寒冷地區(qū)汽車關(guān)鍵部位運(yùn)行壽命可靠性數(shù)學(xué)建模研究

張永華

（安康職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，安康 725000）

引言

汽車在行進(jìn)過程中，當(dāng)處于不同溫度地區(qū)時(shí)，其自身部件的故障率與可靠性均會(huì)發(fā)生變化[1]。在低溫條件下，當(dāng)汽車行駛速度加快，其車輪材料的斷裂韌性開始下降。而在低溫、嚴(yán)寒地區(qū)，降雨、降雪等氣候條件下，車輪很容易發(fā)生打滑[2]，引發(fā)車輪疲勞破壞，從而降低了關(guān)鍵部件的使用壽命和可靠性。

通過判定汽車關(guān)鍵部件的失效情況，可以得出該部件的故障損壞或報(bào)廢時(shí)間[3,4]。因此，可依據(jù)部件失效情況，獲取其運(yùn)行壽命與可靠性。有較多學(xué)者對(duì)部件的運(yùn)行壽命與可靠性進(jìn)行了分析，例如舒愛梅等[5]分析了溫度場(chǎng)分布下汽車排氣系統(tǒng)振動(dòng)疲勞壽命，利用雙向流固耦合等數(shù)值計(jì)算了溫度場(chǎng)的分布，采用Dirlik 估計(jì)法估算了汽車排氣系統(tǒng)的振動(dòng)疲勞壽命。Reza 等[6]，研究了軸向和多軸變幅載荷條件對(duì)汽車轉(zhuǎn)向節(jié)疲勞壽命評(píng)估的影響。該方法考慮了不同的載荷工況，使用效應(yīng)力準(zhǔn)則的概率方法通過瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析提取的轉(zhuǎn)向連桿根部應(yīng)力張量的時(shí)程評(píng)估部件的疲勞壽命。

為了進(jìn)一步明確寒冷低溫對(duì)汽車部件疲勞壽命的影響，本文研究了寒冷地區(qū)汽車關(guān)鍵部位運(yùn)行壽命可靠性數(shù)學(xué)建模，利用數(shù)學(xué)模型實(shí)現(xiàn)多種溫度下的汽車關(guān)鍵部位運(yùn)行壽命可靠性。

1 汽車關(guān)鍵部位運(yùn)行壽命可靠性數(shù)學(xué)建模

1.1 摩擦溫升數(shù)學(xué)模型

寒冷地區(qū)汽車關(guān)鍵部位在運(yùn)行時(shí)會(huì)同接觸范圍產(chǎn)生摩擦升溫，摩擦熱通過接觸表面向關(guān)鍵部件內(nèi)部傳輸，同時(shí)同周圍環(huán)境完成輻射換熱，利用公式（1）描述摩擦熱的導(dǎo)熱過程：

式中：

T—汽車關(guān)鍵部位溫度；

ρ—汽車關(guān)鍵部位材料密度；

c—汽車關(guān)鍵部位材料質(zhì)量熱熔；

λ—熱導(dǎo)率；

?—Hamilton 算子。

因?yàn)槭艿胶涮鞖庀碌蜏丨h(huán)境的影響，使得汽車關(guān)鍵部件的接觸范圍出現(xiàn)一定的溫差，汽車運(yùn)行過程中，關(guān)鍵部件同接觸部件間存在熱量變換關(guān)系，通過全局換熱系數(shù)描述該種熱量變換關(guān)系，則有：

式中：

enw、 enr—汽車零部件同接觸面的法向矢量；

Tw、Tr—汽車零部件和接觸面的表面溫度；

h—汽車零部件非接觸區(qū)域同周圍環(huán)境的傳熱吸收。

用式（4）描述汽車零部件的非接觸區(qū)域表面同周圍環(huán)境的導(dǎo)熱情況：

式中：

T0—環(huán)境溫度。

1.2 溫度范圍的確定

外界環(huán)境條件不同，以及汽車零部件自身存在一定的發(fā)熱溫度，使得汽車零部件承受的溫度區(qū)間存在較高的差異。依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)QC/T 413-1999《汽車電氣設(shè)備基本技術(shù)條件》規(guī)定的汽車電氣產(chǎn)品溫度范圍，設(shè)置低溫條件下汽車零部件可靠性壽命的溫度范圍。因?yàn)楸疚难芯亢涞貐^(qū)汽車關(guān)鍵部位運(yùn)行壽命可靠性，研究的溫度是不斷波動(dòng)的，因此依據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB 2423.22-87《電氣電子產(chǎn)品基本環(huán)境實(shí)驗(yàn)規(guī)程實(shí)驗(yàn)N：溫度變化實(shí)驗(yàn)方法》中的實(shí)驗(yàn)Nb:設(shè)定的溫度波動(dòng)速率情況，本文設(shè)置寒冷地區(qū)汽車零部件的溫度變化范圍見表1。

