高考評(píng)價(jià)體系下新題型的特征分析與試題評(píng)析

陜西省漢中市龍崗學(xué)校(723102) 巨小鵬

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》要求:“運(yùn)用開(kāi)放性、創(chuàng)新性的思維方式應(yīng)對(duì)問(wèn)題情境,組織相關(guān)的知識(shí)與能力,注重獨(dú)立性、批判性、發(fā)散性的思考.創(chuàng)造性要求創(chuàng)設(shè)合理情境,設(shè)置新穎的試題呈現(xiàn)方式和設(shè)問(wèn)方式,要求對(duì)即將進(jìn)入高等學(xué)校的學(xué)習(xí)者在新穎或陌生的情境中主動(dòng)思考,完成開(kāi)放性或探究性的任務(wù),發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、找到新規(guī)律、得出新結(jié)論的水平進(jìn)行測(cè)量與評(píng)價(jià)”.教育部考試中心在2022年命題趨勢(shì)與導(dǎo)向中提出要增大探究性、擴(kuò)大開(kāi)放性和體現(xiàn)創(chuàng)新性,注重共性與個(gè)性考查.

創(chuàng)新題型在近幾年慢慢浮出水面,其苗頭早就有所顯現(xiàn),比如2019年北京卷第12 題關(guān)于立體幾何的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題考查,2020年山東和北京均出現(xiàn)結(jié)構(gòu)不良題,2021年也相繼出現(xiàn).2014年和2018年出現(xiàn)同構(gòu)思想解題,近幾年函數(shù)同構(gòu)和切線同構(gòu)等經(jīng)典試題的出現(xiàn),將此類題型推向了高潮,直至成為熱點(diǎn).與此同時(shí),某些新題型也正在萌生趨于成熟,比如新定義問(wèn)題、交會(huì)型試題、雙填多選題型和考查學(xué)生關(guān)鍵能力的靈活題型新穎浪漫、高級(jí)靈動(dòng),體現(xiàn)數(shù)學(xué)探索的創(chuàng)新美,讓人覽后回味無(wú)窮.文中以近幾年高考真題為例,從結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題、開(kāi)放性問(wèn)題、新定義問(wèn)題、雙填多選題和考查學(xué)生關(guān)鍵能力的靈活題型等五個(gè)方面的新題型做了舉例評(píng)析,從梳理中尋找熟悉感、尋找新題型的新思路新方法以及在新題型中尋找回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)的歸路.

一、新題型統(tǒng)計(jì)及特點(diǎn)分析

1.近四年新題型統(tǒng)計(jì)

表1 2019——2022年新題型特點(diǎn)統(tǒng)計(jì)

2.新題型考查分析

以上統(tǒng)計(jì)以數(shù)學(xué)理科卷為主:

(1)結(jié)構(gòu)不良和開(kāi)放性問(wèn)題往年考查過(guò)函數(shù)、數(shù)列、解三角形和立體幾何等知識(shí)點(diǎn).

(2)可以看出新定義問(wèn)題出現(xiàn)在北京江蘇等考卷中比較多,全國(guó)卷中只有2021年乙卷第19 題和2020年全國(guó)II 卷第12 題,這一類新題型也是考查學(xué)生能力的重要途徑,讓學(xué)生在新的情境中,理解題意、類比理解分析題意并解決問(wèn)題.

(3)雙填空題早在2011年北京卷、湖北卷和湖南卷上出現(xiàn)雙填空題,直到2019年在全國(guó)卷上才會(huì)出現(xiàn),直至成為常態(tài).多選題在新高考中注定也是常態(tài).

(4)交會(huì)型問(wèn)題在高考卷中比較常見(jiàn),導(dǎo)數(shù)與冪指對(duì)函數(shù)融合考查比較多,近幾年三角函數(shù)也加入了進(jìn)來(lái),特別是2018年全國(guó)I 卷第16 題,考查靈活,富有創(chuàng)新,讓人眼前一亮;同構(gòu)法比較早出現(xiàn)在2014年全國(guó)新課標(biāo)Ι 卷理科第21題,然后是2018年全國(guó)新課標(biāo)Ι 卷文科第21 題,2022年全國(guó)甲卷和新高考Ι 卷;2021年乙卷理科第12 題可謂清新脫俗,2022年甲卷和全國(guó)Ι 卷繼續(xù)對(duì)此類型進(jìn)行了考查,構(gòu)造函數(shù)思想也是極其重要的解題方法,在新題型中將會(huì)發(fā)揮其“構(gòu)新函數(shù)造新思路考查函數(shù)性質(zhì)”的作用.

