橢圓與其大輔助圓的四個(gè)共同性質(zhì)

廣西師范大學(xué)電子工程學(xué)院2021級(jí)電信1班(541004) 李天

以橢圓的中心為圓心,分別以橢圓的長軸和短軸的長為直徑的圓叫做橢圓的大輔助圓和小輔助圓.顯然,橢圓與其大、小輔助圓是不可分割的統(tǒng)一體,因而它們之間必然存在某些共同性質(zhì).筆者經(jīng)過探究初步發(fā)現(xiàn)橢圓與其大輔助圓的四個(gè)共同性質(zhì).

共同性質(zhì)一

大輔助圓性質(zhì)1如圖1(1),過橢圓0)右焦點(diǎn)F的直線交橢圓的大輔助圓⊙O:x2+y2=a2于P,Q兩點(diǎn)(P,Q異于橢圓長軸的左、右端點(diǎn)A,B),右準(zhǔn)線為L.則

(1)以P,Q為切點(diǎn)的⊙O的兩切線的交點(diǎn)M在右準(zhǔn)線L上;反之,過右準(zhǔn)線L上任意一點(diǎn)M作⊙O的切線MP,MQ,P,Q為切點(diǎn),則直線PQ過橢圓的右焦點(diǎn)F;

(2)直線AP與直線BQ的交點(diǎn)N在右準(zhǔn)線L上.

橢圓性質(zhì)1如圖1(2),過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn)(P,Q異于橢圓長軸的左、右端點(diǎn)A,B),右準(zhǔn)線為L.則

(1)以P,Q為切點(diǎn)的橢圓的兩切線的交點(diǎn)M在右準(zhǔn)線L上;反之,過右準(zhǔn)線L上任意一點(diǎn)M作橢圓的切線MP,MQ,P,Q為切點(diǎn),則直線PQ過橢圓的右焦點(diǎn)F;

(2)直線AP與直線BQ的交點(diǎn)N在右準(zhǔn)線L上.

證明大輔助圓性質(zhì)1

(1)設(shè)直線PQ的方程為x=ky+c,P(x1,y1),Q(x2,y2),切線PM的方程為x1x+y1y=a2,切線QM的方程為x2x+y2y=a2,聯(lián)立消去y,整理得

因?yàn)镻,F,Q三點(diǎn)共線,所以,整理得x2y1?x1y2=c(y1?y2),代入①得c(y1?y2)x=a2(y1?y2),因?yàn)閥12,所以,所以點(diǎn)M在右準(zhǔn)線L上.反之,設(shè)因?yàn)橐訮,Q為切點(diǎn)的切線方程分別為x1x+y1y=a2,x2x+y2y=a2,又點(diǎn)M在兩切線上,所以由此知點(diǎn)P,Q在直線上.因?yàn)檫^點(diǎn)P,Q的直線有且僅有一條,所以為直線PQ的方程.將點(diǎn)F(c,0)的坐標(biāo)代入方程左邊得所以直線PQ過橢圓右焦點(diǎn)F.

(2)直線AP的方程為直線BQ的方程為聯(lián)立消去y,整理得

將方程x=ky+c與方程x2+y2=a2聯(lián)立消去x,整理得代入②整理得.

橢圓性質(zhì)1 可仿上述方法證明.(略)

共同性質(zhì)二

大輔助圓性質(zhì)2如圖2(1),已知AB為橢圓1(a>b>0)的大輔助圓⊙O:x2+y2=a2的直徑,F為橢圓的右焦點(diǎn),直線AF,BF分別交⊙O于另外一點(diǎn)G,E.則直線AE與直線BG的交點(diǎn)M在橢圓的右準(zhǔn)線上.

橢圓性質(zhì)2如圖2(2),已知AB為橢圓1(a >b >0)的直徑,F為橢圓的右焦點(diǎn),直線AF,BF分別交橢圓于另外一點(diǎn)G,E.則直線AE與直線BG的交點(diǎn)M在橢圓的右準(zhǔn)線上.

