三力平衡問題的求解策略

張宇　夏宗平

共點力平衡是指物體受到幾個力的作用處于平衡狀態(tài)，即處于靜止或勻速直線運動狀態(tài)。三力平衡是共點力平衡問題中的一個考查熱點，也是難點，求解三力平衡問題對同學(xué)們的理解能力、空間想象能力、邏輯推導(dǎo)能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題能力的要求都較高。下面以“輕繩、輕桿模型”中的三力平衡問題為例，論述如何透過表面現(xiàn)象，抓住各種題型的本質(zhì)特征，找到相應(yīng)的解題方法，供同學(xué)們參考。

一、三力靜態(tài)平衡問題

例1 如圖1所示，水平輕桿BC 的B端用鉸鏈固定在豎直墻壁上，輕繩AD 拴接在輕桿C端，D 端所掛物體質(zhì)量為m ，輕繩AC 段與水平方向間的夾角α=30°，取重力加速度g=10 m/s2，求輕繩AC 的拉力T 的大小，以及輕桿BC 對結(jié)點C 的支持力N 。

指點迷津：本題是平衡問題中典型的死結(jié)、活桿模型，以結(jié)點C 為研究對象，分析輕繩時要特別注意輕繩AC 段是拴接在C 點的，其拉力不等于物體的重力，分析輕桿時要特別注意與鉸鏈相連的桿上的作用力一定沿桿的方向。

解法2：正交分解法。對結(jié)點C 進行受力分析并正交分解，如圖3所示。根據(jù)幾何關(guān)系得Tx =Tcos α，Ty =Tsin α。根據(jù)平衡條件得Tx =N ，Ty =mg。聯(lián)立以上各式解得T=2mg;N =根號下3mg，方向水平向右。

點評：已知三個力的方向且其中兩個力存在垂直關(guān)系是三力靜態(tài)平衡問題中最常見的題型。解題時既可以利用力的合成法，先構(gòu)建平行四邊形找到直角三角形，再利用三角函數(shù)關(guān)系進行求解;也可以利用正交分解法，先以相互垂直的兩個力的方向為x、y 軸建立平面直角坐標(biāo)系，將不在坐標(biāo)軸上的那個力分解到坐標(biāo)軸上，再利用平衡關(guān)系進行求解。

變式1：如圖4 所示，輕桿BC 的B 端用鉸鏈固定在水平地面上，輕繩AD 拴接在輕桿C 端，D 端所掛物體質(zhì)量為m ，輕繩AC 段與水平方向間的夾角α=30°，輕桿BC 與水平方向間的夾角β =45°，取重力加速度g =10 m/s2，求輕繩AC 的拉力T 的大小，以及輕桿BC 對結(jié)點C 的支持力。

變式2：如圖6 所示，輕繩AD 跨過固定在水平橫梁BC 右端的定滑輪懸掛一個質(zhì)量為m 的物體，輕繩AC段與水平方向間的夾角α=30°，取重力加速度g =10 m/s2。求輕繩AC 段的張力T 的大小，以及橫梁BC 對C 點的支持力。

答案：T=mg;N =mg，方向與豎直方向成60°角斜向右上方。 提示：已知兩個力的大小和方向且兩個力存在相等關(guān)系，而第三個力的方向未知，用力的合成法構(gòu)建菱形可知第三個力一定在前兩個力的角平分線上，根據(jù)三角形的邊長關(guān)系即可求出第三個力的大小。對C 點進行受力分析，則T =mg，以T 和mg為鄰邊作平行四邊形，其對角線與N 大小相等，方向相反，如圖7 所示。根據(jù)幾何關(guān)系得N =mg，方向與豎直方向成60°角斜向右上方。

二、三力動態(tài)平衡問題

例2 如圖8所示，用輕繩OA、OB 懸掛一物體處于平衡狀態(tài)，輕繩OA 與豎直方向成一夾角，輕繩OB水平。當(dāng)輕繩OA 的懸點A緩慢向右移動時，輕繩OB始終保持水平。設(shè)此過程中輕繩OA、OB 的拉力分別為FOA 、FOB ，下列說法中正確的是（ ）。

A.FOA 一直減小

B.FOA 先減小后增大

C.FOB 一直減小

D.FOB 先增大后減小

指點迷津：在對O 點進行受力分析時要特別注意當(dāng)輕繩OA 的懸點A 向右移動時，F(xiàn)OC 的大小和方向均不變，F(xiàn)OB 的方向不變，F(xiàn)OA 的方向發(fā)生變化，需要抓住“變化“與“平衡”間的關(guān)系。

解法1：解析法。對初狀態(tài)O 點進行受力分析，設(shè)FOA與豎直方向間的夾角為θ，以FOA 和FOB 為鄰邊作平行四邊形，其對角線與mg 大小相等，方向相反，如圖9所示。根據(jù)幾何關(guān)系得FOA = mg／cos θ，F(xiàn)OB =mgtan θ。當(dāng)輕繩OA 的懸點A 緩慢向右移動時，θ 減小，根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性得FOA 一直減小，F(xiàn)OB也一直減小。