二、新題型經(jīng)典真題賞析

1.結(jié)構(gòu)不良是真“良”

新建構(gòu)主義認(rèn)為,結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題有助于發(fā)展學(xué)生的思維、遷移和創(chuàng)新能力,有如下特點(diǎn):(1)給定條件不完全;(2)解決方案的目標(biāo)不確定;(3)不明確哪些概念、規(guī)則、原理對(duì)解決問(wèn)題有用;(4)常常沒(méi)有確定、唯一的答案;(5)往往和具體情境相聯(lián)系或與多個(gè)知識(shí)領(lǐng)域相聯(lián)系的交會(huì)型題型[2].高考評(píng)價(jià)體系里四翼考查要求中的“創(chuàng)新性”試題強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維,強(qiáng)調(diào)知識(shí)的靈活運(yùn)用,要求通過(guò)命制開(kāi)放性試題、結(jié)構(gòu)不良試題,發(fā)揮選拔功能.新時(shí)期高考內(nèi)容改革的重要特征就是從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向的轉(zhuǎn)變,素養(yǎng)導(dǎo)向的題目特點(diǎn)是不追求題目結(jié)構(gòu)完整,而是更清晰、準(zhǔn)確地考查學(xué)生的智力水平、思考深度、思維習(xí)慣和科學(xué)態(tài)度[3].結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題考查學(xué)生思維的關(guān)鍵能力,逆向思維能力和發(fā)散思維能力,在來(lái)屆高考中將會(huì)成為熱點(diǎn).往屆考查過(guò)函數(shù)、數(shù)列、解三角形和立體幾何問(wèn)題,有時(shí)需要逆向思維,合理假設(shè),然后進(jìn)行驗(yàn)證,最終還是回歸一個(gè)完整的邏輯推理過(guò)程;有時(shí)需要借助圖形、表格和立體幾何體等工具加以輔助,將結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題轉(zhuǎn)化至良好狀態(tài)分析問(wèn)題,解決問(wèn)題;有時(shí)需要按照不同的方案進(jìn)行預(yù)設(shè),哪種方法更加便捷,需要具備數(shù)學(xué)感知能力和分析能力.

例1(2021年甲卷理第18 題)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),記Sn為{an}的前n項(xiàng)和,從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件,證明另外一個(gè)成立.①數(shù)列{an}是等差數(shù)列:②數(shù)列是等差數(shù)列;③a2=3a1.注:若選擇不同的組合分別解答,則按第一個(gè)解答計(jì)分.

解析選①②為條件證明③:

解法1設(shè)則Sn=(an+b)2,當(dāng)n=1 時(shí),a1=S1=(a+b)2;當(dāng)n≥2 時(shí),an=Sn?Sn?1=a(2an?a+2b);因?yàn)閧an}也是等差數(shù)列,所以(a+b)2=a(2a?a+2b),解得b=0;所以an=a2(2n?1),a1=a2,即a2=3a2=3a1.

解法2設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等差數(shù)列的公差為d1,則與聯(lián)立得所以a2=3a1.

選①③為條件證明②:因?yàn)閍2=3a1,{an}是等差數(shù)列,所以公差d=a2?a1=2a1,所以Sn=na1+即因?yàn)樗允堑炔顢?shù)列.

選②③為條件證明①:解法1根據(jù)設(shè)b(a >0),則Sn=(an+b)2,當(dāng)n=1 時(shí),a1=(a+b)2;當(dāng)n≥2 時(shí),an=a(2an?a+2b);因?yàn)閍2=3a1,所以a(3a+2b)=3(a+b)2,得b=0 或;當(dāng)b=0 時(shí),符合題意即{an}為等差數(shù)列;當(dāng)時(shí),不合題意,舍去.綜上所述{an}為等差數(shù)列.

解法2因?yàn)閍2=3a1,所以因?yàn)橐矠榈炔顢?shù)列,所以公差所以故Sn=n2a1,當(dāng)n≥2 時(shí),an=(2n?1)a1,當(dāng)n=1 時(shí),滿足上式,故{an}的通項(xiàng)公式為an=(2n?1)a1,所以an?1=(2n?3)a1,an?an?1=2a1,符合題意.