證明橢圓性質(zhì)2

設(shè)A(x1,y1),則B(?x1,?y1),直線AF的方程為與橢圓方程聯(lián)立消去y,得b2x2+整理,得

代入AF的方程,得

將①中x1換成?x1,y1換成?y1,得直線AE的方程為

聯(lián)立①,②消去y,得所以點(diǎn)M在右準(zhǔn)線上.

大輔助圓性質(zhì)2 可仿上述方法證明.(略)

注進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn),大輔助圓性質(zhì)2 中,直線AE,BG均與橢圓相切,設(shè)切點(diǎn)分別為P,Q,不僅直線PQ過右焦點(diǎn)F,且PQ//AB.(見以下試題3,4)

共同性質(zhì)三

大輔助圓性質(zhì)3如圖3,已知橢圓1(a >b >0)和橢圓的大輔助圓⊙O:x2+y2=a2,P為⊙O上異于橢圓左、右頂點(diǎn)A,B的任意一個(gè)點(diǎn),連接AP交橢圓于點(diǎn)Q,直線L:x=a,⊙O過點(diǎn)P的切線交L于點(diǎn)M,則MQ與橢圓相切.

橢圓性質(zhì)3如圖3,已知橢圓和橢圓的大輔助圓⊙O:x2+y2=a2,Q為橢圓上異于左、右頂點(diǎn)A,B的任意一個(gè)點(diǎn),連接AQ交⊙O于點(diǎn)P,直線L:x=a,橢圓過點(diǎn)Q的切線交L于點(diǎn)M,則MP與大輔助圓相切.

證明設(shè)P(x0,y0),則⊙O在點(diǎn)P處的切線方程為x0x+y0y=a2.設(shè)切線與直線L的交點(diǎn)為M,令x=a,得因?yàn)樗运?

設(shè)Q(x1,y1),則橢圓在點(diǎn)Q處的切線方程為設(shè)切線與直線L的交點(diǎn)為M′,令x=a,得所以因?yàn)辄c(diǎn)A,P,Q共線,所以

所以點(diǎn)M′與點(diǎn)M重合.所以MP與⊙O相切時(shí),MQ與橢圓相切;反之,MQ與橢圓相切時(shí),MP與⊙O相切.

注該性質(zhì)可類比到雙曲線與其實(shí)輔助圓(以實(shí)軸長為直徑的圓).

雙曲線與實(shí)輔助圓共同性質(zhì)如圖3(1),已知雙曲線和雙曲線的實(shí)輔助圓⊙O:x2+y2=a2,P為⊙O上異于雙曲線左、右頂點(diǎn)A,B的任意一個(gè)點(diǎn),連接AP交雙曲線于點(diǎn)Q,M為直線x=a上的點(diǎn).若MP與⊙O相切,則MQ與雙曲線相切;反之,若MQ與雙曲線相切,則MP與⊙O相切.

共同性質(zhì)四

大輔助圓性質(zhì)4如圖4,已知橢圓b >0)和橢圓的大輔助圓⊙O:x2+y2=a2.P是⊙O上異于直徑A1A2端點(diǎn)的任意一個(gè)點(diǎn),連接A1P,A2P分別交x軸于點(diǎn)M,N,⊙O過點(diǎn)P的切線交x軸于點(diǎn)E,連B1M交橢圓于點(diǎn)Q.則

(1)|OM|·|ON|=a2,|EM|=|EN|;

(2)直線B2Q過點(diǎn)N;

(3)直線EQ與橢圓相切.

橢圓性質(zhì)4如圖4,已知橢圓和橢圓的大輔助圓⊙O:x2+y2=a2.Q是橢圓上異于短軸B1B2端點(diǎn)的任意一個(gè)點(diǎn),連接B1Q,B2Q分別交x軸于點(diǎn)M,N,橢圓過點(diǎn)Q的切線交x軸于點(diǎn)E,連A1M交⊙O于點(diǎn)P.則

(1)|OM|·|ON|=a2,|EM|=|EN|;

(2)直線A2P過點(diǎn)N;

(3)直線EP與⊙O相切.

