發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的基本途徑分析

［摘? 要］ 實(shí)踐證明，新穎的教育理念，扎實(shí)的文化底蘊(yùn)，多元化的教學(xué)手段，先進(jìn)的運(yùn)算思想等，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的重要因素. 文章從“親歷過程，感知運(yùn)算意義”“注重策略，優(yōu)化運(yùn)算過程”“加強(qiáng)反思，形成良好習(xí)慣”三方面展開闡述.

［關(guān)鍵詞］ 運(yùn)算能力；策略；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

作者簡介：李春陽（1974—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

運(yùn)算能力是我國基礎(chǔ)教育的主要內(nèi)容之一，體現(xiàn)著學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng). 一直以來，教師都很重視對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)，但因運(yùn)算問題導(dǎo)致的失分現(xiàn)象還是屢見不鮮. 其主要原因在于學(xué)生對(duì)運(yùn)算的重視程度不夠或理解不夠精準(zhǔn)，只是將目光集中在運(yùn)算法則的記憶上，而后憑借經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行模仿解題，因?qū)\(yùn)算的意義缺乏理解，而導(dǎo)致失誤的產(chǎn)生［1］.

本文通過對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)進(jìn)行分析，并結(jié)合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)等，談?wù)勗诮虒W(xué)中提高學(xué)生運(yùn)算能力的具體措施，以期引起各位同行的關(guān)注與思考.

親歷過程，感知運(yùn)算意義

隨著時(shí)代的發(fā)展，繁雜的運(yùn)算都可以借助先進(jìn)的工具去解決，因而《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）對(duì)學(xué)生運(yùn)算的要求并沒有在原來的基礎(chǔ)上提高. 但這并不代表我們可以放寬對(duì)運(yùn)算的要求，降低對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力培養(yǎng)的要求. 而應(yīng)結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況與運(yùn)算的內(nèi)涵，及時(shí)調(diào)整教學(xué)手段，尤其要轉(zhuǎn)變只注重計(jì)算技巧與熟練度的思想，要將目光轉(zhuǎn)移到對(duì)運(yùn)算意義的理解上.

案例1? “平方差公式”的教學(xué)

“平方差公式”是學(xué)生步入初中階段后遇到的第一個(gè)重要的乘法公式，是學(xué)生整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯中的重要基礎(chǔ)，也是恒等式變形的主要依據(jù). 這是一個(gè)具有特殊形式的乘法，是從一般到特殊的典范，因此教師可將“平方差公式”的運(yùn)算教學(xué)過程定位成一個(gè)模板，供學(xué)生后期學(xué)習(xí)其他內(nèi)容作參考.

教學(xué)時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷該公式的形成過程，透徹理解該公式的結(jié)構(gòu)特征與意義，為實(shí)際運(yùn)算應(yīng)用夯實(shí)基礎(chǔ). 實(shí)踐表明，學(xué)生在運(yùn)用該公式進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，常出現(xiàn)的錯(cuò)誤類型有：①符號(hào)錯(cuò)誤，如（2m-5n）·（-2m-5n）=4m2-25n2；②系數(shù)忘記進(jìn)行平方，如（2m-5n）（-2m-5n）= -2m2+5n2.

之所以會(huì)出現(xiàn)以上錯(cuò)誤，是因?yàn)閷W(xué)生沒有徹底弄清楚該公式的結(jié)構(gòu)特征和意義. 因此，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)從多角度進(jìn)行引導(dǎo)，讓學(xué)生親歷該公式的形成過程，深刻理解其意義. 筆者在執(zhí)教本節(jié)課時(shí)，采用了如下教學(xué)流程.

1. 情境創(chuàng)設(shè)，激發(fā)探究興趣

問題情境：一位狡猾的農(nóng)場(chǎng)主，將一塊正方形的土地租給一位租客作養(yǎng)殖場(chǎng). 一年后，該農(nóng)場(chǎng)主跟這位租客協(xié)商，說我將這塊地的一邊收回4 m，另一邊給你增加4 m，租金不發(fā)生變化. 這位租客覺得土地面積和原來一樣，就悅?cè)煌饬? 你們覺得土地面積和原來一樣嗎？

面對(duì)這個(gè)情境，學(xué)生眾說紛紜，有學(xué)生認(rèn)為一樣，有學(xué)生覺得農(nóng)場(chǎng)主應(yīng)該會(huì)選擇利于自己的租賃方案等. 學(xué)生的積極性都被這個(gè)情境調(diào)動(dòng)了起來，一個(gè)個(gè)都表現(xiàn)出濃郁的探究欲.

2. 數(shù)形結(jié)合，引發(fā)探究行為

方法1：

如圖1，在一個(gè)邊長為a的正方形的左下角剪掉一個(gè)邊長為b的小正方形，剩下部分的面積為a2-b2. 如圖2，將陰影部分沿著虛線剪開重新拼接，所得的長方形面積為（a+b）（a-b）.

