舌尖上的數(shù)學(xué)

蔡靜

［摘 要］“雙減”背景下，立足作業(yè)，深化教學(xué)改革，培育學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力一直是教師關(guān)注的重點。數(shù)學(xué)說題作業(yè)能展示學(xué)生“原生態(tài)”思維過程，鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)表達能力，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，是十分有意義的非書面作業(yè)類型。教師設(shè)計說題作業(yè)時要精心選題、充分示范、有效反饋、鼓勵評價，使作業(yè)真正為教學(xué)服務(wù)，從而促進學(xué)生知識、能力和綜合素養(yǎng)的發(fā)展。

［關(guān)鍵詞］說題作業(yè)；思維過程；表達能力

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）08-0031-04

一、什么是數(shù)學(xué)說題

數(shù)學(xué)說題，即學(xué)生用自己的語言將解題過程進行形象表征，不但要說清楚如何做，還要說明白為什么這樣做。語言是思維的外衣，要想把一道數(shù)學(xué)題的解題過程說清楚不是一件簡單的事情，需要學(xué)生認真仔細地審題后，經(jīng)過完整充分的思考過程，最終將題意、解題過程和結(jié)果說清楚。對于要求更高的說題，學(xué)生還要說清楚思考問題的方法，問題的拓展和延伸，解題后的反思感悟，等等。

二、“雙減”背景下設(shè)計數(shù)學(xué)說題作業(yè)的意義

說題作業(yè)與傳統(tǒng)紙質(zhì)作業(yè)的最大區(qū)別在于，它改變了作業(yè)“寫”的樣貌。長期以來，數(shù)學(xué)作業(yè)的類型通常是各種枯燥重復(fù)的計算題。“雙減”就是要減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負擔(dān)和校外培訓(xùn)負擔(dān)，特別是在作業(yè)總量和時長上明確規(guī)定：小學(xué)一、二年級不布置家庭書面作業(yè)，可在校內(nèi)適當安排鞏固練習(xí)；小學(xué)三至六年級書面作業(yè)平均完成時間不超過60分鐘。作業(yè)時間的大幅度減少，對教師布置書面作業(yè)的質(zhì)與量提出了更高要求。在規(guī)定的書面作業(yè)時間里，教師需要設(shè)計滿足不同水平學(xué)生發(fā)展需要的梯度作業(yè)，確保教學(xué)質(zhì)量。在規(guī)定的書面作業(yè)時間外，教師就需要思考：除了傳統(tǒng)的紙質(zhì)作業(yè)，還可以設(shè)計怎樣有意義的非書面數(shù)學(xué)作業(yè)？在這樣的背景下，數(shù)學(xué)說題作業(yè)脫穎而出。

1.展示學(xué)生“原生態(tài)”思維過程

說題實際上就是將學(xué)生自己的看法、理解、解法展示給教師、家長和其他同學(xué)。與他人分享是在傳統(tǒng)的紙質(zhì)作業(yè)中比較難呈現(xiàn)的，因為紙質(zhì)作業(yè)更多呈現(xiàn)的是計算過程，而學(xué)生的思維過程卻是看不見的。說題作業(yè)這種主動的學(xué)習(xí)方式恰好能彌補紙質(zhì)作業(yè)的不足，使學(xué)生思維中存在的邏輯錯誤、知識偏差等問題暴露出來，以便教師及時糾正。通過“說”這種“原生態(tài)”的呈現(xiàn)，教師關(guān)注到學(xué)生思維上的漏洞，真正走進學(xué)生內(nèi)心，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)。

2.鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)表達能力

在實際教學(xué)中，有部分學(xué)生雖然會做題，卻說不出或說不清為什么這樣做。究其原因，主要是他們的語言表達能力較弱。語言是思維的外衣，人們思維的結(jié)果、認知活動等都需要通過語言表達出來。課堂上舉手發(fā)言是鍛煉數(shù)學(xué)語言表達能力的好機會，但課堂時間有限，加之部分學(xué)生膽小害羞、害怕說錯，常常錯失了發(fā)言的機會。說題作業(yè)就是課后鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)表達能力的好平臺，通過說題，學(xué)生能很好地彌補數(shù)學(xué)語言表達短板，從而不僅會做題，而且能清晰地表達做題思路。

3.提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》指出，要使學(xué)生形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度與理性精神。說題作業(yè)能充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，培養(yǎng)學(xué)生獨立思考的能力，讓學(xué)生在嚴密的思維過程中形成自主思考的優(yōu)良品質(zhì)和習(xí)慣。比如，對于同一道數(shù)學(xué)題，不同學(xué)生說題的角度、思考方向可能不同，這將促使學(xué)生從不同的角度去思考問題，從不同的方向去尋找解題的策略，從而拓展學(xué)生思維的廣度和深度，整體提升學(xué)生的思維品質(zhì)。