證明大輔助圓性質(zhì)4

(1)設(shè)P(acosθ,asinθ),直線A1P的方程為令y=0,得所以直線A2P的方程為令y=0,得所以

⊙O過點(diǎn)P的切線方程為acosθ·x+asinθ·y=a2,令y=0,得因?yàn)樗詜EM|=|EN|.

(2)直線B1M的方程為與橢圓方程聯(lián)立消去y,得0,解得代入B1M的方程得,y=bsinθ,所以Q(acosθ,bsinθ).直線B2Q的方程為所以直線B2Q過點(diǎn)N.

(3)因?yàn)闄E圓在點(diǎn)Q(acosθ,bsinθ)的切線方程為將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入方程左邊,得所以切線過點(diǎn)E,即直線EQ與橢圓相切.

改用普通方程證明也很簡單.

橢圓性質(zhì)4 可仿上述方法證明.(略)

共同性質(zhì)四對(duì)橢圓與其小輔助圓也成立.

小輔助圓性質(zhì)如圖4(1),已知橢圓b >0)和橢圓小輔助圓⊙O:x2+y2=b2.P是⊙O上異于直徑A1A2端點(diǎn)的任意一個(gè)點(diǎn),連接A1P,A2P分別交x軸于點(diǎn)M,N,⊙O過點(diǎn)P的切線交x軸于點(diǎn)E,連B1M交橢圓于點(diǎn)Q.則

(1)|OM|·|ON|=b2,|EM|=|EN|;

(2)直線B2Q過點(diǎn)N;

(3)直線EQ與橢圓相切.

橢圓性質(zhì)如圖4,已知橢圓和橢圓的小輔助圓⊙O:x2+y2=b2.Q是橢圓上異于長軸B1B2端點(diǎn)的任意一個(gè)點(diǎn),連接B1Q,B2Q分別交x軸于點(diǎn)M,N,橢圓過點(diǎn)Q的切線交x軸于點(diǎn)E,連A1M交⊙O于點(diǎn)P.則

(1)|OM|·|ON|=b2,|EM|=|EN|;

(2)直線A2P過點(diǎn)N;

(3)直線EP與⊙O相切.

綜合橢圓與其輔助圓的共同性質(zhì),可設(shè)計(jì)如下一組題目.

題目1 過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓的大輔助圓⊙O:x2+y2=a2于P,Q兩點(diǎn)(P,Q異于橢圓長軸的左、右端點(diǎn)A,B),以P,Q為切點(diǎn)的⊙O的兩切線的交點(diǎn)為M.

(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程;(軌跡為右準(zhǔn)線)

(2)N是C上任意一點(diǎn),過點(diǎn)N作橢圓的切線ND,NG,D,G為切點(diǎn).求證直線DG過橢圓右焦點(diǎn)F.

題目2 過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于D,G兩點(diǎn),交大輔助圓⊙O:x2+y2=a2于P,Q兩點(diǎn)(D,G,P,Q異于橢圓長軸的左、右端點(diǎn)A,B),直線AD,BG交于點(diǎn)M,直線AP,BQ交于點(diǎn)N.求證:直線MN⊥x軸.(點(diǎn)M,N均在右準(zhǔn)線上)

題目3如圖5,已知AB為橢圓0)的大輔助圓⊙O:x2+y2=a2的直徑,F′,F為橢圓的左右焦點(diǎn),直線AF,BF分別交⊙O于另外一點(diǎn)G,E,過F作AB的平行線分別交直線AE,BG于點(diǎn)P,Q.

求證:

(1)點(diǎn)P,Q在橢圓上;

(2)直線AE,BG均與橢圓相切,且切點(diǎn)分別為P,Q;

(3)直線AE與直線BG的交點(diǎn)M在橢圓的右準(zhǔn)線上,且FM⊥PQ.