表1 汽車零部件的溫度范圍

1.3 汽車關(guān)鍵部位失效數(shù)據(jù)經(jīng)驗(yàn)取值

在建立汽車關(guān)鍵部位運(yùn)行壽命可靠性數(shù)學(xué)模型過程中，需要利用其失效數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)近似值替代總體分布。此時(shí)需要依據(jù)汽車關(guān)鍵部位的失效數(shù)據(jù)，先計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)函數(shù)值，按照時(shí)間順序，可將其失效時(shí)間排列為： t1＜ t2＜ ... ＜ ti，其中， i =1,2,3,...,m 表示從小到大排序得到的汽車關(guān)鍵部位的壽命序號(hào)，即為失效秩次。若汽車關(guān)鍵部位失效數(shù)據(jù)數(shù)量較大，達(dá)到n ≥20時(shí)，則可通過公式（1）計(jì)算其經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)：

若汽車關(guān)鍵部位失效數(shù)據(jù)數(shù)量較低時(shí)，通過公式（5）計(jì)算會(huì)引起誤差較大，因此，可繼續(xù)通過公式（6）計(jì)算：

公式（6）屬于一種近似中位秩公式。若統(tǒng)計(jì)的汽車關(guān)鍵部位仍未完全失效，則會(huì)出現(xiàn)數(shù)據(jù)記錄不完全現(xiàn)象[7-9]。此時(shí)，每個(gè)關(guān)鍵部位的i 值并沒有確定值，因此可采用平均秩次法，對(duì)汽車關(guān)鍵部位的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，采用公式（7）計(jì)算平均秩次：

式中：

k—汽車關(guān)鍵部位失效的序列；

Pk—秩次。

當(dāng)完成平均秩次計(jì)算后，將結(jié)果引入到公式（6）中，即能夠獲取汽車關(guān)鍵部位的經(jīng)驗(yàn)函數(shù)值，如公式（8）所示：

1.4 基于威布爾分布的運(yùn)行壽命可靠性模型

1939 年，瑞典學(xué)者Waloddi Weibull 率先提出了威布爾分布模型，在該模型中，具體存在三個(gè)參數(shù)，依次為形狀、尺寸以及位置參數(shù)。該模型屬于可靠性較高的一種分布模型，本文利用該模型分析汽車關(guān)鍵部位的生存壽命與可靠性。在汽車關(guān)鍵部位中，任一局部失效導(dǎo)致整體失效情況均可以認(rèn)定為威布爾分布，例如車軸、車輪、空氣管路等[10,11]。通過公式（9）描述其概率密度函數(shù)：

式中：

β ＞ 0—形狀參數(shù)，該參數(shù)與汽車關(guān)鍵部位失效率變化存在關(guān)聯(lián)；

μ ＞ 0—尺寸參數(shù)，該參數(shù)與關(guān)鍵部位所承受負(fù)載的大小存在關(guān)聯(lián)[12-14]，當(dāng)負(fù)載越大，則尺寸參數(shù)則會(huì)隨之降低；

γ —位置參數(shù)，即表示當(dāng)前時(shí)刻之前，關(guān)鍵部位的可靠度與1 相等，若γ = 0時(shí)，說明三參數(shù)模型會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓞?shù)模型。通過公式（10）計(jì)算該設(shè)計(jì)下的模型累積失效分布函數(shù)：

通過公式（10）可以計(jì)算得出汽車關(guān)鍵部位在運(yùn)行壽命內(nèi)任意時(shí)間下的累積失效率 K ( t )，并通過公式（11）可以計(jì)算可靠度函數(shù)：

采用公式（11）可以計(jì)算得出汽車關(guān)鍵部位在運(yùn)行壽命內(nèi)任意時(shí)間下的可靠度 K ( t )，同時(shí)，可以通過公式（12）計(jì)算其失效函數(shù)：