解法2：圖解法。以初狀態(tài)O 點為研究對象，其受到的mg、FOA 、FOB 可構(gòu)成矢量三角形，如圖10所示。當(dāng)輕繩OA的懸點A 緩慢向右移動時，F(xiàn)OA 與豎直方向間的夾角減小，需要將FOA 的方向繞重力的末端沿順時針方向旋轉(zhuǎn)形成新的矢量三角形，觀察變化的矢量三角形可以看出FOA 、FOB 均逐漸減小。

答 案：AC

點評：本題是三力動態(tài)平衡問題中一個力的大小和方向均不變，一個力的方向不變，一個力的方向發(fā)生變化類題型。因為三個力中FOB 和mg 始終存在垂直關(guān)系，所以既可以利用力的合成法，先構(gòu)建平行四邊形找到直角三角形，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性進行求解;也可以利用圖解法，將三力首尾相連構(gòu)成矢量三角形，當(dāng)FOA 方向發(fā)生變化時比較矢量三角形線段的長度變化即可判斷力的變化情況。

變式3：如圖11所示，用輕繩OA、OB 懸掛一物體處于平衡狀態(tài)，開始時輕繩OB 水平?，F(xiàn)保持O 點位置不變，改變輕繩OB 的長度使輕繩右端由B 點緩慢上移至B'點，此時輕繩OB'與OA 之間的夾角θ<90°。設(shè)此過程中輕繩OA、OB 的拉力分別為FOA 、FOB ，下列說法中正確的是（ ）。

A.FOA 一直減小

B.FOA 一直增大

C.FOB 一直減小

D.FOB 先增大后減小

答案：A 提示：雖然FOB 的方向發(fā)生變化，使得三個力不存在某兩個力的方向始終垂直的關(guān)系，無法構(gòu)建直角三角形，但可以用圖解法進行求解。以初狀態(tài)O 點為研究對象，其受到的mg、FOA 、FOB 可構(gòu)成矢量三角形，如圖12所示。當(dāng)B 點緩慢向上移動時，F(xiàn)OB 與豎直方向間的夾角減小，需要將FOB的方向繞重力的末端沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成新的矢量三角形，直至FOA 與FOB 之間的夾角小于90°，觀察變化的矢量三角形可以看出FOA 逐漸減小，F(xiàn)OB 先減小后增大。

例3 如圖13所示，輕繩與輕桿承受彈力的最大值一定，輕桿的C 端用鉸鏈固定，光滑輕小滑輪在C 點正上方，B 端吊一重物，現(xiàn)將輕繩的一端拴在輕桿的B 端，用拉力F 將B 端緩慢上拉，在輕桿BC達到豎直前（輕繩與輕桿均未斷），關(guān)于輕繩的拉力FAB 和輕桿受到的彈力FBC 的變化，下列說法中正確的是（ ）。

A.FAB 增大 B.FAB 減小

C.FBC 增大 D.FBC 減小

指點迷津：在對B 點進行受力分析時要特別注意將B 端緩慢上拉時，F(xiàn)BD （等于重物的重力）的大小和方向均不變，F(xiàn)AB 和FBC 的方向均發(fā)生變化，需要找到圖中暗含的空間幾何三角形和力的矢量三角形的相似關(guān)系。

解析：對結(jié)點B 進行受力分析，以FAB和FBC 為鄰邊作平行四邊形，其對角線與mg大小相等，方向相反，如圖14所示。根據(jù)空間幾何三角形ABC 與力的矢量三角形相似得mg／AC =FBC／BC =FAB／AB 。將B 端緩慢上拉的過程中，AC、BC 邊的長度不變，AB 邊的長度減小，所以FBC不變，F(xiàn)AB 減小。

答案：B

點評：本題是三力動態(tài)平衡問題中一個力的大小和方向均不變，另外兩個力的方向均發(fā)生變化類題型。需要在正確受力分析的基礎(chǔ)上先作出平行四邊形，再找到相似的幾何三角形與力的矢量三角形，由對應(yīng)邊成比例寫出等式進行計算、推理即可得出答案。

變式4：如圖15所示，裝置中兩根細繩拴住一小球，保持兩細繩間的夾角θ=120°不變，若把整個裝置沿順時針方向緩慢轉(zhuǎn)過90°，則在轉(zhuǎn)動過程中，關(guān)于兩細繩的拉力FCA 和FCB的變化，下列說法正確的是（ ）

A.FCA 先減小后增大

B.FCA 先增大后減小

C.FCB 先減小后增大

D.FCB 一直減小，且最終減小為零

答案：BD 提示：在裝置緩慢轉(zhuǎn)動的過程中，小球重力mg 的大小和方向均不變，F(xiàn)CA 和FCB 的方向均發(fā)生變化但它們的夾角始終保持不變，可以利用“同圓中同弦所對的圓周角相等”建構(gòu)一個輔助圓進行求解。以初狀態(tài)小球為研究對象，其受到的mg、FCA 、FCB 可構(gòu)成矢量三角形，畫矢量三角形的外接圓，保持恒力mg 這條弦不變，在CA 由水平方向緩慢轉(zhuǎn)到豎直方向的過程中，保持FCA 與FCB 的夾角不變，畫出三個力動態(tài)平衡的矢量三角形，如圖16 所示。由圖可以看出，F(xiàn)CA 先增大后減小，F(xiàn)CB一直減小，且最終減小為零。

（責(zé)任編輯 張 巧）