溯本“清源”回歸“本源”

文／ 張曉東

專(zhuān)題復(fù)習(xí) 圖形的變化 圖形與坐標(biāo)

領(lǐng)銜人：龔 輝

組稿團(tuán)隊(duì)：江蘇省太倉(cāng)市高新區(qū)中學(xué)

圖形的變化是初中幾何的重要內(nèi)容，主要包括圖形的平移、翻折和旋轉(zhuǎn)等。在學(xué)習(xí)中，如果我們對(duì)各種圖形變化的“本源”理解不到位，對(duì)不同圖形變化之間的區(qū)別與聯(lián)系認(rèn)識(shí)不清楚，會(huì)給我們應(yīng)用圖形變化知識(shí)解決問(wèn)題帶來(lái)偏差甚至錯(cuò)誤。下面就以幾道典型例題和大家一起剖析，期待對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

一、概念“本源”理解不清晰

例1 如圖1，已知AC是矩形紙片ABCD的對(duì)角線，AB=3，BC=4。現(xiàn)將矩形ABCD沿對(duì)角線AC剪開(kāi)，再把△ABC沿著AD方向平移，得到圖2 中△A′BC′，當(dāng)四邊形A′ECF是菱形時(shí)，平移距離是_____。

圖1

圖2

【易混點(diǎn)】本題是平移背景下求線段長(zhǎng)度問(wèn)題。很多同學(xué)能夠根據(jù)“四邊形A′ECF是菱形”這一條件求出相關(guān)線段長(zhǎng)度，但如果對(duì)平移距離的概念理解不清晰便會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。

二、性質(zhì)“本源”掌握不牢固

例2 如圖3，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4。將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△ADE，且點(diǎn)D恰好落在AC上，連接EC，則sin∠DCE的值為（）。

圖3

【易混點(diǎn)】有的同學(xué)在觀察圖形后得∠DCE=∠BAC，然后通過(guò)計(jì)算得sin∠DCE=。錯(cuò)解的產(chǎn)生，一是缺少嚴(yán)密的邏輯推理，僅從直觀感受得到結(jié)果；二是對(duì)旋轉(zhuǎn)變化的性質(zhì)掌握不牢固。

【解析】在Rt△ABC中，得到AC=5。根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得AE=5，AD=3，DE=4，所以DC=2。最后，在Rt△EDC中，利用勾股定理可求得EC=，從而求出sin∠DCE=。

三、變化過(guò)程“本源”分析不透徹

例3 如圖4，有一張矩形紙條ABCD，AB=5cm，BC=2cm，點(diǎn)M、N分別在邊AB、CD上，CN=1cm?，F(xiàn)將四邊形BCNM沿MN折疊，使點(diǎn)B、C分別落在點(diǎn)B′、C′上。在點(diǎn)M從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的過(guò)程中，若邊MB′與邊CD交于點(diǎn)E，則點(diǎn)E相應(yīng)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為cm。

圖4

圖5

【易混點(diǎn)】在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，除了圖5（點(diǎn)M與點(diǎn)A重合）和圖6（MB′⊥AB）兩個(gè)特殊情形外，還有一種特殊情形是點(diǎn)B′落在DC上，對(duì)圖形變化過(guò)程分析不透徹就很容易漏掉。

圖6

圖7

四、題意“本源”運(yùn)用不到位

例4 如圖8，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B是x軸正半軸上的一點(diǎn)，將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到線段AC。若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，3），則m的值為（）。

圖8

圖9

【易混點(diǎn)】對(duì)于旋轉(zhuǎn)90°，很多同學(xué)容易想到構(gòu)造“K”字型解決問(wèn)題。但此題是旋轉(zhuǎn)60°，有的同學(xué)無(wú)從下手，隨意猜測(cè)答案。

【解析】本題以平面直角坐標(biāo)系為背景設(shè)置問(wèn)題，同學(xué)們解讀題意時(shí)要充分利用旋轉(zhuǎn)60°的條件，由“線段旋轉(zhuǎn)60°”聯(lián)想“等邊三角形”，而等邊三角形的性質(zhì)是解題的紐帶。故可以連接BC，過(guò)點(diǎn)C分別作CD⊥y軸，CE⊥x軸，垂足分別為D、E，如圖9。易證四邊形CDOE是矩形，所以CD=m，CE=3，AO=2，AD=1。設(shè)OB=x，則BE=m-x，分別在Rt△AOB、Rt△ACD、Rt△BCE中，由勾股定理可得AB2=4+x2，AC2=1+m2，BC2=（m-x）2+9。又因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以AB=AC=BC，所以AB2=AC2=BC2，即4+x2=1+m2=（m-x）2+9，消去x，整理得3m4-22m2-25=0，解得