方法2：

如圖3，在邊長為a的正方形中間剪下一個(gè)邊長為b的小正方形，此時(shí)陰影部分的面積是a2-b2. 如圖4，將圖3中的陰影部分，分解成四個(gè)小長方形并拼接，可構(gòu)造一個(gè)新的長方形，此長方形面積為（a+b）（a-b）.

方法3：構(gòu)造梯形

在一個(gè)邊長為a的正方形左下角剪掉一個(gè)邊長為b的小正方形，剩下圖形的面積為a2-b2. 如圖6，剪開陰影部分拼接，構(gòu)造一個(gè)梯形，所得梯形面積為（a+b）（a-b）.

通過以上3種方法，都能直觀地看出a2-b2=（a+b）（a-b），當(dāng)然，除了這幾種方法，還可以通過構(gòu)造三角形、平行四邊形等方式來證明此公式成立.

3. 多元表征，深化理解

認(rèn)知心理學(xué)提出，表征是指在對(duì)象不顯現(xiàn)下，用符號(hào)或符號(hào)集來替代該對(duì)象，一般以語言、圖形、文字、符號(hào)等方式呈現(xiàn). 統(tǒng)一學(xué)習(xí)對(duì)象，并用多種形式描繪與表征，能深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解.

平方差公式的表征可有：①語言表征，鼓勵(lì)學(xué)生通過對(duì)公式解讀，用口頭語言表達(dá)，以加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力；②符號(hào)表征，即用a2-b2=（a+b）（a-b）這個(gè)等式進(jìn)行表征；③操作表征，即用取值的方法分別計(jì)算（a+b）（a-b）與a2-b2的值，通過列表分析，并在結(jié)果對(duì)比中進(jìn)行猜想，最后證明它們之間存在怎樣的代數(shù)式關(guān)系；④模型表征，用□與○代表數(shù)、單項(xiàng)式或多項(xiàng)式，讓學(xué)生深層次理解a，b的實(shí)際意義，從而深化對(duì)公式的結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識(shí)，如（□+○）（□-○）=□2-○2.

學(xué)生通過實(shí)踐探索與多元表征對(duì)“平方差公式”不僅僅有了表面的認(rèn)識(shí)，還對(duì)該公式的來龍去脈都有著深刻理解. 因親歷了概念的形成與發(fā)展過程，學(xué)生對(duì)此概念產(chǎn)生了更加形象、直觀、深刻的認(rèn)識(shí)，為后期的學(xué)習(xí)夯實(shí)了基礎(chǔ).

注重策略，優(yōu)化運(yùn)算過程

運(yùn)算過程是指根據(jù)運(yùn)算法則，從已知的對(duì)象中推導(dǎo)出結(jié)論的過程，其實(shí)質(zhì)為一個(gè)推理的過程. 如高斯定理，當(dāng)遇到1+2+3+…+99+100的計(jì)算時(shí)，高斯考慮到100+1=99+2=98+3=…=51+50=101，因此，該計(jì)算的結(jié)論為50×101=5050. 這種記載是否為他當(dāng)時(shí)的計(jì)算策略，如今雖無法考證，但此結(jié)論的獲得必然經(jīng)歷了一個(gè)運(yùn)算推理的過程.

運(yùn)算策略的滲透，可簡化運(yùn)算，優(yōu)化解題過程.

遇到計(jì)算求解的問題，一般學(xué)生都會(huì)首先結(jié)合自身的生活經(jīng)驗(yàn)，提取自己熟悉的運(yùn)算方式. 傳統(tǒng)的運(yùn)算策略傳授，一般就是直接介紹運(yùn)算法則與通用通法，而忽略了學(xué)生的具體認(rèn)知水平. 隨著新課改的推進(jìn)，如今的運(yùn)算策略滲透是結(jié)合了學(xué)生最近發(fā)展區(qū)而設(shè)計(jì)的，使學(xué)生在潛移默化中掌握一定的運(yùn)算技巧.

中學(xué)階段的學(xué)生擁有較強(qiáng)的思維能力，有些學(xué)生甚至能歸納出自己獨(dú)有的計(jì)算策略，這種自主產(chǎn)生的能力，可解決遇到的多種問題. 因此，筆者認(rèn)為在課堂教學(xué)中，教育者應(yīng)注重對(duì)問題中所存在的數(shù)量關(guān)系的分析，借助圖形、表格等，幫助學(xué)生獲得數(shù)量關(guān)系中的實(shí)質(zhì)聯(lián)系，并以檢驗(yàn)的方式來確定式子的合理性.

