橢圓焦焦弦三角形的幾個(gè)性質(zhì)

山東省泰安市寧陽(yáng)縣第一中學(xué)(271400) 劉才華

定義1在橢圓內(nèi)接三角形中,焦點(diǎn)弦與另一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形,我們稱這個(gè)三角形叫作橢圓的焦焦弦三角形.

定義2過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)且與過(guò)焦點(diǎn)的軸垂直的弦叫作圓錐曲線的通徑.

我們約定橢圓的焦點(diǎn)都在x軸上,半焦距為c,離心率為e.

對(duì)于橢圓中的焦點(diǎn)弦三角形,通過(guò)觀察探究,我們得到一些有趣的結(jié)論.

對(duì)于焦焦弦三角形的周長(zhǎng),有如下熟悉的

命題1如圖1,在橢圓中,點(diǎn)N,M為橢圓的左,右焦點(diǎn),AB為過(guò)點(diǎn)N的焦點(diǎn)弦(不同于長(zhǎng)軸),則?ABM的周長(zhǎng)為4a.

圖1

利用橢圓定義容易給出命題1 的證明,過(guò)程從略.

對(duì)于焦焦弦三角形的面積,在文[1]中,有如下

命題2如圖1,在橢圓中,點(diǎn)N,M為橢圓的左,右焦點(diǎn),AB為過(guò)點(diǎn)N傾斜角為α的焦點(diǎn)弦(不同于長(zhǎng)軸),橢圓的離心率為e,S?ABM=S,則:

對(duì)于焦焦弦三角形中?ABM,?ANM,?BNM的內(nèi)切圓半徑間的關(guān)系,我們得到如下

命題3如圖1,點(diǎn)N,M是橢圓的左,右焦點(diǎn),AB為過(guò)點(diǎn)N的焦點(diǎn)弦(不同于長(zhǎng)軸),記?ABM,?ANM,?BNM的內(nèi)切圓半徑分別為r,r1,r2,則.

證明設(shè)橢圓的焦距為2c,由橢圓定義易知|AB|+|BM|+|MA|=4a,|AN|+|NM|+|MA|=2a+2c,|BN|+|NM|+|MB|=2a+2c.由|NM|+|MA|)r1=(a+c)r1和|NM|+|MB|)r2=(a+c)r2得S?ABM=(a+c)(r1+r2).又所以(a+c)(r1+r2)=2ar,從而.

對(duì)于焦焦弦三角形中?ABM,?ANM,?BNM的外接圓半徑間的關(guān)系,我們得到如下

命題4如圖1,點(diǎn)N,M是橢圓的左,右焦點(diǎn),AB為過(guò)點(diǎn)N的焦點(diǎn)弦(不同于長(zhǎng)軸),記?ABM,?ANM,?BNM的外接圓半徑分別為R,R1,R2,e為橢圓的離心率,則.

證明設(shè)∠MAN=θ,∠MBN=φ,則|MN|=2R1sinθ=2R2sinφ=2c,|BM|=2Rsinθ,|AM|=2Rsinφ,從而.

設(shè)∠ANM=α,|AN|=x,則|AM|=2a?x.由余弦定理得(2a?x)2=x2+4c2?4cxcosα,整理得.由A,N,B三點(diǎn)共線得于是|AB|=,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.進(jìn)而則,故.

對(duì)于焦焦弦三角形中三邊所在直線的斜率,我們得到如下

命題5如圖1,在橢圓中,點(diǎn)N,M為橢圓的左,右焦點(diǎn),AB為過(guò)點(diǎn)N的焦點(diǎn)弦(不同于長(zhǎng)軸),記kAB=k,kAM=k1,kBM=k2,橢圓的離心率為e,則.

證明由題意得N(?c,0),M(c,0).設(shè)直線AB的方程x=my?c,交橢圓于A(x1,y1),B(x2,y2),由得則.于是

對(duì)于焦焦弦三角形中焦點(diǎn)相對(duì)于焦點(diǎn)弦的視角,有如下:

命題6如圖1,在橢圓中,點(diǎn)N,M為橢圓的左,右焦點(diǎn),AB為過(guò)點(diǎn)N的焦點(diǎn)弦(不同于長(zhǎng)軸),記∠AMB=θ,則當(dāng)直線AB與x軸垂直(即線段AB為橢圓的通徑)時(shí),θ取最小值.

證明由題意得N(?c,0),M(c,0).設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程x=my?c,與橢圓方程聯(lián)立得(b2m2+a2)y2?2b2cmy?b4=0,則y1+y2=,

由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得|MA|=a?e x1,|MB|=a?e x2,

要證明當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí),θ取最小值,只需證明∠AMB≥∠PMQ

故當(dāng)直線AB與x軸垂直(即線段AB為橢圓的通徑)時(shí),θ取最小值.