三、教師設(shè)計說題作業(yè)的注意事項

1.教師要精心選題

“雙減”背景下，提質(zhì)增效是作業(yè)設(shè)計的根本原則，如何做到“少而精”，如何體現(xiàn)“能力為重、素養(yǎng)為本”，是教師選題時需要權(quán)衡考量的。因此，要想說題作業(yè)達到預(yù)期的效果，教師就要精心選題。

（1）選擇有代表性的題目。每天布置的說題作業(yè)的量不宜多，1道或1組（2或3道）題為宜，且應(yīng)該選擇具有代表性的題目。例如，教學(xué)蘇教版教材五年級下冊“分數(shù)的意義和性質(zhì)”后，教師可設(shè)計如下說題作業(yè)。

學(xué)校購買了3袋糖果，每袋2千克，將糖果平均分給五年級四個班，每班分得（? ?），每班分得（? ?）袋，是（? ?）千克。

“分數(shù)后帶單位表示具體數(shù)量，不帶單位表示總數(shù)的一部分”是本單元的重點，更是學(xué)生理解的難點。這道題就很具有代表性，前兩個空填分數(shù)，分別表示總數(shù)的一部分和具體數(shù)量，第三空可以填分數(shù)也可以填小數(shù)，表示具體數(shù)量。選擇這樣的題目讓學(xué)生進行說題，教師就可以深入地了解學(xué)生的知識掌握情況，從而及時進行指導(dǎo)和糾正。

（2）選擇錯誤率較高的題目。教學(xué)中常常出現(xiàn)學(xué)生面對多次講解的錯題再做一遍還是會錯的現(xiàn)象，教師常將此歸結(jié)為學(xué)生沒有認真聽講。究其原因是學(xué)生自身的知識結(jié)構(gòu)有漏洞，沒有真正掌握相關(guān)知識。但要“化錯”，不僅需要教師的耐心講解，還需要學(xué)生親身經(jīng)歷修復(fù)思維漏洞的過程，最終認識錯誤并修正錯誤。這樣來看，選擇錯誤率較高的題目來進行說題是十分有必要的。例如，教學(xué)蘇教版教材四年級下冊“認識平行四邊形”后，教師可設(shè)計如下說題作業(yè)。

平行四邊形兩條相鄰的邊分別是10厘米和6厘米，已知高是8厘米，則這個平行四邊形的面積是（? ? ?）平方厘米。

教師在課堂上已經(jīng)多次強調(diào)平行四邊形有兩組底和高，因此，給定高時，學(xué)生需要判斷究竟是哪一組底邊上的高。由于這道題還涉及三角形的三邊關(guān)系，具有一定的復(fù)雜性，因此選擇這道題作為說題作業(yè)，可以讓學(xué)生親身經(jīng)歷思考復(fù)雜問題的過程，厘清思維難點，突破思維誤區(qū)，真正理解平行四邊形的高與邊的長度之間的關(guān)系。

（3）選擇有層次性的題目。數(shù)學(xué)說題作業(yè)要有層次性，難度上由易到難，數(shù)量上由一到多，知識上由點到面，內(nèi)容上由課內(nèi)到課外，廣度上由封閉到開放。例如，教學(xué)蘇教版教材一年級下冊“元、角、分”后，教師可設(shè)計如下說題作業(yè)。

明明有10張1角、5張2角和1張5角的人民幣，他可以怎樣付8角錢？

第一關(guān)：請你說出一種付8角錢的方法。

第二關(guān)：說出至少三種付8角錢的方法，相信你可以的！

第三關(guān)：請你用按順序思考的方法，把付錢的所有可能方法都說出來，沖刺一下吧！

以闖關(guān)的形式設(shè)計說題作業(yè)，且一關(guān)比一關(guān)更具有挑戰(zhàn)性，能激發(fā)學(xué)生求新求趣的欲望，也符合課程標準的要求——使不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。

（4）選擇題組。平時的課堂教學(xué)比較注重單個知識點的講解，教師在選擇說題的題目時要注意知識點之間的前后聯(lián)系，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識在縱向上有更深刻的認識與理解。教師可以利用題組適時將零散的知識點串聯(lián)起來，在題與題的對比中突出系統(tǒng)性。例如，教學(xué)蘇教版教材六年級下冊“圓柱和圓錐”后，筆者根據(jù)課堂反饋情況設(shè)計了如下說題作業(yè)題組。

