充分發(fā)揮課本試題的內(nèi)在功效

陜西省西安市高新第三中學(xué)(710075) 呂二動(dòng)

北師大版數(shù)學(xué)必修五中有這樣一道典型的例題(下文稱作結(jié)論1):

結(jié)論 1如圖 1,在?ABC中,則?ABC的面積.

圖1

證明

一、公式應(yīng)用

例1(2015年高考上海卷)已知橢圓x2+2y2=1,過原點(diǎn)的兩條直線l1和l2分別于橢圓交于A、B和C、D,設(shè)?AOC的面積為S.

(1)設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2),用A、C的坐標(biāo)表示點(diǎn)C到直線l1的距離,并證明;

(2)設(shè)l1:,求k的值;

(3)設(shè)l1與l2的斜率之積為m,求m的值,使得無論l1與l2如何變動(dòng),面積S保持不變.

解析(1)略.(2)由由(1)得

(3)設(shè)l1:y=kx,則設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2),由同理由(1)知,

對(duì)任意的實(shí)數(shù)k,S為定值,則,解得所以所以.

二、結(jié)論推廣及其應(yīng)用

結(jié)論2凸四邊形ABCD的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),則四邊形的面積.

證明如圖2,設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為F,且夾角為θ,則

圖2

過點(diǎn)C作BD的平行線,截取CE,使CE=BD,連結(jié)AE,DE,則

若直線AC,BD的斜率均存在,不妨設(shè)斜率分別為kAC,kBD,則

例2(2016年高考全國I 卷)設(shè)圓x2+y2+2x?15=0的圓心為A,直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.

(1)證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程;

(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

解析(1)因?yàn)閨AD|=|AC|,EB//AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC,所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+y2=16,從而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.由題設(shè)得A(?1,0),B(1,0),|AB|=2,由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為:.

(2)如圖3,當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)l的方程為y=k(x?1)(0),則直線PQ:設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4).由得(4k2+3)x2?8k2x+4k2?12=0.則所以由得(k2+1)x2+2(k2?1)x+1?15k2=0.則所以故四邊形MPNQ的面積

圖3

綜上,四邊形MPNQ面積的取值范圍為.

結(jié)論3空間不共面四點(diǎn)A,B,C,D,其四點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),D(x4,y4,z4),則四面體的體積

注證明可仿照空間求四面體的體積的方法,具體過程留給有興趣的讀者!

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