通過公式（12）即可計(jì)算失效率 h ( t )，同時(shí)，利用公式（13）可以計(jì)算得出汽車關(guān)鍵部位可靠性壽命：

當(dāng)設(shè)定相應(yīng)的可靠度時(shí)，通過公式（13）即可獲取汽車關(guān)鍵部位的壽命值t ( K )。

1.5 汽車關(guān)鍵部位運(yùn)行壽命可靠性參數(shù)估計(jì)

本文采用曲線擬合法對(duì)汽車關(guān)鍵部位運(yùn)行壽命可靠性數(shù)學(xué)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。在威布爾分布模型中，位置參數(shù)γ 與尺寸參數(shù)μ 的加和稱為示性壽命或示性強(qiáng)度，當(dāng)失效概率為63.2 %時(shí)，兩者之和即可以表示汽車關(guān)鍵壽命值或強(qiáng)度值。在進(jìn)行估計(jì)時(shí)，該值分散性較小，這是由于當(dāng)t = γ +μ 時(shí)， ( ) 1/K t= e= 36.8 %，當(dāng)m＞1 時(shí)，其概率密度函數(shù)均為單峰形式[15]，而γ +μ 則位于其峰點(diǎn)周圍，在此位置下，數(shù)據(jù)點(diǎn)相對(duì)密集，因此可以獲取較為精準(zhǔn)的γ +μ 估計(jì)值?？蓪⒐剑?）表示為以下形式：

公式（14）中，c 表示示性壽命；設(shè)X = t - c，Y =K ( t)，由此可將公式（14）調(diào)整為：

在公式（15）中，并不存在極大似然估計(jì)值，因此，在此時(shí)利用origin 擬合，通過其非線性擬合能力，對(duì)函數(shù)進(jìn)行編輯，設(shè)定函數(shù)初始值，之后進(jìn)行不斷迭代，由此獲取μ 與β 的估計(jì)值，而γ 的估計(jì)值則為c -μ 。也可以直接通過origin 非線性擬合，直接擬合公式（9），當(dāng)設(shè)定初始參數(shù)后開始迭代，可直接獲取三個(gè)參數(shù)。

2 仿真分析

利用本文模型模擬汽車關(guān)鍵部位的運(yùn)行壽命與可靠性，采取可靠性試驗(yàn)，并對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果做出統(tǒng)計(jì)處理，以獲取可靠性指標(biāo)，同時(shí)進(jìn)行多溫度條件下的模擬實(shí)驗(yàn)，獲取寒冷地區(qū)的汽車關(guān)鍵部位運(yùn)行狀態(tài)。

2.1 參數(shù)變化影響分析

分析三個(gè)模型參數(shù)對(duì)概率密度函數(shù)的影響。針對(duì)形狀參數(shù)進(jìn)行詳細(xì)分析，分析當(dāng)位置參數(shù)與尺寸參數(shù)不變時(shí)，形狀參數(shù)的改變會(huì)對(duì)汽車關(guān)鍵部位失效情況的影響，分析結(jié)果如圖1 所示。

圖1 形狀參數(shù)改變時(shí)對(duì)概率密度函數(shù)的影響

由圖1 可以看出，當(dāng)形狀參數(shù)小于1 時(shí)，隨著時(shí)間的增加，概率密度值會(huì)迅速降低，當(dāng)下降到一定幅度后，開始緩慢降低，說明失效率會(huì)隨之遞減，表示汽車關(guān)鍵部位存在早期失效特征；當(dāng)形狀參數(shù)等于1 時(shí)，威布爾分布呈現(xiàn)指數(shù)分布，存在恒定失效率，即汽車關(guān)鍵部位會(huì)出現(xiàn)偶然失效期；當(dāng)形狀參數(shù)大于1 時(shí)，隨著時(shí)間增加，概率密度函數(shù)呈現(xiàn)先增大后減小，說明在該參數(shù)下，汽車關(guān)鍵部位處于老化期。

分析尺寸參數(shù)變化對(duì)汽車關(guān)鍵部位失效分布的影響，當(dāng)該參數(shù)發(fā)生改變時(shí)，其他參數(shù)不變，分析概率密度參數(shù)的變化情況，分析結(jié)果如圖2 所示。