同時(shí)，師生之間和諧的交流，也能讓學(xué)生猜想、嘗試更多，并在驗(yàn)證中獲得答案. 或許有人會(huì)提出疑問：直接將計(jì)算方式告訴學(xué)生不就行了，為什么還要花費(fèi)那么多時(shí)間引導(dǎo)學(xué)生感知其過程呢？

其實(shí)這是一個(gè)價(jià)值取向的問題，直接告訴學(xué)生運(yùn)算規(guī)則，容易讓學(xué)生形成一種思維定式，遇到問題時(shí)就習(xí)慣性地用一種方式去解決. 長此以往，思維就產(chǎn)生惰性，從而導(dǎo)致學(xué)習(xí)變得一成不變，毫無創(chuàng)新可言.

教師應(yīng)善于捕捉學(xué)生的思維生長點(diǎn)，及時(shí)激發(fā)學(xué)生思維的創(chuàng)造性，讓學(xué)生在運(yùn)算能力上有所突破. 若教師一味地打壓學(xué)生的積極性，只允許學(xué)生用循規(guī)蹈矩的方式解決問題，不僅會(huì)影響學(xué)生運(yùn)算能力的形成與發(fā)展，還會(huì)將學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)扼殺在搖籃中.

案例2? “一元一次方程”的教學(xué)

解方程：x+=x+1.

不少學(xué)生拿到此方程，都是按照常規(guī)運(yùn)算方式，在等號(hào)的兩邊同時(shí)乘3，可得式子3x+1=x+3，通過移項(xiàng)合并同類項(xiàng)后，得2x=2，在此等式兩邊同時(shí)除以2，獲得x=1的結(jié)論；也有部分學(xué)生采取先移項(xiàng)合并同類項(xiàng)，然后將x的系數(shù)轉(zhuǎn)化成1；還有學(xué)生提出：是否可以將x和1，x和放在一起考慮，即將“x-1”視為一個(gè)整體，這樣就能快速獲得x=1的結(jié)論了.

按部就班的思維方式在運(yùn)算過程中，能呈現(xiàn)出積極、有利的一面，但也存在負(fù)面影響. 學(xué)生常常用慣性思維去思考問題，長此以往就容易出現(xiàn)思維定式，從而影響運(yùn)算效率，出現(xiàn)運(yùn)算過程冗長、繁雜的現(xiàn)象，而思維也會(huì)處于僵化的狀態(tài)，難以呈現(xiàn)出思維的創(chuàng)造性與靈活性特征，從而阻礙了學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的形成與發(fā)展［2］.

上題中，第3種解題方法，運(yùn)用整體思想，將“x-1”視為一個(gè)整體進(jìn)行運(yùn)算. 這種方法打破了學(xué)生的思維定式，使得解題過程變得輕松、簡便、快捷. 這種方法的應(yīng)用不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法在計(jì)算中的重要性，還彰顯了思維的靈活性與創(chuàng)新性，這也是促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)形成與發(fā)展的基礎(chǔ).

加強(qiáng)反思，形成良好習(xí)慣

弗賴登塔爾提出，反思是思維活動(dòng)的核心與基本動(dòng)力，缺乏反思，學(xué)生的思維就無法上升到更高的階層. 《課標(biāo)》提出，人們用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，會(huì)經(jīng)歷感知、感悟、建構(gòu)與反思等思維過程，這能幫助學(xué)習(xí)者對(duì)客觀事物中的數(shù)學(xué)模式做出準(zhǔn)確的判斷. 由此可見，反思在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性. 學(xué)會(huì)自我反思是師生獲得成長的基本途徑，也是提升教學(xué)效率的根本.

運(yùn)算過程中，養(yǎng)成良好的反思習(xí)慣，能幫助學(xué)生突破思維的障礙，讓學(xué)生及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的癥結(jié)，另辟蹊徑，獲得更好的解題方法. 初中運(yùn)算過程中的反思類型，主要有以下幾種.

1. 對(duì)錯(cuò)誤的成因反思

學(xué)生在運(yùn)算時(shí)，難免會(huì)出現(xiàn)各種錯(cuò)誤. 出現(xiàn)錯(cuò)誤并不可怕，應(yīng)對(duì)錯(cuò)誤的方式彌足重要. 學(xué)生出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤的原因多種多樣，常見的錯(cuò)誤主要表現(xiàn)在新舊知識(shí)更替時(shí)，對(duì)概念、命題、符號(hào)間的關(guān)系理解得不清楚，出現(xiàn)認(rèn)知上的編碼錯(cuò)誤，或認(rèn)知上的負(fù)遷移等.

案例3? “分式”的教學(xué)

課堂中，學(xué)生遇到了這樣一道計(jì)算題：+-.

巡視過程中，筆者發(fā)現(xiàn)有學(xué)生的解題過程如下：

原式=5（x+2）-4（x+3）+2（x-2）=3x-6.

