一類一階模糊差分方程解的性態(tài)分析

歐陽苗,張千宏,陳滋利

(1.西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 四川 成都 611730;2.廈門理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,福建 廈門 361000;3.貴州財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)統(tǒng)學(xué)院,貴州 貴陽 550025)

近年來,隨著經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、智能控制等學(xué)科的飛速發(fā)展,差分方程和差分方程系統(tǒng)作為研究熱點(diǎn),被廣泛運(yùn)用于解決工程和生產(chǎn)等諸多方面的問題[1-7].實(shí)際工作環(huán)境帶來的模型參數(shù)模糊不確定性、狀態(tài)變量的性質(zhì)初始條件的不精確性均會給系統(tǒng)帶來一定范圍內(nèi)結(jié)果的波動,其解是模糊數(shù)序列.模糊集理論適用于分析不精確現(xiàn)象,因此對模糊差分方程動力學(xué)行為的研究也逐漸成為應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究熱點(diǎn)[8-14].

論文利用模糊集理論,研究以下一階模糊差分模型

(1)

的正解存在性及每個(gè)正解都有界的條件、持久性、漸近穩(wěn)定性.其中:初始值x0和系數(shù)A,B,C,D均為正模糊數(shù).

1 預(yù)備知識

定義1[15]稱u:→[0,1]為模糊數(shù),若滿足條件(i)～(iv):

(i)u是正規(guī)的,即存在x∈,使得u(x)=1;

(ii)u是模糊凸的,即對于所有t∈[0,1],x1,x2∈,使得

u(tx1+(1-t)x2)≥min{u(x1),u(x2)};

(iii)u是上半連續(xù)的;

模糊數(shù)也可以用參數(shù)形式描述.

定義2[15]參數(shù)形式的模糊數(shù)u是由函數(shù)ul,ur構(gòu)成的函數(shù)對(ul,ur),其中0≤α≤1 ,且滿足條件(I)～(III):

(I)ul(α)有界單調(diào)遞增左連續(xù);

(II)ur(α)有界單調(diào)遞減左連續(xù);

(III)ul(α)≤ur(α),0≤α≤1.

參數(shù)形式下,實(shí)數(shù)x表示為(ul(α),ur(α))=(x,x), 0≤α≤1.{(ul(α),ur(α))}為形成一個(gè)凸錐E1的模糊數(shù)空間,它同構(gòu)等距嵌入Banach空間[15].

定義3[15]任意兩個(gè)模糊數(shù)u,v間的距離定義為

其中:(E1,D)是完備的距離空間.

定義4[15]令u=(ul(α),ur(α)),v=(vl(α),vr(α))∈E1,0≤α≤1且k∈,則

(1)u=v當(dāng)且僅當(dāng)ul(α)=vl(α),ur(α)=vr(α);

(2)u+v=(ul(α)+vl(α),ur(α)+vr(α));

(3)u-v=(ul(α)-vr(α),ur(α)-vl(α));

定義5[16]設(shè)u,v∈E1,α-截集[u]α=[ul,α,ur,α],[v]α=[vl,α,vr,α],其中0?[v]α,?α∈[0,1].模糊數(shù)除法運(yùn)算的廣義除法(g-除法)÷g對應(yīng)于s=u÷gv,取α-截集[s]α=[sl,α,sr,α],定義如下

根據(jù)定義,s是正模糊數(shù),sl,α單調(diào)不減,sr,α單調(diào)不增,sl,1≤sr,1.

注文獻(xiàn)[16]中的模糊數(shù)為正模糊數(shù),若u÷gv=s∈E1,則模糊數(shù)s有以下兩種情形:

性質(zhì)1[15]若{Pα:α∈[0,1]} 是緊的凸集,則n有以下非空子集族:

(b)Pα2?Pα1,若α1≤α2;

(c)Pα=∩k≥1Pαk,當(dāng)αk↑α>0.

定義7[10]正模糊數(shù)序列{xn}稱為持久的,如果存在正實(shí)數(shù)M,使得suppxn?[M,∞).正模糊數(shù)序列{xn} 稱為有界的,如果存在正實(shí)數(shù)N,使得suppxn?(0,N],n=1,2,….正模糊數(shù)序列{xn},若范數(shù)‖xn‖(n=1,2,…)是無界數(shù)列,則稱為無界.

引理1[16]令f:+×××+→+為連續(xù)映射,A,B,C,D是模糊數(shù),則

[f(A,B,C,D)]α=f([A]α,[B]α,[C]α,[D]α),α∈(0,1].

(2)

2 主要結(jié)論

2.1 方程(1)正解的存在性

定理1設(shè)模糊差分方程(1)的參數(shù)A,B,C,D和初始值x0為正模糊數(shù),則對于任意正模糊數(shù)x0,存在初始條件為x0的唯一正解xn.

證明假設(shè)存在一個(gè)滿足方程(1)初始值為x0的模糊數(shù)序列{xn},考慮它的α-截集,α∈(0,1],有

[xn]α=[ln,α,rn,α],n=0,1,2,…,

[A]α=[Al,α,Ar,α],[B]α=[Bl,α,Br,α],

[C]α=[Cl,α,Cr,α],[D]α=[Dl,α,Dr,α].

(3)

由式(1),(3)及引理1,有

根據(jù)論文的注,{xn}的α-截集在以下兩種形式中,必居其一:

(4)

(5)

在(4)式中,當(dāng)n∈{0,1,2,…},α∈(0,1],有

(6)

顯然對任意初始條件(l0,α,r0,α),α∈(0,1],存在唯一解(ln,α,rn,α).以下證明[ln,α,rn,α],α∈(0,1],其中(ln,α,rn,α)為系統(tǒng)(6)在初始值(l0,α,r0,α)下的解.確定了(1)具有初始條件x0時(shí)滿足以下條件

[xn]α=[ln,α,rn,α],α∈(0,1],n=0,1,2,….

