數(shù)學教學應滲透思想、注重邏輯與整體聯(lián)系

鄧冬華 羅敏

［摘? 要］ 好的數(shù)學教學應當教學生思考，教數(shù)學思想方法、教數(shù)學結(jié)構體系以及富有邏輯地呈現(xiàn)結(jié)構體系的生長過程. 文章以“一元一次不等式與一次函數(shù)”的教學為例，嘗試滲透思想、注重邏輯與整體聯(lián)系，以促進學生思維發(fā)展、素養(yǎng)形成.

［關鍵詞］ 數(shù)學思想；邏輯結(jié)構；整體聯(lián)系；一元一次不等式；一次函數(shù)

基金項目：四川省教育廳四川師范大學基礎教育課程研究中心2021年規(guī)劃課題“基于數(shù)據(jù)挖掘的初中生身心健康發(fā)展實踐研究”（課題編號：川KZ202103）；2021年度成都市龍泉驛區(qū)規(guī)劃課題龍泉驛區(qū)“十四五”教育科學規(guī)劃課題“基于學教評一致性的初中數(shù)學備課改進研究”（課題編號：GY2021045）.

作者簡介：鄧冬華（1985—），教育學碩士，中學一級教師，四川師范大學數(shù)學科學學院校碩士生導師，從事中學數(shù)學教學研究、中學教學管理工作.

眾所周知，數(shù)學是思維的體操，數(shù)學教學的核心是數(shù)學思維的教學，促進學生思維發(fā)展與素養(yǎng)形成. 好的數(shù)學教學應當教學生思考、教數(shù)學思想方法、教數(shù)學結(jié)構體系以及富有邏輯地呈現(xiàn)結(jié)構體系的生長過程. 在北師大版數(shù)學八年級下冊“一元一次不等式與一次函數(shù)”一課的教學中，從滲透數(shù)學思想方法、建構結(jié)構體系與注重學科邏輯的視角進行教學設計，很好地實現(xiàn)了數(shù)學整體式思維教學.

教學內(nèi)容的價值判斷分析

1. 價值一：充分滲透數(shù)形結(jié)合思想方法

學生已經(jīng)會用代數(shù)方法解一元一次不等式，能將一元一次方程與一次函數(shù)相聯(lián)系，能從一次函數(shù)的視角理解方程3x+2=0根的問題，初步具備數(shù)形結(jié)合的思想與觀念. 本課將進一步用一次函數(shù)圖象解一元一次不等式問題，以及用一元一次不等式解一次函數(shù)圖象問題，引導學生由數(shù)想形，見形思數(shù)，數(shù)形結(jié)合.

2. 價值二：構建“三個一次”結(jié)構體系

整體聯(lián)系的知識更具力量和價值. 函數(shù)與方程、不等式之間有內(nèi)在的辯證統(tǒng)一關系，“一元一次不等式與一次函數(shù)”一課是梳理“三個一次”（即一次函數(shù)、一元一次方程與一元一次不等式）關系的良好素材. 通過本課內(nèi)容的學習，學生構建函數(shù)、方程、不等式的知識結(jié)構體系，感受數(shù)學內(nèi)容之間的整體聯(lián)系，形成良好的數(shù)學學習觀.

3. 價值三：外顯教學內(nèi)容背后的學科邏輯

細究本課內(nèi)容，在會解一元一次不等式的前提下，為何要用一次函數(shù)解一元一次不等式問題？如何引出課題才不顯得突兀？如何呈現(xiàn)函數(shù)、方程與不等式的整體聯(lián)系？從直線與x軸的關系如何過渡到一般的兩條直線的關系？這些問題的背后是學科邏輯，只有抓住其內(nèi)在邏輯聯(lián)系，教學才能水到渠成，一線連通，自然生長. 學生長期在教師有邏輯的教學下，才能學會有邏輯的思考.

