比較,讓數(shù)學(xué)思維向深處漫溯

馬曉燕

比較是人們認(rèn)識(shí)事物本質(zhì)的思維方式，是提升思維品質(zhì)最有效的方法之一。在教學(xué)中，我們往往需要根據(jù)教材的特點(diǎn)和教學(xué)的需要，或比較概念，在辨中明理;或優(yōu)化解法，在比中擇優(yōu);或歸類分析，在聯(lián)中融通，促進(jìn)學(xué)生深入思考，更清晰、更透徹、更理性地思考問(wèn)題，獲得規(guī)律性的認(rèn)知。下面，筆者以人教版五年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)廣角《找次品》為例，談?wù)劚壤谠撜n中的應(yīng)用。

《找次品》一課要求學(xué)生通過(guò)觀察、比較、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、推理等活動(dòng)，在一群合格品中找出一個(gè)質(zhì)量較輕或較重的次品，感受數(shù)學(xué)在生活中的廣泛應(yīng)用，體會(huì)解決問(wèn)題策略的多樣性及運(yùn)用優(yōu)化方法解決問(wèn)題的有效性，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

一、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，在比較中加深理解

建構(gòu)主義強(qiáng)調(diào)：讓學(xué)生在真實(shí)的教學(xué)情境中帶著問(wèn)題學(xué)習(xí)，以探索問(wèn)題的解決方法來(lái)驅(qū)動(dòng)和維持學(xué)習(xí)的興趣和動(dòng)機(jī)。學(xué)生在探索解決問(wèn)題的過(guò)程中，通過(guò)比較、分析、推理等方法，使數(shù)學(xué)知識(shí)的理解更深入。

在《找次品》一課中，教師沒(méi)有從簡(jiǎn)單的2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)零件入手，讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)怎么找次品;而是直接出示8個(gè)零件，其中有一個(gè)次品較輕，問(wèn)你會(huì)怎么稱？

生：我在天平兩邊各放4個(gè)，次品在輕的4個(gè)中;再兩邊各放2個(gè)，次品在輕的2個(gè)中;接著兩邊各放1個(gè)，次品就找出來(lái)了。

生：我先兩個(gè)兩個(gè)地稱，如果不平，輕的那兩個(gè)再各放一邊，兩次就稱出來(lái)了。但如果是平的，說(shuō)明在剩下的4個(gè)中，再兩邊放2個(gè)，找到輕的2個(gè)，最后兩邊放1個(gè)，輕的那個(gè)就找出來(lái)了，這樣需要3次。

如果學(xué)生事先沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)找次品的內(nèi)容，能像上面這兩位同學(xué)這樣條理清楚地表述已經(jīng)很不錯(cuò)了，且下面坐著的大部分同學(xué)也大都按照8（4，4）或8（2，2，2，2）的方法。顯而易見(jiàn)，這樣的分法都需要3次。這時(shí)那些提前學(xué)過(guò)奧數(shù)的同學(xué)急著舉手：“我、我、我……”“不急！”教師笑著說(shuō)，我們?cè)賮?lái)從9個(gè)零件中來(lái)找一找吧，如果是9個(gè)零件，你又會(huì)怎么稱？

生：我先在天平兩邊各放4個(gè)，平的話，剩下的那個(gè)就是次品，1次就夠了。

底下的同學(xué)“嘩”地笑出來(lái)了，“這是好運(yùn)氣，中大獎(jiǎng)了，要考慮最差情況！”有同學(xué)嚷嚷著。

生：不平的話，可以接著稱，兩放各放2個(gè)，找出輕的2個(gè);再兩邊各放1個(gè)，次品就找出來(lái)了。我覺(jué)得也是3次。

生：我感覺(jué)可以兩邊各放3個(gè)，次品一定在其中的3個(gè)中;再兩邊各放1個(gè)，平的話，剩下是次品，不平的話，輕的那個(gè)就是次品，這樣2次就可以了！

