突破作圖方式固化的關(guān)鍵，在豐富學生知識視野的同時也考察了學生的想象力與創(chuàng)造力.

3.3?以搭建支架形式提升作圖思維厚度

搭建支架型試題通過逐層設(shè)問的方式為學生提供適宜、小步調(diào)的線索，在完成簡單任務(wù)的基礎(chǔ)上不斷深化對最終任務(wù)的認識，進而借助支架一步步地向上攀升.根據(jù)維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)”理論，命題者一般已預(yù)設(shè)好學生當下的知識水平不足以解決問題，于是通過設(shè)計支架幫助學生逐步達成理解.從元素構(gòu)成角度來看，尺規(guī)作圖主要通過不斷疊加直線與圓作出目標圖形，疊加次數(shù)越多往往推理層級越高，問題也就越具挑戰(zhàn)性.事實上，尺規(guī)作圖的基本特征之一正是“有限次”操作，這意味著只要理論上通過作圖使得目標圖形存在[3]，再提供適當支架便能讓學生在面對頗有難度的挑戰(zhàn)性任務(wù)時，基于作圖經(jīng)驗、順應(yīng)支架引導向更高階的思維邁進.

案例3?（2022年揚州）問題提出：如何用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條直線或圓弧平分已知扇形的面積？

初步嘗試：如圖7，已知扇形OAB，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺過圓心O作一條直線，使扇形的面積被這條直線平分；

問題聯(lián)想：如圖8，已知線段MN，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一個以MN為斜邊的等腰直角三角形MNP；

問題再解：請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條以點O為圓心的圓弧，使扇形OAB的面積被這條圓弧平分．（友情提醒：以上作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡）

評析?本題通過支架式設(shè)問先讓學生在第一問中體會角平分線的等分價值，然后在第二問中通過尺規(guī)作等腰直角三角形初步感悟2∶1的邊長關(guān)系，最后在公式推導、計算說理后發(fā)現(xiàn)小扇形與大扇形的半徑比也是2∶1，進而融合前兩個支架一起解決用圓弧平分扇形面積的作圖問題.由于本題作圖分三次完成，學生每次在紙面上留下的作圖痕跡，都是嘗試、分析、思考、論證的重要依據(jù)，均能為問題探究提供思路與經(jīng)驗，為學生營造一個認知遞進的思維空間，在考察動手操作能力的同時亦關(guān)注核心素養(yǎng)的發(fā)展與進階.

4?尺規(guī)作圖的教學展望

4.1?以文化作為尺規(guī)作圖教學的基底色

從數(shù)學史的發(fā)展來看，自從推理論證與形式邏輯的規(guī)范體系建立后，量尺和圓規(guī)作為生產(chǎn)、生活的工具便被視為數(shù)學思想的重要事物，是2500年前人類精神世界抽象產(chǎn)出的代表，其承載了豐厚的數(shù)學文化.事實上，文化的形成過程本身就是一個探索、研究的過程，因此上述提到的三類尺規(guī)作圖問題雖以不同的探究形式呈現(xiàn)，但無一例外地蘊含了諸多文化要素，并貫穿于整個問題設(shè)計中.如，案例1中主題探究的原型正是古希臘三大幾何作圖問題之一的三等分角問題[4]，有著不可估量的文化研究價值；案例2以材料閱讀的形式介紹了中國古代數(shù)學家證明勾股定理的方法，將數(shù)學文化與愛國主義教育進行了較好的融合；案例3則以搭建支架的形式體現(xiàn)了《幾何原本》中所構(gòu)建的公理化思想.