價值判斷下的活動設計

1. 創(chuàng)設情境，引出課題

問題1? 此刻，老師想到了一首詩，宋代蘇軾的《題西林壁》中，“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同. 不識廬山真面目，只緣身在此山中. ”這首詩描述了從不同角度看廬山，廬山呈現(xiàn)出不同的風景. 同一數(shù)學對象，在不同人眼里，是不同的內(nèi)容. 那么，當你看到2x-3，你想到了什么？

設計意圖? 通過古詩，引導學生對2x-3從不同角度進行聯(lián)想，旨在讓學生探究和認識“三個一次”的內(nèi)在聯(lián)系，即引導學生從一次函數(shù)圖象的角度去認識一元一次方程和一元一次不等式解的問題.

生成預設? 有學生看到2x-3想到一次函數(shù)y=2x-3，有學生想到一元一次方程2x-3=0，還有學生想到2x-3<0，2x-3≥0等一元一次不等式. 教師進一步引導學生從“形”的角度看問題，一次函數(shù)y=2x-3的圖象是一條直線，方程2x-3=0的解是直線y=2x-3與x軸交點的橫坐標，這兩個問題之前研究過. 教師繼續(xù)追問學生，一元一次不等式問題能否用一次函數(shù)圖象解決？給學生造成認知沖突，引發(fā)學生思考，引出課題.

2. 理性反思，探索新知

問題2? 你是如何理解“方程2x-3=0的解是直線y=2x-3與x軸交點的橫坐標”的？這對用一次函數(shù)解一元一次不等式有何啟示？

設計意圖? 通過回顧、反思、明晰一次函數(shù)解一元一次方程的原理，從多角度認識一元一次方程，并將此方法遷移去解一元一次不等式，滲透數(shù)形結(jié)合思想.

生成預設? 學生首先從代數(shù)的角度認識此問題，將2x-3=0視為求一次函數(shù)y=2x-3的函數(shù)值y=0時x的值. 而y=0是x軸的解析式，故2x-3=0可以看作y=2x-3，

y=0， 即兩條直線的交點，從“數(shù)”過渡到“形”. 這兩方面有層級的認識過程必不可少，若學生對此理解有困難，教師應加以復習和引導. 接著追問學生，怎樣理解2x-3<0？遷移方程2x-3=0解的認識過程，學生不難發(fā)現(xiàn)2x-3<0是一次函數(shù)y=2x-3的函數(shù)值y<0時x的值. 再次從“數(shù)”與“形”兩方面追問啟發(fā)學生：從一次函數(shù)y=2x-3的圖象來看，何時y<0？不等式2x-3<0與一次函數(shù)y=2x-3圖象有何關系？通過這兩個問題最終讓學生認識到，不等式2x-3<0可以看成直線y=2x-3在x軸下方時所有x的值，并讓學生認識到此結(jié)果與代數(shù)解法結(jié)果一致.

在這兩部分教學的過程中，有意識地呈現(xiàn)下面的板書內(nèi)容輔助教學，有意識地呈現(xiàn)“三個一次”的邏輯聯(lián)系與整體結(jié)構.

問題3? 你能解決下面兩個問題并說明其中的緣由嗎？

（1）如圖1，直線y=kx+3經(jīng)過點（2，0），則關于x的不等式kx+3>0的解集是什么？

（2）如圖2，直線y=kx+b（k>0）經(jīng)過點A（-2，4），則關于x的不等式kx+b≤4的解集是什么？

設計意圖? 通過這兩個問題，讓學生掌握用一次函數(shù)圖象解決一元一次不等式的基本方法，同時為后面將任意的不等關系看作兩條直線的關系做鋪墊.

生成預設? 第（1）問，若學生先計算出k的值，再用代數(shù)方法求解，這種思路要予以肯定. 但該思路不能解決第（2）問，所以還應引導學生用幾何方法求解. 對于第（2）問，若學生類比前面的方法，先將不等式kx+b≤4轉(zhuǎn)化為kx+b-4≤0，即將直線y=kx+b向下平移4個單位后看直線與x軸的交點的關系，這種思路要肯定，也要引導學生直接將不等式的兩邊各看成一個函數(shù)解析式，即將kx+b與4分別看作直線y=kx+b與y=4，將kx+b≤4看作y≤y，再將其看作直線y=kx+b在直線y=4下方和交點處對應的所有x的值，這中間的邏輯關系需要學生理解和掌握.

3. 問題解決，拓展深化

問題4? 如何用一次函數(shù)圖象解不等式-x+3<3x-4？

設計意圖? 用一次函數(shù)觀點靈活處理一般的解一元一次不等式問題.