這時(shí)同學(xué)們明顯地感覺(jué)到了9（3，3，3）的分法明顯比9（4，4，1）的分法要好。

師：對(duì)呀，可是奇怪了，為什么8個(gè)零件要3次，9個(gè)零件卻只要2次呢？

教室里一下子安靜了。

生：我覺(jué)得上面8個(gè)，是分成4和4，只有兩份，而9個(gè)是分成了3、3、3，分成三份了。

生：9分成4、4、1也是三份呀？

生：是不是平均分三份，稱的次數(shù)會(huì)少一些吧？

生：可是8個(gè)不能平均分成三份呀？

生，可以把8分成3、3、2，兩邊各放3個(gè)，平的話，次品在剩下的2個(gè)中，不平的話，次品在輕的3個(gè)中，再兩邊各放1個(gè)，這樣的確兩次就可以了。

就這樣，在問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)之下，學(xué)生對(duì)8和9的兩種不同分法進(jìn)行比較的熱情空前高漲。教師也趁熱打鐵，在8（4，4）的分法中，稱一次，次品鎖定在4個(gè)零件中;在8（3，3，2）的分法中，稱一次，次品最多鎖定在3個(gè)零件中，所以少稱了一次。在教師的點(diǎn)拔中，學(xué)生不僅明白了需要把零件盡可能地平均分成三份這種分法，更理解了分三次且盡可能地平均，原來(lái)是因?yàn)橐汛纹繁M可能地縮小在最小的范圍內(nèi)。如果說(shuō)，前者學(xué)生對(duì)自己探究到的方法是喜悅的，那么當(dāng)理解之后，那種喜悅就上升為滿足了。

二、多元表征，在比較中優(yōu)化方法

在《找次品》一課中，為了使別人明白自己是怎么解決問(wèn)題的，學(xué)生需要清晰、有條理地表示出邏輯推理的過(guò)程。如何把思維過(guò)程以外顯的方式表征出來(lái)，對(duì)學(xué)生來(lái)講有一定的難度。在前面8個(gè)、9個(gè)零件中找次品，教師讓學(xué)生自由表征自己的想法，學(xué)生的表現(xiàn)形式也各不相同。

方法一：全文字表述。

反饋意見(jiàn)：學(xué)生表示聽(tīng)聽(tīng)還可以，看著字?jǐn)?shù)太多，密密麻麻的，不簡(jiǎn)潔。而且如果零件總數(shù)增多，推理的步驟也相應(yīng)增加，用文字表述的話可能是一大段了。

方法二：畫(huà)圖表征，圖文結(jié)合。如8個(gè)零件，書(shū)上和習(xí)題本中都這樣表述：

反饋意見(jiàn)：學(xué)生表示這種表述方法比全文字來(lái)得清晰，但所花費(fèi)的時(shí)間不少反增。的確，文字一個(gè)不見(jiàn)少，還要畫(huà)框、畫(huà)箭頭，雖然規(guī)范，但的確不受學(xué)生歡迎。

那么，怎樣的表述方法方便快捷又簡(jiǎn)潔明了，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的特征呢？在這種需求下，教師出示了征集令，讓學(xué)生創(chuàng)意，比較各種表征方式，只要合理，我們就統(tǒng)一選用。讓我們一起來(lái)看一下，最終被大家一致認(rèn)可的方案是：

在多種方法的比較中，學(xué)生感覺(jué)到，一要能表現(xiàn)出稱的全過(guò)程，二要簡(jiǎn)潔明了，不僅是自己明白，還要讓其他同學(xué)都能看懂。而這些標(biāo)準(zhǔn)，是在幾種方法不斷地比較中突顯出來(lái)的，有比較，就能選擇。

三、類比推理，在比較中走向深刻

類比是指在新事物與已知事物之間的某些方面作類似的比較，把已經(jīng)獲得的知識(shí)、方法、理論遷移到新事物中，從而解決新問(wèn)題。類比不僅是一種富有創(chuàng)造性的方法，而且更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的美感。在《找次品》一課中，如果只滿足讓學(xué)生找出次品，用流程圖表示的話，這堂課還不盡完美，因此，在課末教師還增加了這樣幾項(xiàng)內(nèi)容：