“新課標”在“課程性質(zhì)”與“課程理念”中分別提到，“數(shù)學承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分”“要關(guān)注數(shù)學學科發(fā)展前沿與數(shù)學文化”，并明確建議在試題命制中“適當引入數(shù)學文化”.由此可見，無論是教學還是評價，“新課標”在文化滲透方面均提出了較高的要求.在“新課標”背景下，秉持著以評促教的觀念，應(yīng)將文化視為尺規(guī)作圖教學的底色，讓學生在獲得浸潤與熏陶的同時，以文化為載體增強學生對于尺規(guī)作圖內(nèi)涵、思想的理解與頓悟.正如史寧中教授所說，尺規(guī)作圖教學，要教想法，更要教想象力，而非作圖技巧.數(shù)學文化作為一個偌大的精神糧倉，可以為學生源源不斷地輸送靈感，將其融入尺規(guī)作圖教學為發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)提供了新的方式與契機.當然，這同時也對教師的學科職業(yè)素養(yǎng)提出了更高的要求，驅(qū)使著教師源源不斷地汲取知識、拓寬視野、提升自我.

4.2?將推理作為尺規(guī)作圖教學的著力點

在西方數(shù)學史上，無刻度的直尺與圓規(guī)曾被譽為歐幾里得工具，是操作工具之上的抽象思維工具，一度被視為訓練思維、提升腦力的重要手段.探究類試題一般是對某個綜合、復(fù)雜問題的深入研究，需要通過推理突破條件設(shè)置的重重障礙，最終實現(xiàn)作圖目標.因此，在以上三類探究性尺規(guī)作圖問題中，均融入了推理要素并以不同形態(tài)呈現(xiàn).如，案例1以等分弧為主題運用了對比、類比、猜想、歸納等數(shù)學思想，突出了對推理方法的考察；在案例2中，學生需要對文本信息進行篩選與判斷，通過提取閱讀材料的核心內(nèi)容將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言再轉(zhuǎn)化為作圖語言，體現(xiàn)了信息收集、整合、轉(zhuǎn)化等方面的推理能力；在案例3中，題目以層層遞進的設(shè)問方式讓學生經(jīng)歷講邏輯、重聯(lián)系的思考過程，考察了從推理意識到推理能力的素養(yǎng)進階水平.

在大力倡導核心素養(yǎng)發(fā)展的教改背景下，“推理能力”是初中生必備核心素養(yǎng)之一.“新課標”指出“推理能力主要是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論的能力，有助于逐步養(yǎng)成重論據(jù)、合乎邏輯的思維習慣，形成實事求是的科學態(tài)度與理性精神.”在“新課標”對推理素養(yǎng)要求逐漸提高的情況下，尺規(guī)作圖以其凸顯幾何本質(zhì)、操作簡易方便等優(yōu)勢，逐漸成為了訓練或考察學生推理水平的有效著力點.將尺規(guī)作圖與推理、探究相融合，并不亞于時下熱門的“問題解決”，其以微研究的試題形態(tài)將尺規(guī)作圖中的推理要素放大化，基于尺規(guī)的本源性幾何特征更加明晰了推理教學的學科性與層次性.因此，如何在教學中創(chuàng)意十足、方式多樣地將尺規(guī)作圖與推理素養(yǎng)相結(jié)合，并以此促進學生推理能力教學的優(yōu)化改革，具有有一定的前瞻教育意義，需要教師們在教學實踐中持續(xù)不斷地探索.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]石建華，張壽彬.從“愿讀”到“會讀”——初中生數(shù)學閱讀能力培養(yǎng)策略[J].教育研究與評論（中學教育教學），2020（12）：51-55.

[3]方運加.聊聊“尺規(guī)作圖”[J].中小學數(shù)學（初中版），2021（11）：4-7.

[4]向坤，寧連華.從尺規(guī)作圖看古希臘數(shù)學觀及其對教育的啟示[J].數(shù)學教育學報，2013，22（01）：100-102.

作者簡介?周煉（1992—），男，江蘇泰州人，中學一級教師；曾獲江蘇省教科研先進個人，江蘇省青年教師初中數(shù)學教學基本功大賽一等獎，泰州市卓越教師培養(yǎng)對象.