基于解析法的農機軸承轉子系統(tǒng)潤滑特性分析*

蘇來博 ， 李 冰 ， 徐武彬 ， 高宇星 ， 李 錚

（1.廣西科技大學機械與汽車工程學院，廣西 柳州 545006；2.廣西土方機械協(xié)同創(chuàng)新中心，廣西 柳州 545006）

0 引言

隨著現(xiàn)代農業(yè)機械的發(fā)展，農機設備正向著高負載、高速度、高精度等方面發(fā)展，這對設備的整機性能提出了更高的要求。因此，對農機的滑動軸承轉子系統(tǒng)的承載能力、運行穩(wěn)定性以及摩擦損耗等特性進行研究尤為重要[1-5]。

王書茂等[6]基于數(shù)值解油膜力針對農機轉子特點提出的3級轉速多平面矯正法，既簡化了撓性轉子復雜的動平衡步驟，又提高了轉子實際工況的動平衡精度。袁雪鵬等[7]基于數(shù)值法研究了制造誤差對農機轉子系統(tǒng)動力學的影響，但數(shù)值法迭代速度慢，使用不夠便捷。Jiao等[8]基于數(shù)據(jù)庫法對不平衡轉子系統(tǒng)進行了非線性動力學分析，但該方法需不定期更新數(shù)據(jù)庫，普遍性較差。黑棣等[9]基于無限長農機軸承假設研究了柔性轉子系統(tǒng)的非線性動力學行為，并利用改進后的Wilson-θ法研究了系統(tǒng)的非線性穩(wěn)態(tài)特性。馬曉棟[10]基于無限短農機軸承研究了油膜溫度變化對臨界轉速下系統(tǒng)發(fā)生渦動和振蕩時對特性的影響。綜合上述研究結果發(fā)現(xiàn)，無限長、無限短軸承模型不符合實際情況，誤差偏大。

因此，基于更加符合實際的有限長農機軸承模型進行潤滑特性解析分析具有重要意義，不僅加快了運算速度，也保證了精度。文章將對解析油膜力下的農機軸承運動特性進行分析，為提高轉子承載能力、系統(tǒng)穩(wěn)定性及降低摩擦損耗等方面提供參考。

1 農機轉子系統(tǒng)解析油膜力推算

1.1 軸承物理模型及油膜壓力分布方程

軸承周向截面圖如圖1（a）所示，軸承軸向平面視圖如圖1（b）所示。其中，O為軸瓦中心，Oj為軸頸中心，Rj為軸頸半徑，Φ0為位置角，θ為圓周方向坐標，ω為軸頸自轉角速度，e為軸頸相對于軸瓦的偏心位移，h為液膜厚度，c為軸承徑向間隙，L為軸承寬度，Dj為軸頸直徑。

圖1 有限長農機滑動軸承動力學模型

假設潤滑流體粘度不變，且軸瓦與軸頸間腔體體積固定，軸承流體潤滑的Reynolds方程可表示為：

對式（1）進行無量綱化，引入以下無量綱參數(shù)：

式中，ps為無量綱油膜壓力，H為無量綱油膜厚度，ε為偏心率，λ為無量綱軸向坐標，τ為無量綱時間，ε'為軸頸中心擾動速度，θ'為軸頸周向變化速率。

將式（2）代入雷諾方程式（1），得到無量綱雷諾方程：

無量綱油膜厚度為：

將式（4）代入式（3）并進行推導得到式（5）：

1.2 解析解油膜壓力求解

式（5）是關于三角函數(shù)的方程式，假設油膜壓力分布函數(shù)可以拆分為：

式中，pl(θ,ξ)為解析特解，ph(θ,ξ)為解析通解。

通過分離變量可得特解：

以乘法形式分離通解：

將式（6）至式（8）代入式（5）整理得：

由于油膜壓力特解滿足Reynolds方程，故有：

顯然，式（10）是關于變量θ、ξ的函數(shù)，通過分離變量法可將其拆分為兩個二階非齊次微分方程：

對式（12）積分可得：

由于該研究將與在Reynolds邊界條件下運用有限差分法得到的結果進行比對驗證，故該研究為了實現(xiàn)條件統(tǒng)一，將使用Reynolds邊界條件。