評(píng)析本題破解的關(guān)鍵是先確定已知條件和需要證明的結(jié)論,逐步推演,選①②為條件時(shí),解法一的思路是根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù),可以設(shè)出兩邊平方后得到Sn的關(guān)系式,利用公式得到an的通項(xiàng)公式,從而得到a2=3a1;解法二的思路是分別設(shè)出{an}與{Sn}的公差,寫出各自的通項(xiàng)公式后利用兩者的關(guān)系得到等量關(guān)系a2=3a1;選①③為條件時(shí),按照通法求出公差,表示出Sn及√由等差數(shù)列定義進(jìn)行證明;選②③為條件時(shí),解法一思路同選①②為條件時(shí)的解法一,結(jié)合an,Sn的關(guān)系求出an,根據(jù)a2=3a1可求b,然后可證{an}是等差數(shù)列;解法二的思路是利用是等差數(shù)列即前兩項(xiàng)的差求出公差,然后求Sn,利用an,Sn的關(guān)系求出an,進(jìn)而證明出結(jié)論.從以上可知,選①③要簡(jiǎn)單一些,方法也比較單一,比較常規(guī),所以三個(gè)條件從基本量運(yùn)算作為條件證明結(jié)論比較容易,在其它選擇中,利用定義和性質(zhì)特征解題是此類問(wèn)題解決的兩個(gè)角度.2020年山東卷第17 題也是屬于結(jié)構(gòu)不良試題,還加入了存在性探索問(wèn)題,在新題型中更是創(chuàng)新.

例2(2019年高考北京卷理科第11 題)已知l,m是平面α外的兩條不同直線.給出下列三個(gè)論斷:①l⊥m;②m//α;③l⊥α.以其中的兩個(gè)論斷作為條件,余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論,寫出一個(gè)正確的命題:____.

評(píng)析本題主要考查空間線面的位置關(guān)系、命題、邏輯推理能力及空間想象能力.將所給論斷,分別作為條件、結(jié)論加以分析.將所給論斷,分別作為條件、結(jié)論,得到如下三個(gè)命題:(1)如果l ⊥α,m//α,則l ⊥m.正確;(2)如果l ⊥α,l ⊥m,則m//α.正確;(3)如果l ⊥m,m//α,則l ⊥α.不正確,有可能l與α斜交、l//α.作為選擇題出現(xiàn),難度不大卻獨(dú)具新意.

2.開(kāi)放性問(wèn)題新思路

運(yùn)用開(kāi)放性、創(chuàng)新性的思維方式應(yīng)對(duì)問(wèn)題情境,組織相關(guān)的知識(shí)與能力,注重獨(dú)立性、批判性、發(fā)散性的思考.綜合運(yùn)用直覺(jué)的、頓悟的、靈感的、形象的、邏輯的方法,提出新視角、新觀點(diǎn)、新方法、新設(shè)想,創(chuàng)新性地解決生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索情境中的各種問(wèn)題[1].

例3(2021年高考北京卷第12 題)若點(diǎn)A(cosθ,sinθ)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)為寫出θ的一個(gè)取值為_(kāi)___.

例4(2021年新高考II 卷第14 題)寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x):____.

①f(x1x2)=f(x1)f(x2);②當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)>0;③f′(x)是奇函數(shù).

評(píng)析例3 中由題意可知,θ與關(guān)于y軸對(duì)稱,即可得則所以答案當(dāng)k∈Z 中任一整數(shù)即可.例4 中,可知f(x)=x2n(n∈N?),所以答案當(dāng)n∈N?中任一正整數(shù)即可.答案的開(kāi)放性,讓試題難度增加,但這兩個(gè)題本身也不難,形式新穎,很是驚喜.開(kāi)放性問(wèn)題難就難在開(kāi)放的度,把控好這個(gè)度,在實(shí)驗(yàn)的路上需要繼續(xù)探索新視角和新方法.

3.新定義讀懂“你”

思維認(rèn)知能力要求:經(jīng)過(guò)素質(zhì)教育的培養(yǎng),思維認(rèn)知能力強(qiáng)的學(xué)習(xí)者應(yīng)當(dāng)能夠獨(dú)立思考,通過(guò)自己的邏輯思辨,發(fā)表獨(dú)立的、有創(chuàng)造性的看法;能夠從多個(gè)視角觀察、思考同一個(gè)問(wèn)題;能夠靈活地、創(chuàng)造性地運(yùn)用不同方法,發(fā)散地、逆向地解決問(wèn)題能夠通過(guò)敏銳的洞察能力,發(fā)現(xiàn)復(fù)雜、新穎情境中的關(guān)鍵事實(shí)特征和有價(jià)值的新問(wèn)題;能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識(shí)遷移到新情境,解決新問(wèn)題,得出新結(jié)論,并且能夠科學(xué)地反思和驗(yàn)證自己的新結(jié)論,以確保新結(jié)論的可靠性[1].新定義就是一個(gè)問(wèn)題建構(gòu)的過(guò)程,在給出的規(guī)則中,發(fā)現(xiàn)和構(gòu)建問(wèn)題,建立和求解模型,檢驗(yàn)和完善模型,分析和解決問(wèn)題,首先要讀懂“題”,關(guān)鍵是解決問(wèn)題的能力,需要類比,聯(lián)想和創(chuàng)新意識(shí).

