恒成立問題中參數(shù)范圍的求解策略

廣東實驗中學(xué)(510055) 謝錦輝

高中數(shù)學(xué)中,求某一個參數(shù)的取值范圍是很常見的一種題型.這類問題涉及知識點多,可考查的數(shù)學(xué)思想方法豐富,能很好地體現(xiàn)“在知識交匯處命題,以能力立意”的高考宗旨.

常見解題方法有三個:

1.帶參直接處理.此種辦法入手容易,但通常需要伴隨著分類討論,對學(xué)生分析能力是考驗.

2.分離參數(shù).將參數(shù)與主元分離,轉(zhuǎn)化為研究一個不帶參數(shù)的函數(shù)的最值問題或函數(shù)的范圍問題.此方法主要問題在于分離后的函數(shù)形式比較復(fù)雜,通常會利用洛必達(dá)法則求函數(shù)極限值.

3.利用邏輯推理,縮小范圍后求解.利用邏輯推理,縮小參數(shù)范圍,將求參數(shù)范圍的問題,轉(zhuǎn)換為函數(shù)不等式的證明問題.

(1)先利用充分條件找參數(shù)范圍,再證明參數(shù)范圍的必要性.通常,充分條件通過選擇理想狀態(tài)得到.

(2)先利用必要條件找參數(shù)范圍,再證明參數(shù)范圍的充分性.通常,必要條件通過利用特殊取值得到.

(3)先猜再證.先利用樸素的想法得到參數(shù)的范圍,然后證明.通常,樸素的想法包含數(shù)形結(jié)合、放縮法等.

4.利用不等式放縮求解

一、典例分析

例1已知函數(shù)f(x)=ex+1+ax2+2ax在(?1,+∞)上單調(diào)遞增,求a的取值的范圍.

解由題知,f′(x)=ex+1+2ax+2a≥0 在(?1,+∞)恒成立.記g(x)=ex+1+2ax+2a.

思路1將g(x)視為一個函數(shù),通常恒成立問題會轉(zhuǎn)換為最值問題.對此題而言,g(x)≥0?g(x)min≥0.轉(zhuǎn)而尋找g(x)的單調(diào)性.因為g(x)中含有參數(shù)a,討論單調(diào)性時不可避免的需要進(jìn)行分類討論.

解1因為g′(x)=ex+1+2a,從而

綜上,由(1)(2)得,a的取值范圍為.

思路2對大部分高中生而言,分類討論是難點,很容易分類混亂.參變分離是避免討論的重要手段,不過難點在于分離后的新函數(shù)會稍顯復(fù)雜.

解2對?x∈(?1,+∞)恒成立.記,易知r(x)在(?1,0)單調(diào)遞增,(0,+∞)單調(diào)遞減.所以2a≥r(x)max=r(0)=?e,所以,故a的取值范圍為.

思路3我們也可以利用邏輯推論出a的范圍,然后證明之.這樣既避免分類討論也可以避免復(fù)雜的新函數(shù).

解3由題知,取x=0,則,(a的必要條件)再證對任意恒成立.(?1,+∞),

記t(x)=ex?ex,t′(x)=ex?e,故t(x)在(0,1)單調(diào)遞減,(1,+∞)單調(diào)遞增.所以t(x)≥t(1)=0,所以

綜上,a的取值范圍為.

思路4從思路3 來看,我們自然有一個疑問:為什么取特殊值x=0? 偶然還是必然? 因此為了弄清楚這個問題,我們可以考慮用切線放縮來處理.注意到

將上述不等式視為函數(shù)y=ex+1圖像在y=2a(x+1)的上方或相切,其中y=2a(x+1)恒過點(?1,0)的直線,?2a為直線的斜率.其臨界狀態(tài)為直線恒過(?1,0)且與y=ex+1的圖像相切.

設(shè)過(?1,0)的直線與y=ex+1相切的切點為(x0,y0),則切線方程為y=ex0+1(x?x0)+ex0+1,因為(?1,0)在切線上,有方程:ex0+1(?1?x0)+ex0+1=0,故x0=0.

當(dāng)x0=0 時,直線的斜率為e,此時當(dāng)a變大時,直線斜率變小,此時直線永遠(yuǎn)在y=ex+1圖像下方.所以可以看出取x=0,是必然的.由此可知對于解法3 而言,特殊值的選取是有講究的,貿(mào)然取特殊值有較大的風(fēng)險.

解4(1)先證明當(dāng)時,g(x)≥0.(詳細(xì)證明可見解3)(2)再證明,當(dāng)時,g(x)≥0 不恒成立.取點x=0,則g(x)=e+2a<0,與題設(shè)矛盾.