(7)

(8)

2.2 方程(1)解的性態(tài)分析

引理2對于一階常差分方程

(9)

其中:a∈(0,1),b,c,d∈(0,+∞),y0∈(0,+∞), 有以下結(jié)論:

(i) 方程(9)的每個(gè)正解滿足

(10)

(ii) 若d>(1-a)c,方程(9)有唯一正不動點(diǎn)

證明(i) 令{yn} 為方程(1)的正解. 當(dāng)n≥0,有

設(shè)方程(9)的不動點(diǎn)為y*,即yn=y*.由(9)式,有

即

(11)

有

另一方面,由式(10)知{yn} 有界,又由式(11)知f′(y)>0,{yn}單調(diào)增加,因此

定理2一階模糊差分方程(1),參數(shù)A,B,C,D及初值x0為正模糊數(shù),若存在正數(shù)NA,?α∈(0,1],Ar,α

(12)

與

Dl,α>Cl,α(1-Al,α),Dr,α>Cr,α(1-Ar,α),?α∈(0,1],

(13)

則:

(i) 方程(1)的解有界;

(ii) 方程(1)有唯一漸近穩(wěn)定的正不動點(diǎn)x*.

證明(i) 存在正常數(shù)MA,NA,MB,NB,MC,NC,MD,ND,M0,N0,使得

(14)

由引理2中的(i),有

(15)

由式(14),(15),有

[ln,α,rn,α]?[0,N],n≥1,α∈(0,1],

(16)

(ii) 在條件(12)下,在方程(1)兩邊取α-截集,得到以下帶參數(shù)的差分方程系統(tǒng)

(17)

可得

(18)

的正解為

令xn為方程(1)滿足[xn]α=[ln,α,rn,α],α∈(0,1],n=0,1,2,…的正解,則由式(17)及性質(zhì)1,有

(19)

由式(16),(19)得到:對0<α1<α2<1, 有

0

(20)

因Al,α,Ar,α,Bl,α,Br,α,Cl,α,Cr,α,Dl,α,Dr,α都左連續(xù),式(18)定義的lα,rα也左連續(xù). 由式(14),(18),有

(21)

(22)

由定義2,式(18),(20),(22),lα,rα,α∈(0,1],存在滿足下式的模糊數(shù)x*

(23)

由式(19),有

即方程(1)的每個(gè)正解xn,當(dāng)n→∞時(shí)收斂到唯一的不動點(diǎn)x*.由性質(zhì)2知x*全局漸近穩(wěn)定.

由(5)式,有

其中:α∈(0,1],n=0,1,2,….

引理3考慮差分系統(tǒng)

(24)

其中:ai∈(0,1),bi,ci,di∈(0,+∞)(i=1,2),y0,z0∈(0,+∞).若滿足條件a1+a2<1 與d1d2>c1c2(1-a1)(1-a2),則:

(i) 系統(tǒng)(24)的所有正解(yn,zn) 有界

(25)

(ii) 系統(tǒng)(24)有唯一正不動點(diǎn)

(26)

證明設(shè)系統(tǒng)(24)的正解為(yn,zn),當(dāng)n≥0, 有

所以有

得證此正解有界.

令(yn,zn)=(y,z) 為系統(tǒng)(24)的不動點(diǎn),即

易證存在正不動點(diǎn)(y,z) 如式(26)所示.

定理3模糊差分方程(1)中A,B,C,D均為正模糊數(shù),若存在正數(shù)NA,?α∈(0,1],Ar,α

(27)

則:

(i) 方程(1)的正解有界;

(ii) 方程(1)有唯一的正不動點(diǎn)x,[x]α=[lα,rα],且

其中

證明(i) 令xn是方程(1)的解,在(ii)中使用引理3,可得

(ii) 令xn=x是方程(1)的一個(gè)不動點(diǎn),則

(28)

在式(28)兩邊取α-截集,又因?yàn)椴坏仁?27),得到以下系統(tǒng)

從而得到

于是,由lα,rα組建了正模糊數(shù)x,其中[x]α=[lα,rα],α∈(0,1].

3 數(shù)值模擬

例考慮一階模糊差分方程

(29)

參數(shù)A,B,C,D及初始值x0均為拋物對稱模糊數(shù),比現(xiàn)有三角模糊數(shù)更具仿真意義.

相應(yīng)地,可得

有

從方程(29)得到一組含有參數(shù)α的差分系統(tǒng)

顯然Ar,α<1,?α∈(0,1] 且滿足式(12),(13), 拋物對稱模糊解x1,x2,…,x10,如圖1所示.

圖1 模糊差分方程的拋物對稱模糊解及對應(yīng)α-截集

圖2 對應(yīng)α=0,0.25,0.5,0.75,1時(shí),方程(29)在長時(shí)間下解的性態(tài)

4 結(jié)束語

若Dl,α≥Cl,α(1-Al,α),Dr,α≥Cr,α(1-Ar,α),α∈(0,1],方程(1)正解有界且有唯一的局部漸近穩(wěn)定的正平衡點(diǎn).

若Al,α+Ar,α<1且Dl,αDr,α>Cl,αCr,α(1-Al,α)(1-Ar,α),α∈(0,1], 方程(1)正解有界且有唯一的全局漸近穩(wěn)定正平衡點(diǎn).