游戲“設(shè)計(jì)”背后的奧秘

文／喻洋

同學(xué)們設(shè)計(jì)過游戲規(guī)則嗎？事實(shí)上，游戲規(guī)則的制定蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，尤其與概率有很大的關(guān)聯(lián)。概率思維其實(shí)是一種數(shù)學(xué)思維，它能幫助你從不確定中找到確定性，是一種十分有效的決策工具。下面，我們結(jié)合2022年的幾道中考試題，帶領(lǐng)同學(xué)們一探究竟。

一、利用概率設(shè)計(jì)抽獎(jiǎng)規(guī)則

例1 （2022·江蘇揚(yáng)州）某超市為回饋廣大消費(fèi)者，在開業(yè)周年之際舉行摸球抽獎(jiǎng)活動(dòng)。摸球規(guī)則如下：在一只不透明的口袋中裝有1個(gè)白球和2個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后先從中任意摸出1 個(gè)球（不放回），再從余下的2個(gè)球中任意摸出1個(gè)球?；顒?dòng)設(shè)置了一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)兩個(gè)獎(jiǎng)次?，F(xiàn)規(guī)定摸出顏色不同的兩球和摸出顏色相同的兩球分別對應(yīng)不同獎(jiǎng)次，請寫出它們分別對應(yīng)的獎(jiǎng)次，并說明理由。

【分析】從商家的立場進(jìn)行考慮，一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)品更加昂貴，為了體現(xiàn)其稀缺性，一等獎(jiǎng)的獲獎(jiǎng)率應(yīng)該低于二等獎(jiǎng)。該游戲規(guī)則需要摸球兩次，可以用樹狀圖法不重復(fù)、不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，最終選擇概率更低的摸球方案為一等獎(jiǎng)。

解：畫樹狀圖如下。

二、利用概率設(shè)計(jì)游戲鏢盤

例2 （2022·江蘇徐州）將一枚飛鏢任意投擲到如圖1 所示的正六邊形鏢盤上，若飛鏢落在鏢盤上各點(diǎn)的機(jī)會(huì)相等，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為（）。

圖1

【分析】飛鏢是一款具有挑戰(zhàn)性的游戲，設(shè)計(jì)者將鏢盤劃分為陰影和非陰影兩部分。我們根據(jù)幾何概率可以預(yù)估將一枚飛鏢任意投擲于陰影部分的概率，即陰影區(qū)域的面積與總面積的比值。

解：如圖2，我們可以將整個(gè)圖形分割成圖2 中的小三角形。設(shè)每個(gè)小三角形的面積為a，則陰影的面積為6a，正六邊形的面積為18a，所以將一枚飛鏢任意投擲到鏢盤上，飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為。故選B。

圖2

三、利用概率設(shè)計(jì)摸球方案

例3 （2022·山東青島）學(xué)校想請一位同學(xué)作為代表分享獲獎(jiǎng)心得。小冰和小雪都想分享，于是兩人決定一起做游戲，誰獲勝誰分享。游戲規(guī)則如下：

甲口袋裝有編號(hào)為1、2 的兩個(gè)球，乙口袋裝有編號(hào)為1、2、3、4、5 的五個(gè)球，兩口袋中的球除編號(hào)外都相同。小冰先從甲口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，小雪再從乙口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，若兩球編號(hào)之和為奇數(shù)，則小冰獲勝；若兩球編號(hào)之和為偶數(shù)，則小雪獲勝。

請用列表或畫樹狀圖的方法，說明這個(gè)游戲?qū)﹄p方是否公平。

【分析】設(shè)計(jì)雙人游戲，關(guān)鍵是確保規(guī)則的公平性。評(píng)估游戲是否公平可以通過列表或畫樹狀圖的方法求出規(guī)則中雙方贏得游戲的概率，然后再比較這些概率的大小。若概率相等，則游戲公平；若概率不相等，則該游戲不公平。

解：我們可以先用列表法將所有可能發(fā)生的結(jié)果列出來，所有可能的結(jié)果如下：

甲乙_____________________________________1_____________________________________2 1 2 3 4 5（1，5）（2，5）（1，1）（2，1）（1，2）（2，2）（1，3）（2，3）（1，4）_______（2，4）_______