圓中之“險(xiǎn)”
——“弦”

文／陸玉霞

圓的基本概念比較多，知識點(diǎn)之間綜合性強(qiáng)，解題時(shí)稍有疏忽，便會出現(xiàn)漏解、錯(cuò)解等錯(cuò)誤，其中，與弦有關(guān)的題目更易出錯(cuò)。下面，通過整理同學(xué)們的易錯(cuò)題，我們共同分析錯(cuò)誤原因，幫助大家建立更完善的知識體系，加深對圓中弦的理解。

一、弦、弧、圓周角，夯實(shí)基本功

例1現(xiàn)有以下命題：①平分弦的直徑垂直弦，平分弦所對的弧；②等弧所對的弦相等，所對的圓周角相等；③在同圓或等圓中，弦相等所對的圓周角也相等；④在同圓或等圓中，弦相等則弦所對的弧相等。正確的有________。

【錯(cuò)因分析】對弦的基本概念模糊不清或忽視弦的一些性質(zhì)定理成立的前提條件，都會造成對這種文字型命題判斷的失誤。

【正確解答】①平分非直徑的弦的直徑才垂直弦，平分弦所對的弧，故原命題錯(cuò)誤；②等弧所對的弦相等，所對的圓周角相等，正確；③在同圓或等圓中，弦相等所對的圓周角相等或互補(bǔ)，故原命題錯(cuò)誤；④在同圓或等圓中，弦相等則弦所對的優(yōu)弧或劣弧對應(yīng)相等，故原命題錯(cuò)誤。因此，正確的只有命題②。

二、弦對圓周角，兩角為互補(bǔ)

例2在半徑為2 的圓中，弦AB長為，則弦AB所對圓周角的度數(shù)為______。

【錯(cuò)因分析】一條弦所對的圓周角有兩個(gè)，且這兩個(gè)角是圓內(nèi)接四邊形的一組對角，所以這兩個(gè)角互補(bǔ)。這個(gè)知識點(diǎn)很容易理解，但在本題中，與“圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半”知識點(diǎn)綜合應(yīng)用時(shí)，能力要求提高了，解題時(shí)就容易出現(xiàn)錯(cuò)誤了。

【正確解答】連接OA、OB，C為優(yōu)弧AB上一點(diǎn)，D為劣弧AB上一點(diǎn)，如圖1。

圖1

綜上所述，弦AB所對圓周角的度數(shù)為45°或135°。

三、直徑與弦，特殊與一般

例3如圖2，AB是圓O的弦，AB=點(diǎn)C是圓O上的一個(gè)動點(diǎn)，且∠ACB=60°，若點(diǎn)M、N分別是AB、BC的中點(diǎn)，則MN長度的最大值是______。

圖2

【錯(cuò)因分析】根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得到MN=，所以AC長度的最大值決定了MN長度的最大值。題目中∠ACB=60°，同學(xué)們很容易想到等邊三角形，誤認(rèn)為當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，AC的值最大，導(dǎo)致答案錯(cuò)誤。

【正確解答】連接AO并延長，交圓O于點(diǎn)D，連接BD，如圖3。

圖3

∴∠ADB=∠ACB=60°。

∵AD為圓O的直徑，

∴∠ABD=90°。

∴AD=4。

∵點(diǎn)M、N分別是AB、BC的中點(diǎn)，

∴MN=

當(dāng)AC為直徑時(shí)，AC的長度最大。

∴MN長度的最大值為2。

四、兩弦位置，圓心是關(guān)鍵

例4在半徑為2的圓中，弦AB、AC的長度分別是2、，則弦BC的長度是______。

【錯(cuò)因分析】由于題目沒有給出圖形，很多同學(xué)在做題時(shí)忽略了兩條弦與圓心的位置關(guān)系，自動將兩條弦與圓心的位置默認(rèn)為其中的一種進(jìn)行計(jì)算，導(dǎo)致漏解的現(xiàn)象。

【正確解答】分別作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別是D、E，連接OC、OB，如圖4。

圖4

①當(dāng)弦AB、AC在圓心O的異側(cè)時(shí)，∠BOC=∠AOC+∠AOB=120°+60°=180°，∴BC是直徑，BC的長度為4。

②當(dāng)弦AB、AC＇在圓心O的同側(cè)時(shí)，∠BOC＇=120°-60°=60°。

∵OB=OC＇，∴△OBC＇是等邊三角形。

∴BC＇=OA=2。

綜上所述，弦BC的長度是2或4。

同學(xué)們，在解決圓中弦有關(guān)問題時(shí)，要仔細(xì)讀題，多畫圖，利用數(shù)形結(jié)合等思想方法解決問題。對于典型的錯(cuò)題要加以剖析并反思總結(jié)，加深對知識點(diǎn)的理解，提高自己的解題正確率。