妙用幾何直觀,巧促童心說理

陳洲梅

義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》2022版強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”的重要性，提出創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的培養(yǎng)，是落實(shí)核心素養(yǎng)的新要求。2011版課標(biāo)發(fā)行至今十年有余，但是一線教師對(duì)“綜合與實(shí)踐”認(rèn)識(shí)不足，認(rèn)為講不講都可以，因?yàn)榭荚嚊]考。部分一線的教師已經(jīng)意識(shí)到綜合實(shí)踐課的重要性，但由于授課的素材、內(nèi)容、方法、教學(xué)后的課堂評(píng)價(jià)和書面評(píng)價(jià)都相對(duì)比較不好把握，課程也是流于形式，草草結(jié)束。

2022版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“幾何直觀主要是運(yùn)用圖形描述和分析問題的意識(shí)與習(xí)慣。建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型;利用圖形分析實(shí)際情境與數(shù)學(xué)問題，探索解決問題的思路，幾何直觀有助于把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑?！蹦懿荒茉谡n堂教學(xué)中充分運(yùn)用幾何直觀，解決綜合實(shí)踐課堂中難把握的問題，以提高學(xué)生理解能力，促進(jìn)學(xué)生知理、明理、會(huì)說理？

下面以平時(shí)對(duì)“綜合與實(shí)踐”課程的思考，在課堂上如何利用幾何直觀開展綜合實(shí)踐活動(dòng)，簡要分析“妙用幾何直觀”對(duì)促進(jìn)學(xué)生理清數(shù)學(xué)道理的幫助。

一、借助多媒體，以“圖”助“理”

“雙減”政策下的數(shù)學(xué)課堂要提質(zhì)增效。數(shù)學(xué)課堂要適時(shí)發(fā)揮信息技術(shù)的效能，化抽象為直觀、變枯燥為生動(dòng)，增強(qiáng)課堂的有效性。

1. 直觀對(duì)比，讓數(shù)學(xué)本質(zhì)看得見

“找不同”這個(gè)游戲項(xiàng)目是孩子們喜歡的。利用兒童的特點(diǎn)，巧用對(duì)比，精準(zhǔn)找不同，可以直擊數(shù)學(xué)問題，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)。例如：《確定起跑線》是六年級(jí)一節(jié)綜合實(shí)踐課，在田徑賽場上有各種賽跑比賽，100m、200m、400m……環(huán)形跑道中，道寬不同，長度也不同，如何確定起跑線呢？學(xué)生思維的難點(diǎn)是為什么外圈的起點(diǎn)要比里圈更靠前？靠前多長？要突破這個(gè)難點(diǎn)，找不同這樣的直觀教學(xué)手段，就發(fā)揮了輔助性作用。如圖所示，發(fā)揮信息技術(shù)的優(yōu)勢，把操場平面圖直觀呈現(xiàn)，直道部分里圈和外圈都相同，不同在于彎道部分，而彎道部分長度差就是圓周長之差，根據(jù)這樣的思路，學(xué)生完成表格，找到規(guī)律：即400m比賽起跑線差距是“道寬×2×圓周率”。這樣巧用幾何直觀，突破難點(diǎn)，剖析易錯(cuò)點(diǎn)，讓數(shù)學(xué)本質(zhì)看得見。

2. 動(dòng)畫演示，讓圖形幾何更直觀

針對(duì)學(xué)生喜歡動(dòng)畫片的年齡特征，難以理解的數(shù)學(xué)知識(shí)如果能用動(dòng)畫形式形象直觀、色彩鮮明地呈現(xiàn)出來，可以促進(jìn)學(xué)生深入理解、內(nèi)化知識(shí)。如五年級(jí)下冊(cè)《探索圖形》：把一個(gè)長6分米、寬5分米、高4分米的長方體表面涂上紅色，再將這個(gè)長方體長平均分成6份、寬平均分成5份、高平均分成4份切開，成棱長為1分米的小正方體。①共切成幾個(gè)小正方體？②在這些小正方體中兩面涂色的小正方體有多少個(gè)？③一個(gè)面涂色的小正方體有多少個(gè)？④0個(gè)面涂色的小正方體有多少個(gè)？對(duì)于第②③④個(gè)問題，同學(xué)們相對(duì)難以理解。這時(shí)制作課件動(dòng)畫，直觀演示分析過程。學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)：兩面涂色的小正方體都在棱上，只需要把每條棱長減去首尾兩個(gè)三面涂色的小正方體，即[（6-2）+（5-2）+（4-2）]×4就是兩面涂色的小正方體個(gè)數(shù);通過觀察想象，學(xué)生也不難發(fā)現(xiàn)：在六個(gè)面上去掉周圍一周就是一面涂色的小正方體;把上下左右前后各切掉一層，剩下來的圖形就全是0面涂色的。這樣用動(dòng)畫演示思考過程，培養(yǎng)學(xué)生空間觀念，增強(qiáng)幾何直觀核心素養(yǎng)的培育。

