如何更好地把握分?jǐn)?shù)的意義

鄒敏慧

學(xué)生對數(shù)的認(rèn)知是從整數(shù)開始的，整數(shù)對應(yīng)具體的事物的量，是可數(shù)、可累加的。分?jǐn)?shù)是數(shù)系的重要擴充，但分?jǐn)?shù)沒有整數(shù)那樣的十進位值制的計數(shù)系統(tǒng)。整數(shù)可以由“一”“十”“百”等計數(shù)單位構(gòu)建與累加，分?jǐn)?shù)的教學(xué)似乎更需要努力強化數(shù)之間的關(guān)聯(lián)。要想解決這樣的教學(xué)問題，我們要從分?jǐn)?shù)的意義切入，讓學(xué)生從數(shù)的建構(gòu)入手，理解整數(shù)與分?jǐn)?shù)的一致性，靈活使用分?jǐn)?shù)解決問題。

一、從計數(shù)單位入手，感知分?jǐn)?shù)如何表示具體量

分?jǐn)?shù)也是數(shù)，與整數(shù)一樣，是有計數(shù)單位的，所以讓學(xué)生認(rèn)識到分?jǐn)?shù)有計數(shù)單位、能對應(yīng)相應(yīng)的量，是打通分?jǐn)?shù)認(rèn)識的第一個環(huán)節(jié)。人教版數(shù)學(xué)三年級的教材強調(diào)分?jǐn)?shù)表示部分與整體的關(guān)系，這是抽象的，對處于具體思維階段的學(xué)生而言是有難度的。

教學(xué)中，我們要順應(yīng)兒童認(rèn)知事物的發(fā)展規(guī)律，借助分物的事實，從“平均分”入手，強化學(xué)生對“幾分之一”的量的認(rèn)識，再構(gòu)建“幾分之幾”的量的概念，幫助學(xué)生建立具體量與相應(yīng)分?jǐn)?shù)的對應(yīng)關(guān)系。例如：將一塊月餅平均分成4份，每份是這塊月餅的1/4，每份就是1/4塊月餅，這里的1/4就是一個計數(shù)單位；3份就是3個1/4，也就是3/4塊月餅，這里的3/4既表示3小塊月餅的多少，又表示3小塊月餅的累加。在這樣具體事物的表征中，學(xué)生感受到分?jǐn)?shù)與具體量的對應(yīng)關(guān)系：分?jǐn)?shù)也能由一個計量單位具象累加到多個，進而感知分?jǐn)?shù)與整數(shù)的統(tǒng)一性（計數(shù)單位的累加）。只有由分?jǐn)?shù)的計數(shù)單位過渡到其他分?jǐn)?shù)的認(rèn)知，學(xué)生才能從“量”的角度去理解分?jǐn)?shù)有大小且可在統(tǒng)一的分?jǐn)?shù)單位下累加運算。有了對應(yīng)表征，學(xué)生才能撥開分?jǐn)?shù)的第一層外衣，進一步探究分?jǐn)?shù)的意義。

二、在對比教學(xué)中理解分?jǐn)?shù)在量上的具體表達(dá)

分?jǐn)?shù)是整數(shù)的拓展延伸。讓學(xué)生在感知分?jǐn)?shù)是一種數(shù)、可以表示具體量的基礎(chǔ)上，抽象出分?jǐn)?shù)可以表示兩個量之間的關(guān)系、是一種相對量，能更好地讓學(xué)生體會分?jǐn)?shù)的特性。

例如，教學(xué)“將1塊月餅、8塊月餅、6塊月餅、3塊月餅平均分給4個小朋友，每個小朋友分別分得多少塊月餅？每個小朋友分得了這些月餅的幾分之幾？”問題時，教師引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖的方式分別呈現(xiàn)1/4塊、2塊、6/4塊、3/4塊的月餅量，讓學(xué)生感知分?jǐn)?shù)在量方面的表達(dá)。同時，每次分割，每名學(xué)生得到的數(shù)量不同，但是得到的始終是4份中的1份，與整體月餅數(shù)量的多少無關(guān)，都可以用1/4表示得到的份額與整體之間的關(guān)系。在這樣的對比教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)歷從“數(shù)量比”到“份數(shù)比”的過渡，不僅更清楚地知道分?jǐn)?shù)在量上的具體表達(dá)，還能對比感知分?jǐn)?shù)在數(shù)量關(guān)系上表達(dá)的簡潔性。從量的對應(yīng)到數(shù)量關(guān)系的表達(dá)，學(xué)生對分?jǐn)?shù)的認(rèn)知也從具體認(rèn)知上升到抽象思維層次。

三、在“商”的意義中理解分?jǐn)?shù)的本質(zhì)

隨著學(xué)段的升高，分?jǐn)?shù)的認(rèn)識要從“分物”拓展到自然數(shù)除法的推廣上來，讓學(xué)生從商的角度體會分?jǐn)?shù)是一種數(shù)，讓分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)更符合數(shù)域的發(fā)展過程?！吧獭钡囊饬x是分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，需要在分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系中理解，最終達(dá)成分?jǐn)?shù)概念的擴展。

例如：“小紅有5個蘋果，小明有3個蘋果，小明的蘋果數(shù)是小紅的3/5，小明的蘋果數(shù)是兩人蘋果數(shù)的3/8?！边@里的3/5是通過小明的蘋果數(shù)除以小紅的蘋果數(shù)得到的，3/8是通過小明的蘋果數(shù)除以兩個人的蘋果數(shù)之和得到的。這里的兩個分?jǐn)?shù)不是表達(dá)某個量的一部分，而是通過除法得到的兩個獨立量之間的關(guān)系，不能整除時，結(jié)果可以用分?jǐn)?shù)表示。這樣，兩個量的關(guān)系就從整數(shù)倍、小數(shù)倍拓展到分?jǐn)?shù)倍；而兩個數(shù)或者兩個關(guān)聯(lián)量的關(guān)系用除法作商不能整除時，通過分?jǐn)?shù)來表述就可以產(chǎn)生一個新的數(shù)，分?jǐn)?shù)的意義就擴充到了數(shù)域的運算，這既與整數(shù)、小數(shù)從“倍比”角度建立起聯(lián)系，又與數(shù)域中數(shù)的運算性質(zhì)保持一致性。

分?jǐn)?shù)的意義十分豐富，既可以表示具體的量，又可以表示關(guān)系，它既是數(shù)，也是建立數(shù)量關(guān)系的工具，只有從多個角度整體把握分?jǐn)?shù)的意義，才能體會分?jǐn)?shù)的價值。教學(xué)中，我們要層層推進，從具體到抽象地引導(dǎo)學(xué)生感知分?jǐn)?shù)存在的意義，聯(lián)系除法感受分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，理解分?jǐn)?shù)與整數(shù)的一致性。

（作者單位：咸寧實驗外國語學(xué)校）

責(zé)任編輯 ?張敏