綜上,a的取值范圍為.

思路5利用不等式放縮得到參數(shù)范圍.此種辦法,選擇恰當(dāng)?shù)牟坏仁绞且粋€難點.此種方法類似于基本不等式求最值,關(guān)鍵核心在于“定值”.通過定值的確定,選擇不等式.

解5,由解3 可知,當(dāng)且僅當(dāng)x=0 時等號成立.故a的取值范圍為.

二、策略分析與選擇

從上述例題的5 中解法,不難發(fā)現(xiàn),5 種思路各有側(cè)重.

基本策略操作流程主要適用題型難點分類討論分析參數(shù)對函數(shù)相應(yīng)性質(zhì)的影響,然后劃分情況進(jìn)行相應(yīng)分析導(dǎo)函數(shù)轉(zhuǎn)為二次函數(shù)形式如何分類參變分類把參數(shù)和自變量進(jìn)行分離,分離到等式或不等式的兩邊,把含參問題轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的最值、單調(diào)性、零點等問題可參變分離,且新函數(shù)易處理新函數(shù)的處理邏輯證明通過充分性找范圍,再證必要性通過理想狀態(tài),找到參數(shù)范圍:a∈I,再證明當(dāng)a /∈I 時,原不等式不成立.端點效應(yīng)通過必要性找范圍,再證充分性通過特殊狀態(tài),找到參數(shù)范圍:a∈I,再證明當(dāng)a∈I 時,原不等式成立.端點效應(yīng)特殊點的選取先猜再證通過數(shù)形結(jié)合、切線放縮等方法,得到臨界值,再利用運(yùn)動的思想,得到范圍,最后證明.參數(shù)具有幾何特征,易判斷運(yùn)動趨勢臨界狀態(tài)不等式利用不等式找最值通過構(gòu)造“定值”選擇不等式(ex ≥1+x,lnx ≥x?1,ex ≥ex)可分離構(gòu)造定值

三、策略運(yùn)用

例2已知x∈[1,2],m(x+1)2?1?2 lnx≤0,求m的范圍.

分析記r(x)=m(x+1)2?1?2 lnx,很明顯r′(x)可以轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù),因此我們可以考慮分類討論的辦法.

解記r(x)=m(x+1)2?1?2 lnx,則

令t(x)=2mx2+2mx?1.則有

(1)m≤0 時,t(x)=2mx2+2mx?1 ≤0,r′(x)≥0,r(x)單調(diào)增,r(x)≤0?r(2)≤0,可知m≤0.

(2)m >0 時,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知,存在唯一,滿足x∈(0,x0),r(x)單調(diào)減;x∈(x0,+∞),r(x)單調(diào)增.

例3已知恒成立,求實數(shù)a的范圍.

分析很明顯本題是具有端點效應(yīng)的題目.由于具有端點效應(yīng),要使不等式成立,則此時a≤1.

下面證明a≤1 是充要條件即可.

解(1)當(dāng)a≤1 時,易證sinx(過程略).

(2)當(dāng)a >1 時,記易得r′(x)在[0,1]單調(diào)減,r′(0)=a?1>0,故存在t,使得x∈(0,t),r′(x)>0,則r(x)>r(0)=0,與題設(shè)矛盾.

綜上,a≤1.

例4若x2ex?1 ≥a(2 lnx+x),求實數(shù)a的范圍.

分析本題直接構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo),不可避免需要討論.考慮到指對冪同在,關(guān)注到ln(x2ex)=2 lnx+x,因此我們可以通過同構(gòu)的手法簡化代數(shù)式,然后利用不等式求解.

解記t=x2ex(t >0),則x2ex?1 ≥a(2 lnx+x)?t?1 ≥alnt,注意到lnt≤t?1(t=1 時等號成立),我們可以利用不等式求參.當(dāng)t∈(0,1)時,時,時,a∈R;由不等式lnt ≤t?1,可知t∈(0,1)時,所以a=1.

四、反思

由上述闡述可知,求參數(shù)范圍的策略多樣,法無定法.但是我們也應(yīng)該認(rèn)識到,不同方法的差異在于對條件結(jié)論的認(rèn)知區(qū)別,方法的選擇依賴于對條件結(jié)論的判斷.我們在學(xué)習(xí)和做題的時候,從多個角度審視題目,做好底層知識儲備,整理方法與相應(yīng)條件結(jié)論特征,做到心中有數(shù),在解題時方能按圖索驥,收放自如.