圖2 尺寸參數(shù)變化對(duì)汽車關(guān)鍵部位失效的影響

根據(jù)圖2 可知，當(dāng)尺寸參數(shù)處于0 時(shí)，汽車關(guān)鍵部位的壽命十分短暫，表示關(guān)鍵部位所受負(fù)載較大；而當(dāng)尺寸參數(shù)為1 時(shí)，汽車關(guān)鍵部位的壽命相對(duì)延長(zhǎng)，但在尺寸參數(shù)為2 時(shí)，壽命明顯增大，說明當(dāng)尺寸參數(shù)越大，汽車關(guān)鍵部位的壽命越長(zhǎng)。

分析位置參數(shù)變化對(duì)汽車關(guān)鍵部位失效分布的影響，當(dāng)該參數(shù)發(fā)生改變時(shí)，設(shè)定尺寸參數(shù)為1，形狀參數(shù)為2，分析概率密度參數(shù)的變化情況，分析結(jié)果如圖3 所示。

圖3 位置參數(shù)變化對(duì)汽車關(guān)鍵部位失效的影響

根據(jù)圖3 可知，位置參數(shù)對(duì)概率密度的影響在時(shí)間軸中平移，當(dāng)位置參數(shù)由-0.5 經(jīng)0 變化至0.5 時(shí)，汽車關(guān)鍵部位故障出現(xiàn)時(shí)間逐漸延長(zhǎng)。

2.2 汽車關(guān)鍵部位運(yùn)行壽命可靠性分析

分析利用本文模型對(duì)汽車關(guān)鍵部位運(yùn)行壽命進(jìn)行建模，通過威布爾概率紙描點(diǎn)展示建模后的關(guān)鍵部位失效情況，由此分析汽車關(guān)鍵部位的運(yùn)行壽命，分析結(jié)果如圖4 所示。

圖4 應(yīng)用本文模型建模結(jié)果

根據(jù)圖4 可知，該汽車關(guān)鍵部位的失效情況在生存周期期內(nèi)隨著時(shí)間增加逐漸上升，最終達(dá)到失效，說明當(dāng)運(yùn)行時(shí)間越久，該關(guān)鍵部位的可靠性越低，應(yīng)用本文方法，可對(duì)汽車運(yùn)行失效情況清晰建模，獲取精準(zhǔn)的汽車關(guān)鍵部位運(yùn)行壽命。

2.3 運(yùn)行壽命可靠性分析

依據(jù)以上構(gòu)建的壽命模型，對(duì)汽車關(guān)鍵部位進(jìn)行可靠性估計(jì)，通過公式（7）可以計(jì)算得到關(guān)鍵部位在壽命期內(nèi)任意壽命點(diǎn)的可靠度，依據(jù)該公式，分析當(dāng)汽車?yán)锍讨饾u增加時(shí)，汽車關(guān)鍵部位的可靠性變化情況，分析結(jié)果如圖5 所示。

圖5 可靠度分析

根據(jù)圖5 可知，當(dāng)行駛里程不斷下降，本文模型分析得到的汽車關(guān)鍵部位可靠度也會(huì)隨之下降，這說明汽車關(guān)鍵部位的壽命值在到達(dá)一定里程后會(huì)逐漸結(jié)束，導(dǎo)致該部位需要更換，即關(guān)鍵部位的失效率逐漸遞增，說明汽車關(guān)鍵部位存在老化特征，通過本文模型，可精確分析汽車關(guān)鍵部位的可靠度。

2.4 低溫寒冷地區(qū)汽車關(guān)鍵部位運(yùn)行情況分析

以汽車車輪為關(guān)鍵部件，統(tǒng)計(jì)其在低溫寒冷條件下的靜拉伸能力、疲勞性以及裂紋情況。

1）低溫寒冷地區(qū)汽車車輪材料靜拉伸能力分析

利用本文模型，按照國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB/T 13239-2006 進(jìn)行低溫寒冷地區(qū)車輪材料靜拉伸模擬，測(cè)定材料的低溫拉伸性能，設(shè)定低溫條件為-45 ℃，模擬材料壓力并緩慢加壓，直至車輪的輪輻與輪輞材料發(fā)生斷裂，并利用本文模型繪制-45 ℃條件下，汽車車輪輪輻與輪輞材料的拉伸變化圖，如圖6 所示。

