源于定位且高于定位的坐標(biāo)系

文／龔輝

幾何始于土地丈量，研究的是圖形，與代數(shù)的發(fā)展仿佛是兩條平行線。笛卡爾這位大咖的登場，讓我們迎來幾何與代數(shù)完美結(jié)合的高光時刻。

笛卡爾發(fā)明了坐標(biāo)系，用這把金鑰匙開啟了解析幾何的大門。據(jù)傳說，笛卡爾發(fā)明坐標(biāo)系源于墻角的蜘蛛結(jié)網(wǎng)，而現(xiàn)在，電影院里的幾排幾座、地理上的經(jīng)緯定位等，都有坐標(biāo)系的身影。其實，我國早在西晉時期，裴秀主編的《禹貢地域圖》中，就講述繪制地圖的六項原則，即著名的“制圖六體”。可見當(dāng)時我國的定位技術(shù)已經(jīng)非常成熟，但可惜裴秀沒有再深入一步形成坐標(biāo)系，否則那可要比笛卡爾還早1300多年呢。

下面我們結(jié)合幾道題目，看看笛卡爾的坐標(biāo)系給我們的幾何學(xué)習(xí)提供多少便捷的方法。

一、動點問題與數(shù)軸

數(shù)軸的本質(zhì)是一條動了“手腳”的直線，有原點、正方向和單位長度。正是這三個元素，讓這條不起眼的直線得以超凡脫俗，成為一維空間上數(shù)形結(jié)合的利器。

例1 如圖1，A、B兩點間的距離為12cm，點P從點A出發(fā)以2cm/s 的速度由A→B→A運動，同時，點Q從點B出發(fā)以1cm/s 的速度由B→A運動，當(dāng)點Q到達點A時P、Q兩點停止運動，設(shè)運動時間為t（s）。當(dāng)t的值為多少時，點P與點Q相距3cm？

圖1

【思路分析】動點問題是我們學(xué)習(xí)的難點，也是常見的考點。如果把線段AB放在數(shù)軸上，就可以將點與數(shù)建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，再利用數(shù)軸上兩個點之間距離的規(guī)律（公式），就可以很方便地得到方程，從而得解。

在將線段放置在數(shù)軸上的時候，以對稱的方法把AB的中點放在數(shù)軸的原點O處，可以簡化運算（如圖2）。

圖2

我們可以將各個點所代表的數(shù)用數(shù)字或字母一一表示出來：A表示-6，B表示6，Q表示6-t，P到達點B前為-6+2t，到達點B后為6-（2t-12）。則當(dāng)點P到達點B前，若兩點相距3cm，可得方程（|6 -t）-（- 6 + 2t）|=3，解得t=3，t=5；當(dāng)點P從點B返回時，可得方程（|6 -t）-（18 - 2t）|=3，解得t=9，t=15（因為返回時6＜t≤12，故t=15 舍去）。綜上所述，當(dāng)t的值為3、5、9時，點P與點Q相距3cm。

【反思點評】從幾何角度解決這個問題需要觀察各線段之間的數(shù)量關(guān)系，當(dāng)線段有重疊和交錯時，往往會影響我們做出正確判斷。同時，兩點相距3cm，需要對相遇前和相遇后分情況討論，情況較為復(fù)雜。但是，如果將圖形放置到數(shù)軸上，每個點賦予一個數(shù)，則可以利用A（a）、B（b）兩點間距離為||a-b解決。引入絕對值可以有效規(guī)避上述分類討論。

二、翻折問題與坐標(biāo)系

將兩條數(shù)軸按一定的規(guī)則放置便構(gòu)成了坐標(biāo)系，這是二維空間內(nèi)數(shù)形結(jié)合的利器。下面我們來看看建立合適的坐標(biāo)系在解決較復(fù)雜幾何問題方面的強大功效。

例2 如圖3，點O為矩形ABCD的對稱中心，AB=10cm，BC=12cm。點E、F分別從A、B兩點同時出發(fā)，沿矩形的邊按逆時針方向勻速運動，點E的運動速度為1cm/s，點F的運動速度為3cm/s。當(dāng)點F到達點C時，點E隨之停止運動。在運動過程中，△EBF關(guān)于直線EF的對稱圖形是△EB′F，設(shè)點E、F運動的時間為t（單位：s）。是否存在實數(shù)t，使得點B′與點O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由。

圖3

【思路分析】這是一道蘇州市中考壓軸題的改編題。本題既有動點又有翻折，設(shè)問的形式為“是否存在”，具有一定的難度。如果將矩形放置在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，賦予各點以坐標(biāo)，將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，可以較輕松地解決問題。

建立如圖4 所示的坐標(biāo)系：點B為原點，BC和AB所在直線為x軸、y軸。假設(shè)點B′與點O重合，由題意可得B′（6，5）。連接BB′，交EF于點H，由折疊可得EF垂直平分BB′，且H（3，2.5）?？傻弥本€EF的表達式為y=-1.2x+6.1，則EF與兩軸的交點為0）。故矛盾，即點B′不可能與點O重合。

圖4

【反思點評】將幾何圖形放置在坐標(biāo)系內(nèi)，各個點就有了“身份”（坐標(biāo)），各條直線也有了“身份”（表達式），數(shù)形結(jié)合思想便得以實施，我們便可以將復(fù)雜的幾何關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為單一的代數(shù)運算問題。