生成預設? 學生能夠仿照問題3（2）的解題步驟，比較快速地處理該問題. 將不等式的兩邊分別看作兩條直線：y=-x+3與y=3x-4，y<y即為直線y=-x+3在直線y=3x-4下方部分對應的x的值. 在教學時，要讓學生說出自己的理解和思考過程.

為進一步加深認識與理解，給出變式問題，讓學生用一次函數(shù)圖象解不等式0≤-x+3<3x-4.這樣就實現(xiàn)了從一元一次不等式到一元一次不等式組、從一條直線到多條直線的過渡，整個過程順理成章、自然生成.

問題5? 如圖3，l反映了某產(chǎn)品的銷售收入（單位：元）與銷售量（單位：噸）之間的關系，l反映了該產(chǎn)品的銷售成本（單位：元）與銷售量（單位：噸）之間的關系，當銷售收入大于銷售成本時，該產(chǎn)品才開始贏利. 該產(chǎn)品的銷售量達到多少噸時，生產(chǎn)該產(chǎn)品才能贏利？

設計意圖? 選用這個問題主要有三個目的：（1）凸顯一次函數(shù)與一元一次不等式問題在實際問題中的應用；（2）前面的問題都是用“形”解“數(shù)”，本問題則用“數(shù)”解“形”，進一步突出數(shù)形結(jié)合思想；（3）進一步讓學生體會函數(shù)模型、方程模型、不等式模型之間的關系.

生成預設? 學生處理本問題的難度不大，教學過程中應讓學生進行口頭表達，訓練出聲思維. 處理完問題后，應讓學生充分體會用“形”解“數(shù)”與用“數(shù)”解“形”的數(shù)形結(jié)合思想，還應讓學生體會函數(shù)模型、方程模型與不等式模型之間的聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化. 讓學生認識和理解：刻畫運動變化過程需要用到函數(shù)模型，刻畫運動變化過程中的某一時刻需要用到方程模型，刻畫運動變化過程中同類量之間的大小關系時需要用到不等式模型，函數(shù)、方程、不等式之間存在內(nèi)在聯(lián)系，解決問題時要學會合理選擇模型.

4. 當堂檢測，及時反饋

問題6? 你能解決下列問題嗎？

（1）已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點A（0，-2）與B（3，4），求關于x的不等式kx+b≤4的解集.

（2）已知一次函數(shù)y=x+b與y=kx+4（k<0）的圖象相交于點P（1，3），求關于x的不等式x+b>kx+4的解集.

（3）如圖4，甲、乙兩輛摩托車從相距20 km的A，B兩地相向而行，l，l分別表示甲、乙兩輛摩托車離A地的距離s（單位：km）與行駛時間t（單位：h）之間的函數(shù)關系.

（1）哪輛摩托車的速度較快？

（2）經(jīng)過多長時間，甲車行駛到A，B兩地的中點？

設計意圖? 當堂檢測所學知識，及時過關過手. 有意識地去掉了前兩個問題的圖形，強化學生數(shù)形結(jié)合的能力.

生成預設? 學生能夠比較順利地解決這三個問題，對本節(jié)課所學的知識和方法達到熟悉、鞏固的效果.

5. 課堂小結(jié)，提煉升華

問題7? 本節(jié)課你學到了什么，有什么收獲和感悟？

設計意圖? 引導學生對本節(jié)課的知識、方法、思想、活動進行回顧反思，提煉升華.

生成預設? 學生能夠說到用一次函數(shù)的方法解一元一次不等式，能談到數(shù)形結(jié)合思想方法，但要滲透本節(jié)課的結(jié)構以及研究問題過程中隱含的邏輯主線需要教師進行引導，讓學生有更多的感悟和收獲.