二、培養(yǎng)畫數(shù)學(xué)，以“畫”明“理”

一位德高望重的中國美術(shù)學(xué)院畫家說過：“兒童有獨(dú)特觀察視角，有獨(dú)特的表達(dá)方式?！倍鴥和瘜W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式中，“把數(shù)學(xué)畫出來”就是一種獨(dú)特而有效的方式。

1. 爭議時(shí)畫，表達(dá)心中所想

關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，“用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”已成為基本共識(shí)。在數(shù)學(xué)課堂上，有時(shí)學(xué)生思維有爭議時(shí)，能用“畫”來直觀表達(dá)自己的想法，以畫明理。如在人教版三年級(jí)下冊(cè)“怎么圍面積最大”中設(shè)計(jì)這樣一個(gè)問題“如果有一根長24米的鐵絲，一面靠墻，圍成一個(gè)長方形或正方形，長、寬分別取整米數(shù)，怎樣圍面積最大？

生1：老師我知道，前面我們研究過了，肯定是圍成正方形的面積最大。

生2：我同意，我補(bǔ)充，一面靠墻只要圍3面，24÷3=8米，8×8=64平方米。

生3：我不同意，我通過列表的方法驗(yàn)證，你們瞧，一條長12米，兩條寬各是6米，面積是12×6=72平方米，我圍的是長方形，面積卻比正方形更大。

學(xué)生一片安靜，陷入思考：為什么長方形面積卻更大了呢？

有什么辦法可以說清其中的數(shù)學(xué)道理呢？我適時(shí)引導(dǎo)：大家可以嘗試把自己心中的想法畫出來。

學(xué)生畫出兩種方法后通過計(jì)算對(duì)比，確實(shí)是長方形面積更大！為什么長方形的面積反而更大？這里到底蘊(yùn)藏著什么數(shù)學(xué)奧秘呢？學(xué)生再次進(jìn)入思考。

我引導(dǎo)，這里有一堵墻，你們能否再用24米長的繩子，在墻的另一側(cè)也圍一圍，看看能不能有所發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生們畫出另一半的時(shí)候，高聲呼喊：“哦！我知道了！”眼神中透著光亮和喜悅。

生1：“原來把長12米，寬6米的長方形另一半畫上以后，就拼成一個(gè)正方形啦！”

生2：“我發(fā)現(xiàn)，‘正方形面積最大的這個(gè)本質(zhì)是不變的。通過畫圖，我可以把這道題改成‘用48米長的繩子，圍成一個(gè)長方形或正方形，怎樣圍面積最大？很明顯正方形的面積更大！當(dāng)一面靠墻時(shí)，就圍成正方形的一半，也就是長=寬×2時(shí)，面積最大?！?/p>

在學(xué)生疑惑、爭議時(shí)，學(xué)生畫數(shù)學(xué)，巧用幾何直觀，可以提升數(shù)學(xué)思維能力，直觀理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。