①一個體積為60立方厘米的圓柱，削成一個最大的圓錐，這個圓錐的體積是多少立方厘米？

②一個圓柱和一個圓錐的底面積和體積分別相等，已知圓柱高6厘米，那么圓錐的高是多少厘米？

③一個棱長6分米的正方體容器裝滿水后，倒入一個底面積是12平方分米的圓錐形容器里正好裝滿，這個圓錐形容器的高是多少分米？

題組中，題①考查的是學(xué)生對等底等高的圓柱和圓錐之間的體積關(guān)系是否掌握，題②是題①的變型，考查學(xué)生是否理解等體積等底面積時圓柱和圓錐高的關(guān)系，題③是聯(lián)系六年級上冊已學(xué)的正方體體積相關(guān)知識，抓住“體積不變”這一核心，本質(zhì)為“已知圓錐體積和底面積，求高”的問題。題組說題不僅考查了學(xué)生對本單元知識的掌握程度，還縱向串聯(lián)了其他知識，有利于學(xué)生整體把握數(shù)學(xué)知識，形成立體的知識結(jié)構(gòu)。

（5）選擇有拓展性的題目。在紙質(zhì)作業(yè)中，學(xué)生已經(jīng)進行了一定量的課內(nèi)知識鞏固。因此，在說題作業(yè)時，教師可以選擇一些拓展性的題目，拓寬學(xué)生的思維。例如，教學(xué)五年級下冊“3的倍數(shù)的特征”后，教師可布置如下說題作業(yè)。

你能結(jié)合課堂上探索3的倍數(shù)的特征的過程，獨立探索9的倍數(shù)的特征嗎？9的倍數(shù)的特征與3的倍數(shù)的特征有什么關(guān)系？

3的倍數(shù)的特征是學(xué)生必須掌握的基礎(chǔ)知識，利用百數(shù)表圈畫列舉、猜想、驗證是基本技能。說題作業(yè)研究的是9的倍數(shù)的特征，方法與探索3的倍數(shù)的特征有共通之處，再通過第二問建立3和9的倍數(shù)的特征的聯(lián)系，這樣就自然將學(xué)生的思維由課內(nèi)拓展到課外，豐富了學(xué)生的知識面。

（6）選擇解題方法多樣的題目。數(shù)學(xué)說題作業(yè)作為課后作業(yè)的有益補充，要充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，盡可能拓寬思路，發(fā)散他們的思維。對于一題多解的問題，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生進行不同的嘗試和創(chuàng)新，提高思維能力和創(chuàng)新能力。例如，六年級上冊期末復(fù)習(xí)時，教師可設(shè)計如下說題作業(yè)。

學(xué)校宣傳小組共有學(xué)生60人，其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的[57]，求宣傳小組中女生有多少人。

六年級上冊中學(xué)生學(xué)習(xí)了分數(shù)乘法、分數(shù)除法、比等知識，這道題正好可以從分數(shù)關(guān)系、和倍問題、按比例分配、解方程等多個角度解決。學(xué)生完成一題多解的說題作業(yè)，感受解決問題方法的多樣性和各種解法之間的聯(lián)系。

2.教師要充分示范

根據(jù)波利亞在《怎樣解題》中的提法，數(shù)學(xué)題目的解決過程可以分為四步：弄清問題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃、回顧。要想學(xué)生說好題，教師的親身示范很重要。在課堂教學(xué)中，教師可以參考波利亞解題步驟示范說題，比如講清題意、思考過程、解決方法、聯(lián)系區(qū)別、反思感悟等。

例如，“移多補少”是一種數(shù)學(xué)思想方法，涉及這一知識點的題目出現(xiàn)頻率高、錯誤率也高。詢問原因，學(xué)生反饋一是分不清類型，二是思考不得其法。教師要想讓學(xué)生說好這類題型，就需要親身示范。下面以“哥哥有7塊糖，給弟弟2塊后，兩人的糖的塊數(shù)一樣多，弟弟原來有幾塊糖？”為例，展示說題的一般步驟（見表1）。

“哥哥有7塊糖”用7個圓圈表示，“給弟弟2塊”就把哥哥的2塊移到弟弟這邊，這時哥哥和弟弟的糖的塊數(shù)一樣多，用虛線隔開，表示一樣多。那么弟弟原來有幾塊糖就是小方框里的數(shù)量，能看出是幾塊嗎？對，是3塊糖 解決方法 剛才我們用畫圖的方式直觀分析題意，那如何用算式來求解呢？