軸承周向邊界條件：

軸向兩端邊界條件：

設S=0，由已知條件可知，當ξ=λ=±1時，g(±1)=0，故式（13）中的系數(shù)為c1=c2=0。設一階函數(shù)Z(θ)為：

則式（11）可表示為：

對式（17）一階非齊次線性微分方程求解：

對式（18）進行不定積分：

運用Sommerfeld積分變換式求解式（19）：

由周向邊界條件可知：θ=θ0=0，φ(θ0)=0，θ=θ1，由條件θ=θ=0，φ(θ)=0，得00到c4：

由條件θ=θ1，φ(θ1)=0，得到c3：

由于θ與α是單映射關系，通過線性插值法求解α1。經(jīng)過以上推導可得到油膜壓力特解pl(θ,ξ)。

油膜壓力通解求解：將式（10）代入式（9）的非齊次方程中，可以得到以下方程式。

通過分離變量法可得：

將式（25）拆分可以得到：

設I=-k2，則求解式（26）可得：

把大氣壓設為0，根據(jù)Reynolds邊界條件，軸承在兩端的壓力為0，所以在軸承兩端的油膜壓力存在以下關系：

通過式（29）可得到軸承兩端軸向油膜壓力通解：

因此：

軸向油膜壓力分布函數(shù)求解：根據(jù)式（30）邊界條件，式（28）中的常數(shù)如下式：

將式（32）代入式（28）可得：

將式（31）代入式（24）可得：

與式（11）聯(lián)立，可得：

通解的表達式為式（36）。

將式（20）與式（36）代入式（6）得油膜壓力表達式，即式（37）。

2 算例分析

2.1 油膜壓力特解和通解算例

圖2（a）、圖2（b）分別為位置角Φ0=30°，長徑比L/Dj=1，偏心率ε=0.3，x'=y'=0，徑向間隙c=0.381 mm，角速度ω=398 rad/s時的軸承無量綱油膜壓力特解分布圖和通解分布圖；軸承基本參數(shù)如表1所示。

表1 軸承基本參數(shù)

圖2 油膜壓力特解pl(θ,z)和通解ph(θ,z)分布圖

由圖2（a）可以看出，油膜壓力特解在軸向上是不變的，在位置角為180°時達到最大峰值。由圖2（b）可以看出，油膜壓力通解在λ=0處呈對稱分布，越往軸承兩側壓力越小。

2.2 擬合油膜壓力特解和通解

位置角Φ0=30°，長徑比L/Dj=1，偏心率ε=0.3，x'=y'=0，徑向間隙c=0.381 mm，角速度ω=398 rad/s時，全圓瓦軸承無量綱油膜壓力分布如圖3所示。

圖3 油膜壓力p(θ,z)沿周向和軸向坐標上的三維分布圖

通過圖3可以看出，周向最大油膜壓力在θ=90°處，越靠近軸承兩端油膜壓力越趨于0，且油膜壓力梯度在軸承中心處最大。

3 農機轉子系統(tǒng)運行特性分析

3.1 轉子系統(tǒng)承載特性

Sommerfeld數(shù)是用來描述轉子系統(tǒng)承載特性的重要參數(shù)。當水平安裝的系統(tǒng)運行穩(wěn)定時，油膜壓力水平分量Fx=0，通過公式（38）可以得到Sommerfeld數(shù)。

式中，μ為潤滑油粘度；n為轉子轉速；L為軸承寬度；Dj為軸頸直徑；F為軸承載荷；Rj為軸頸半徑。

有限長、無限短、無限長三種農機軸承模型基于解析解油膜力的Sommerfeld數(shù)隨偏心率變化的對比圖如圖4所示?？梢钥闯觯绕穆蕳l件下，無限長軸承模型承載能力最強，其次是有限長軸承模型、無限短軸承模型。隨著偏心率的增大，有限長軸承模型的承載能力增大，并且與無限短軸承模型變化的趨勢和速率相近。

圖4 不同農機軸承模型Sommerfeld數(shù)與偏心率關系對比

3.2 能量損失特性

滑動軸承轉子系統(tǒng)的潤滑方式為油潤滑，在轉子運行過程中，軸瓦和軸頸之間充滿油液，所以軸頸和油膜會產(chǎn)生摩擦，具有一定的摩擦功率損耗?；瑒虞S承轉子系統(tǒng)的摩擦損耗對系統(tǒng)的穩(wěn)定運行和軸承溫度的升高有很大的影響。摩擦功率損失計算表達式為：

式中，F(xiàn)f為軸承摩擦力，Ut為軸頸切向轉速，Rj為軸頸半徑；L為軸承寬度；ω為轉子角速度。

能量損失曲線對比圖如圖5所示，在偏心率相同的情況下，長徑比越大，系統(tǒng)能量損失越大；能量損失隨著偏心率的增加而減小。無限短軸承的能量損失幾乎為0，這與軸承系統(tǒng)工作情況嚴重不符，所以不采納該模型；無限長軸承在整個偏心率范圍內能量損失過大，尤其是當偏心率小于0.3時，能量損失急劇上升，所以該軸承模型的潤滑特性理論不能應用于實際工程。有限長軸承能量損失變化一直維持在正常水平并趨于穩(wěn)定，偏心率越小，能量損失越大，故有限長軸承模型的解析潤滑特性更加符合實際。

圖5 不同農機軸承模型的能量損失特性對比

4 結論

通過Sommerfeld變換、分離變量法以及雷諾邊界條件得到了有限長農機軸承的非線性油膜力。并以無限短、無限長、有限長農機軸承模型為研究對象，分析了其在解析油膜力的基礎上農機系統(tǒng)的承載特性和能量損失情況。結果表明：同等偏心率條件下，無限長軸承模型承載能力最強，其次是有限長、無限短軸承模型。Sommerfeld數(shù)在偏心率在0.3~0.7之間時變化率最低，承載能力穩(wěn)定。長徑比越大，系統(tǒng)能量損失越大；偏心率在0.5~0.7之間時三種模型能量損耗比較穩(wěn)定，偏心率區(qū)間轉子運行穩(wěn)定。通過對比發(fā)現(xiàn)，無限長、無限短軸承模型運行特性的誤差較大，故不能采用；有限長農機軸承模型解析油膜力更加貼合實際，計算速度快，準確性高，可以為農機轉子系統(tǒng)在實際應用中的故障檢測提供可靠的理論支持。