很顯然，這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，然而出現(xiàn)這種錯(cuò)誤的根源是什么呢？為了從根本上杜絕此類錯(cuò)誤的再次發(fā)生，筆者引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)分析錯(cuò)誤原因，以期找出問題的癥結(jié). 通過教師的引導(dǎo)與學(xué)生的自主探究，在分析后，該生終于發(fā)現(xiàn)自己出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因在于將分式方程的去分母環(huán)節(jié)遷移到分式計(jì)算上了，這是典型的知識(shí)負(fù)遷移引起的錯(cuò)誤.

一旦找到錯(cuò)誤的根源，問題就好解決了. 此時(shí)，筆者因勢(shì)利導(dǎo)地提出：“這種解題方法顯然行不通，那是否可以從分式方程的角度來解決本題呢？”隨著此問的提出，學(xué)生自主進(jìn)入合作交流的狀態(tài)，經(jīng)討論分析，學(xué)生展示出了新的解題方法：

設(shè)+-=A，

去分母可得：

5（x+2）-4（x+3）+2（x-2）=（x+3）·（x+2）（x-2）A，

整理得：

3x-6=（x+3）（x+2）（x-2）A.

此時(shí)可順利得出結(jié)論.

從此過程來看，將錯(cuò)誤當(dāng)成一種教學(xué)資源，充分發(fā)揮其教學(xué)意義，即能幫助學(xué)生尋找出錯(cuò)誤成因，又能啟發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生領(lǐng)悟知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，從而厘清運(yùn)算間的關(guān)系，提升運(yùn)算能力.

2. 對(duì)運(yùn)算過程的反思

教師不僅僅要關(guān)注學(xué)生的運(yùn)算錯(cuò)誤，還要重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生的運(yùn)算過程，看學(xué)生是否能規(guī)范、科學(xué)地應(yīng)用運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，觀察學(xué)生是否能結(jié)合問題條件，探尋到科學(xué)、合理、便捷的運(yùn)算方式［3］. 規(guī)范的運(yùn)算過程，充分體現(xiàn)了學(xué)生的運(yùn)算能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng).

案例4? “圖形推理”的計(jì)算

如圖7，在△ABC中，∠ACB為直角，已知AB=5，BC=12，CO⊥AB，點(diǎn)D為線段BO上的一點(diǎn)，且AC∥ED，DE=2，∠ADE<90°，分別連結(jié)CD，BE，若點(diǎn)P，O分別為BE，CD的中點(diǎn). （1）分別求AO，PQ的長度，（2）若AB，PQ相交于點(diǎn)M，請(qǐng)寫出PM-MQ的值.

第（1）問，用射影定理或等面積法容易解得AO=. 求PQ的長，是用勾股定理（構(gòu)造直角三角形），還是利用中位線（點(diǎn)P，Q分別為BE，CD的中點(diǎn)）定理呢？

BE，CD這兩條線段并不在一個(gè)三角形中，因此無法直接引用中位線定理來解決問題. 根據(jù)AC∥ED這個(gè)條件，可延長ED與BC相交于點(diǎn)F，可知∠CFD=∠BFE，且均為直角. 在直角三角形BEF中，點(diǎn)P為BE邊的中點(diǎn)，作PH與EF平行，且分別交AB，BC 邊于點(diǎn)R，H，那么PR=DE=1，RH=DF. 在直角三角形DFC中，作QG平行于DF， 與BC邊相交于點(diǎn)G，可知QG=FD. 再連結(jié)QR，容易證得四邊形GHRQ是一個(gè)矩 形，由此可知△PRQ為一個(gè)直角三角形，∠QRP=90°. 經(jīng)推理可得PQ=.

第（2）問，從第（1）問可知PQ=，只要知道PM ∶ MQ的值，即可獲得問題的結(jié)論（過程略）.

從本題的解題過程來看，計(jì)算與圖形相關(guān)的線段長度，可以應(yīng)用推理法來獲得結(jié)論. 學(xué)生在推理過程中，對(duì)照自身原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，思考所采用的計(jì)算策略是否合理，從而有效地提升自身的運(yùn)算能力，為核心素養(yǎng)的形成奠定基礎(chǔ).

總之，運(yùn)算能力是制約學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的一個(gè)重要因素，教師應(yīng)在教學(xué)中精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程，讓學(xué)生親歷定理、公式或法則的形成與發(fā)展過程，從內(nèi)心深處感知運(yùn)算的實(shí)際意義. 同時(shí)還要注重運(yùn)算策略的點(diǎn)撥，鼓勵(lì)學(xué)生加強(qiáng)反思，以便優(yōu)化運(yùn)算過程，為形成良好的運(yùn)算習(xí)慣奠定基礎(chǔ).

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