圖6 -45 ℃條件下汽車車輪輪輻與輪輞材料靜拉伸曲線

由于靜拉伸實(shí)驗(yàn)過程中，實(shí)驗(yàn)的結(jié)果會(huì)存在一定幅度的波動(dòng)，因此，本文按照?qǐng)D6 的拉伸變化，選取3 個(gè)汽車車輪材料進(jìn)行分析，并按照不同部位的均值作為實(shí)驗(yàn)結(jié)果，分析結(jié)果如表1 所示。

根據(jù)表1 可知，輪輻的屈服、抗拉強(qiáng)度依次為498 MPa 與917 MPa，而輪輞的性能則與輪輻存在一定的區(qū)別，輪輞的屈服強(qiáng)度為584 MPa，明顯高于輪輻，而其抗拉強(qiáng)度為989 MPa，同時(shí)相較于輪輻也略高出一些，由此可以看出，輪輞部位的性能要明顯高于輪輻，在低溫寒冷地區(qū)輪輞的運(yùn)行壽命與可靠性相對(duì)要高。

表1 -40 ℃條件下輪輻與輪輞部位的靜拉伸性能

2）低溫寒冷地區(qū)汽車車輪疲勞性分析

通過本文模型模擬低溫寒冷地區(qū)汽車車輪部位的疲勞性，按照疲勞試驗(yàn)設(shè)計(jì)規(guī)范，設(shè)置模擬實(shí)驗(yàn)參數(shù)，如表2 所示，按照表2 的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，分析車輪部位的疲勞極限。

表2 -45 ℃低溫寒冷情況下車輪部位實(shí)驗(yàn)參數(shù)

模擬8 個(gè)輪輻與8 個(gè)輪輞進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，分析這兩個(gè)部位出現(xiàn)斷裂或越出時(shí)的應(yīng)力，以獲取輪輻與輪輞的疲勞極限，分析結(jié)果如圖7 所示。

圖7 輪輻與輪輞的疲勞極限分析

根據(jù)圖7 可知，輪輞與輪輻在應(yīng)力值較高的情況下會(huì)出現(xiàn)斷裂現(xiàn)象，其中，輪輞的疲勞極限要明顯大于輪輻，輪輻在試驗(yàn)過程中，試件5 與試件7 的疲勞極限最大，達(dá)到350 MPa，而輪輞在試驗(yàn)時(shí)的疲勞極限最高為415 MPa，由此可以看出，在寒冷地區(qū)條件下，輪輞的疲勞極限較大，因此其運(yùn)行壽命要高于輪輻。

3）低溫寒冷地區(qū)條件下車輪部位裂紋情況分析

利用本文模型模擬10 個(gè)輪輞試件在不同溫度下的起裂門檻值，以此獲取輪輞的開裂情況，分析結(jié)果如表3所示。

表3 不同溫度下輪輞裂紋情況分析

根據(jù)表3 可知，當(dāng)試件處于30 ℃時(shí)，該汽車部位的起裂門檻值最高，說明30 ℃條件下，該部位的壽命與可靠性最大，當(dāng)氣溫大于30 ℃時(shí)，起裂門檻逐漸開始下降，而氣溫低于30 ℃時(shí)，起裂門檻同樣呈下降趨勢(shì)，在氣溫為-40 ℃時(shí)，起裂門檻達(dá)到6.02 MPa·m0.5，說明當(dāng)應(yīng)力處于6.02 MPa·m0.5時(shí)，該輪輞開始出現(xiàn)斷裂。

3 結(jié)論

本文研究寒冷地區(qū)汽車關(guān)鍵部位運(yùn)行壽命可靠性數(shù)學(xué)建模，通過構(gòu)建汽車關(guān)鍵部位運(yùn)行壽命可靠性的數(shù)學(xué)模型，模擬分析低溫寒冷條件下汽車關(guān)鍵部位的變化情況，以此獲取汽車各部位的運(yùn)行壽命與可靠性，并通過大量模擬實(shí)驗(yàn)，獲取精準(zhǔn)的汽車部位運(yùn)行壽命。在未來(lái)研究中，可利用當(dāng)前研究結(jié)果，繼續(xù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析，使該數(shù)學(xué)模型的驗(yàn)證結(jié)果更加充分。