根據(jù)示意圖，能列出算式：7-2=5（塊），5-2=3（塊）。還有其他方法嗎？

是的，移動數(shù)是2，那么哥哥和弟弟的相差數(shù)就是2+2=4（塊），這個4塊表示哥哥原來比弟弟多4塊，再用7-4=3（塊）。因此，還可以利用相差數(shù)與移動數(shù)之間的關(guān)系來解題 聯(lián)系區(qū)別 嘗試解決以下問題。

挑戰(zhàn)1：哥哥有16塊糖，給弟弟6塊后，兩人的糖的塊數(shù)一樣多。弟弟原來有幾塊糖？

挑戰(zhàn)2：哥哥有16塊糖，給弟弟5塊后，還比弟弟多2塊糖。弟弟原來有幾塊糖？

挑戰(zhàn)1和原題是同一類型，分得的結(jié)果是“一樣多”；挑戰(zhàn)2與原題的區(qū)別是分得的結(jié)果不是“一樣多”，但這兩題都可以通過畫圖直觀分析題意 反思感悟 解決“移多補少”一類的問題，可以通過畫圖分析題意，這樣清楚直觀，具有優(yōu)勢 ]

3.教師要有效反饋

數(shù)學(xué)作業(yè)與課堂教學(xué)之間不應(yīng)是割裂的，而應(yīng)建立起協(xié)同教學(xué)的關(guān)系，使其成為課堂教學(xué)的有益補充。對于數(shù)學(xué)說題作業(yè)，教師要做到有效反饋，最有效的方式是課堂反饋。課堂上，教師要給予學(xué)生自主說題、同桌互相說題等各種形式的練習(xí)機會，并適時指導(dǎo)。課堂反饋特別適合前文中提到的系統(tǒng)題組和一題多解類型，讓學(xué)生在說題的過程中闡述自己的解題理由，相互討論，無論對錯，其產(chǎn)生的思維碰撞在學(xué)生記憶中的影響都是深刻而巨大的。由于課堂時間有限，教師還可以在課后就學(xué)生錄制的說題作業(yè)視頻進行線上指導(dǎo)。教師對學(xué)生提交的作業(yè)視頻要一一指導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)其優(yōu)點，指出其提升點。對于優(yōu)秀說題作業(yè)視頻，教師可以轉(zhuǎn)發(fā)到班級群共享，讓全班同學(xué)共同學(xué)習(xí)，營造良好的學(xué)習(xí)氛圍，促進班級學(xué)生整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。此外，教師可以在學(xué)校公眾號開辟“說題”專欄，展示學(xué)生的精彩表現(xiàn)。

4.教師要鼓勵評價

通過開展數(shù)學(xué)說題作業(yè)活動，教師能較好地了解學(xué)生的數(shù)學(xué)知識建構(gòu)過程和真實的數(shù)學(xué)思維情況，以及學(xué)生數(shù)學(xué)語言的表達能力。說題作業(yè)作為新型作業(yè)，本身就兼具過程性和結(jié)果性。因此，教師評價時不僅要關(guān)注結(jié)果性評價，即對學(xué)生的說題作業(yè)質(zhì)量進行評價，更要注重過程性評價：關(guān)注學(xué)生是否積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，能否有條理地表達數(shù)學(xué)內(nèi)容，能否不斷反思自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，能否從不同的角度思考問題，等等。總之，教師應(yīng)充分挖掘?qū)W生的閃光點，及時給予激勵性評價，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展與提升。

新課程改革要求教師對數(shù)學(xué)課堂教學(xué)進行積極的變革?！半p減”背景下要減輕過重的作業(yè)負擔(dān)，作業(yè)形式和內(nèi)容的變革是箭在弦上，勢在必行。設(shè)計數(shù)學(xué)說題作業(yè)能充分體現(xiàn)以教師為主導(dǎo)、以學(xué)生為主體的教育理念，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生的思維過程顯性化，思維結(jié)果深刻化。此外，說題作業(yè)能切實減輕學(xué)生過重的作業(yè)負擔(dān)，使作業(yè)真正為教學(xué)服務(wù)，真正有利于學(xué)生知識、能力、綜合素養(yǎng)的發(fā)展。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2] 關(guān)錦壽，蘇銀華.例說波利亞“怎樣解題”表的解題策略與實踐[J].云南民族學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2001（2）：369-372.

[3] 朱虹. 初中幾何教學(xué)中說題的有效性[D]. 上海：上海師范大學(xué)，2019.

（責(zé)編 李琪琦）