活動設計下的教學思考

1. 數(shù)學教學應重視數(shù)學思想方法的教學，謀求學生長遠發(fā)展

數(shù)學思想方法是串聯(lián)數(shù)學知識的暗線，是數(shù)學知識的精髓和靈魂. 日本數(shù)學教育家米山國藏談到，學生在中學所學到的作為知識的數(shù)學，很快就會被忘掉，但不管他們從事什么工作，能長期在他們的生活和工作中發(fā)揮重要作用的是銘刻于頭腦中的數(shù)學精神與數(shù)學思想方法. 眾多教育學者談到過類似的觀點，現(xiàn)已達成共識. 為讓學生在數(shù)學知識的學習中終身受益，數(shù)學思想方法的教學意義重大，必須重視. 不僅如此，數(shù)學思想方法的滲透應該是多維和立體的. 在本課中，從數(shù)到形，由形到數(shù)，貫穿始終.

2. 數(shù)學教學應重視結(jié)構化的教學，構建整體聯(lián)系

著名教育學家布魯納曾說過，不論我們教什么學科，務必使學生理解該學科的基本結(jié)構［1］.本課的教學定位不僅僅是單一的用一次函數(shù)解一元一次不等式，更重要的是數(shù)形結(jié)合思想的多維滲透，讓學生構建“三個一次”的整體聯(lián)系，學會函數(shù)模型、方程模型與不等式模型的靈活選擇.在教學設計與教學過程中，教師需要有意識地挖掘知識背后的意蘊和價值，借助板書等媒介努力形成知識結(jié)構.唯有這樣，學生在對知識的認識、建構過程中，才能形成正確、豐富、有力量、有價值的認知結(jié)構與思維結(jié)構.

3. 數(shù)學教學應重視數(shù)學邏輯、教學邏輯和學習邏輯，一線貫通，自然生成

數(shù)學是一門邏輯性非常嚴密的學科，數(shù)學教師應該成為最講邏輯的教師. 在這樣的價值追求下，教師要遵循基于學科的數(shù)學邏輯，要遵循基于課堂的教學邏輯，要遵循基于學生的學習邏輯［2］. 在課堂教學實施過程中，借助問題鏈，讓學生充分感受到數(shù)學源于生活，感受到數(shù)學是講道理的，在這樣的文化場中，問題鏈是邏輯鏈、思維鏈，問題解決是思維必然. 在本節(jié)課中，因為基于學生已有的知識基礎與認知基礎，所以用一次函數(shù)解一元一次不等式的提出不顯突兀. 解一元一次不等式先從直線與x軸的關系，再到直線與x軸的平行關系，最后到一般的兩條直線的關系，條理清晰；從用直線解決一元一次不等式到用一元一次不等式解決直線問題等，層次分明……這其中起根本作用的是學科邏輯.

4. 數(shù)學教學的歸宿是學科育人，促進學生思維發(fā)展、素養(yǎng)形成

什么樣的數(shù)學課是好課？此問題沒有標準答案，但好課都是相似的，有諸多共同特征：好課都是平易近人的，能充分抓住學生的思維起點，讓學生都有主動探究的意愿；好課都是自然的，每一個問題的提出恰到好處，每一個問題的解決又都恰好在學生的最近發(fā)展區(qū)，能通過問題不斷激勵學生，通過問題引發(fā)學生深層次思考；好課都是意猶未盡的，立意高遠，充分挖掘背后的資源，給人無限發(fā)展的空間和可能. 歸根結(jié)底，數(shù)學教學的目的和歸宿是學科育人，促進學生思維發(fā)展，培養(yǎng)學生的理性思維，促進學生數(shù)學素養(yǎng)形成.

要設計出好的數(shù)學課，需要教師有正確的數(shù)學教學價值追求——前后一致，邏輯連貫，一以貫之［3］；需要教師有扎實的教育教學功底——理解數(shù)學、理解教學、理解學生［4］.

參考文獻：

［1］杰羅姆·布魯納. 教育過程［M］. 邵瑞珍，譯. 北京：人民教育出版社，1978.

［2］張鶴. 數(shù)學教學的邏輯：基于數(shù)學本質(zhì)的分析［M］. 北京：首都師范大學出版社，2016.

［3］卜以樓. 生長數(shù)學：卜以樓初中數(shù)學教學主張［M］. 西安：陜西師范大學出版總社，2018.

［4］章建躍. “卡西歐杯”第五屆全國高中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動總結(jié)暨大會報告 理解數(shù)學 理解學生? 理解教學［J］. 中國數(shù)學教育，2010（24）：3-7，15.