1. 引入“你知道嗎？”

在教師讓學(xué)生練習(xí)找15個(gè)、27個(gè)、81個(gè)……零件的次品時(shí)，教師讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)：為什么15個(gè)零件稱3次，而27個(gè)零件也只要稱3次呢？里面有什么規(guī)律？引起了學(xué)生興趣后，教師再讓學(xué)生去看一看書(shū)上的“你知道嗎”，說(shuō)一說(shuō)你看懂了什么？在強(qiáng)烈的好奇心下，學(xué)生對(duì)（? ?）-（? ?）個(gè)零件稱2次、3次、4次馬上找到了其中的規(guī)律。教師還不滿足，拋出了問(wèn)題：有一堆零件中有一個(gè)較輕的次品，小明稱了4次就稱出來(lái)了，這堆零件可能有幾個(gè)？這是一種逆向思維，你不問(wèn)學(xué)生可能想不到，但你一問(wèn)，學(xué)生就會(huì)從表中反過(guò)去看，一下就找到了答案。

2. 增加天平的托盤(pán)

在現(xiàn)實(shí)中，天平都是只有兩個(gè)托盤(pán)的，所以我們是把零件均分成三份。但如果有一個(gè)與眾不同的天平，它有三個(gè)托盤(pán)，每個(gè)托盤(pán)內(nèi)都可以放物品，并且能測(cè)量出三個(gè)托盤(pán)內(nèi)最輕的一個(gè)物品?，F(xiàn)有63個(gè)外觀相同的乒乓球，其中一個(gè)為次品，較輕，則用該天平最少稱幾次就能找出這個(gè)乒乓球？

在這道題目中，63要分成幾份是關(guān)健，而這個(gè)關(guān)鍵應(yīng)該和托盤(pán)數(shù)量有關(guān)。有三個(gè)托盤(pán)，均分成4份比較合理。63（16，16，16，15），16（4，4，4，4），4（1，1，1，1），這樣三次就可以稱出了。

如果是這種有三個(gè)托盤(pán)的天平，經(jīng)過(guò)上面的解題，你也能像“你知道嗎”那樣找一找規(guī)律嗎？這個(gè)作業(yè)作為數(shù)學(xué)研究報(bào)告完成，結(jié)果學(xué)生并沒(méi)有被難倒，竟有多位學(xué)生找到了其中的規(guī)律。

3. 次品不知輕重怎么稱

次品不知道是輕是重該怎么稱，這是一個(gè)相對(duì)較難的題目，因此我們的探究也從最簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)開(kāi)始。4個(gè)零件中怎么找？天平兩邊各放1個(gè)，如果是平的，說(shuō)明這兩個(gè)都是正品。拿其中一個(gè)正品和剩下的其中一個(gè)去稱，如果是平的，第4個(gè)是次品;如果不平，那么第3個(gè)是次品。當(dāng)然，如果一開(kāi)始稱的時(shí)候是不平的，那么剩下的2個(gè)一定是正品，同理用正品和1去稱，平的2是次品，不平1就是次品。兩次就可以解決，這和知道次品輕重的次數(shù)是一樣的。那么5個(gè)是否一樣呢？經(jīng)過(guò)探究學(xué)生發(fā)現(xiàn)需要3次，6個(gè)、7個(gè)、8個(gè)呢？這些零件也都需要3次，由此我們做出了如下猜測(cè)：是否除了4個(gè)，其它的零件稱法只要原來(lái)的次數(shù)+1呢？當(dāng)然，這個(gè)內(nèi)容課堂上無(wú)法完成，我也只要求有興趣的孩子可以課外去思考一下。結(jié)果，學(xué)生永遠(yuǎn)比教師聰明，有學(xué)生證明了13個(gè)零件只要稱3次就可以了，不需要加1。

比較是一切理解與思維的基礎(chǔ)，運(yùn)用比較讓我們更容易抓住事物的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，也促進(jìn)學(xué)生的思維向更深處發(fā)展！