2. 列舉時(shí)畫，描述思考過程

中年級(jí)學(xué)生的思維正處于形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段。把需要傳遞給學(xué)生的知識(shí)，應(yīng)用圖形、圖表等形式逐步呈現(xiàn)出來，使學(xué)生思維能力得到不斷提升。在《一億有多大》綜合實(shí)踐課上，如何讓學(xué)生體驗(yàn)到一億有多大呢？學(xué)生先選擇自己喜歡的話題，可以把1億借助實(shí)物來表達(dá)：例如一億滴水有多重？一億粒大米有多重？一億張紙有多厚？一億秒有多長……在體驗(yàn)1億滴水有多重時(shí)，先借助量杯測量出500滴水大約是100ml，再畫表格填寫1000滴水是200ml，10000滴水是2000ml也就是2升，依次推算出十萬滴、一百萬滴、一千萬滴，最后推算出1億滴水就是20000升，再換算單位，20000升就是20噸。這樣一個(gè)數(shù)據(jù)讓學(xué)生很驚訝！在此基礎(chǔ)上進(jìn)行節(jié)水節(jié)源教育，如果每人每天使用4瓶500毫升的礦泉水即2升水，那1億滴水夠20000人使用一天呢！再引導(dǎo)，如果每人每天都能節(jié)約一滴水，全國14億人口，就能節(jié)約14億滴水，可以供多少人使用呢？學(xué)生在活動(dòng)交流中，運(yùn)用列表，直觀對(duì)比，發(fā)展數(shù)感，從不同的情境中感受1億的大小，并進(jìn)行節(jié)水、節(jié)糧、節(jié)約時(shí)間的教育。

三、動(dòng)手做數(shù)學(xué)，以“用”驗(yàn)“理”

小學(xué)生注意力持久性不高，要上好綜合實(shí)踐課，突破重難點(diǎn)，動(dòng)手操作就顯得非常重要。

1. 做中思，培養(yǎng)有序思維

在一年級(jí)實(shí)踐課《想一想 擺一擺》一課中，要求學(xué)生動(dòng)手?jǐn)[一擺，在數(shù)位表中用圓片表示不同的數(shù)。孩子在游戲中學(xué)習(xí)，興趣高漲，擺2個(gè)圓片時(shí)，學(xué)生很快擺出11、20、2三個(gè)數(shù)，由于第1次擺，數(shù)字只有三個(gè)，學(xué)生很快擺出，暫時(shí)不能做到不重不漏。繼續(xù)研究：5個(gè)圓片可以擺出幾個(gè)兩位數(shù)呢？難度加大，引導(dǎo)學(xué)生擺數(shù)游戲時(shí)要按照一定的順序，可以先把5個(gè)圓片都放在個(gè)位;也可以把1個(gè)圓片放在十位，4個(gè)圓片放在個(gè)位;再調(diào)整，把2個(gè)圓片放在十位，3個(gè)圓片放在個(gè)位;依次移動(dòng)，擺出5、14、23、32、41、50這些數(shù)字，那7個(gè)、8個(gè)、9個(gè)圓片……分別能擺出哪些不同的數(shù)？學(xué)生帶著疑問和思考通過想一想、擺一擺、說一說、畫一畫，分享交流，怎么做可以有次序、不重不漏。綜合與實(shí)踐課堂成為學(xué)生渴望“學(xué)”的內(nèi)在需要的場地。這樣在輕松愉快的操作學(xué)習(xí)、直觀對(duì)比中，學(xué)生積極自主、感悟數(shù)學(xué)樂趣。

2. 做中悟，提高空間意識(shí)

五年級(jí)的三角形的面積計(jì)算拓展課，引導(dǎo)孩子們思考：除了用兩個(gè)完全相同的三角形拼成一個(gè)平行四邊形的方法以外，還有什么轉(zhuǎn)化的方法嗎？先思考交流，再動(dòng)手試試，最后再全班分享。通過動(dòng)手操作、交流探討后，同學(xué)們分享了自己的想法：

可以畫出三角形的高，找出高的中點(diǎn)，沿著高的中點(diǎn)畫出底邊的平行線，沿著平行線剪開（如圖所示），這樣轉(zhuǎn)化也可以把三角形剪拼成一個(gè)平行四邊形。平行四邊形的底與三角形的底相等，平行四邊形的高相當(dāng)于三角形高的一半，所以三角形的面積公式是：底×高÷2。

通過操作，學(xué)生不僅學(xué)會(huì)了三角形面積的另一種方法，更重要的是，他們的內(nèi)心植入了創(chuàng)新的種子，通過操作感悟，提升了空間意識(shí)。

課程標(biāo)準(zhǔn)中提出十一個(gè)核心詞，我們?cè)诮虒W(xué)過程中要以生為本、扎實(shí)落地。綜合與實(shí)踐活動(dòng)作為一種新型的學(xué)習(xí)方式，我們會(huì)不斷研究和改進(jìn)，并且逐步完善，運(yùn)用看、畫、做等手段，借助幾何直觀，全面培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，真正促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。