例5(2020年高考浙江卷第10 題)設(shè)集合S,T ?N?,S,T中至少有兩個(gè)元素,且S,T滿足:①對(duì)于任意x,y∈S,若,都有xy∈T;②對(duì)于任意x,y∈T,若x

A.若S有4 個(gè)元素,則S ∪T有7 個(gè)元素

B.若S有4 個(gè)元素,則S ∪T有6 個(gè)元素

C.若S有3 個(gè)元素,則S ∪T有5 個(gè)元素

D.若S有3 個(gè)元素,則S ∪T有4 個(gè)元素

評(píng)析分別給出具體的集合S和集合T,利用排除法排除錯(cuò)誤選項(xiàng),然后證明剩余選項(xiàng)的正確性即可.“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種,然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題,有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義,這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.但是,透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì),考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí),所以說(shuō)“新題”不一定是“難題”,掌握好基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法,以不變應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.

例6(2019年高考江蘇卷第20 題)定義首項(xiàng)為1 且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M?數(shù)列”.

(1)已知等比數(shù)列{an}滿足:a2a4=a5,a3?4a2+4a1=0,求證:數(shù)列{an}為“M?數(shù)列”;

(2)已知數(shù)列{bn}滿足:,其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;②設(shè)m為正整數(shù),若存在“M?數(shù)列”{cn},對(duì)任意正整數(shù)k,當(dāng)k≤m時(shí),都有ck≤bk≤ck+1成立,求m的最大值.

評(píng)析本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查邏輯推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)探究與解決問(wèn)題的綜合能力.(1)由題意分別求得數(shù)列的首項(xiàng)a1=1 和公比q=2,即可證得題中的結(jié)論;(2)①由題意利用遞推關(guān)系式討論可得數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,據(jù)此即可確定其通項(xiàng)公式bn=n;②由①確定bk的值,將原問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即可求得m的最大值為5.

4.雙填多選更相宜

雙填多選題打破了以往單填單選的固定分?jǐn)?shù)模式,將分?jǐn)?shù)細(xì)化,更加靈活地對(duì)學(xué)生的考查,考查方式適合時(shí)宜.高考評(píng)價(jià)體系也要求靈活考查,以考促學(xué),以考促進(jìn)教與學(xué)、學(xué)與考和考與教的完整性和科學(xué)性.

例7(2021年新高考I 卷第16 題)某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí),發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折,規(guī)格為20dm×12dm 的長(zhǎng)方形紙,對(duì)折1 次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm 兩種規(guī)格的圖形,它們的面積之和S1=240dm2,對(duì)折2 次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm 三種規(guī)格的圖形,它們的面積之和S2=180dm2,以此類推,則對(duì)折4 次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為_(kāi)___;如果對(duì)折n次,那么=____dm2.

評(píng)析(1)按對(duì)折列舉即可知對(duì)折4 次可得到如下規(guī)格:,共5 種不同規(guī)格;(2)根據(jù)規(guī)律可得,兩邊同乘以減法得,再根據(jù)錯(cuò)位相.

例8(2021 新高考I 卷第9 題)有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,··· ,xn,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1,y2,··· ,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,··· ,n),c為非零常數(shù),則( ).

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣數(shù)據(jù)的樣本極差相同

評(píng)析A、C 利用兩組數(shù)據(jù)的線性關(guān)系有E(y)=E(x)+c,D(y)=D(x),即可判斷正誤;根據(jù)中位數(shù)、極差的定義,結(jié)合已知線性關(guān)系可判斷B、D 的正誤.

5.思維靈動(dòng)且獨(dú)特

學(xué)科素養(yǎng)體系中要求學(xué)習(xí)掌握知識(shí)整合:根據(jù)應(yīng)對(duì)問(wèn)題情境的需要,合理地組織、調(diào)動(dòng)各種相關(guān)知識(shí)與能力,對(duì)獲得的學(xué)科知識(shí)和相關(guān)信息進(jìn)行概括整合,形成與生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索問(wèn)題情境對(duì)應(yīng)的產(chǎn)生式系統(tǒng),能夠?qū)⑿芦@得的知識(shí)納入已有知識(shí)結(jié)構(gòu)或知識(shí)體系,對(duì)原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理的調(diào)整[1].

思維靈動(dòng)試題入易出難,路多口小,小口切入,深入挖掘,小中見(jiàn)大,試題透過(guò)表面,從本質(zhì)去認(rèn)識(shí)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題,其思維極具穿透力,其中勢(shì)必考查到學(xué)生發(fā)散思維、逆向思維和批判性思維,考查到學(xué)生敏銳發(fā)現(xiàn)舊事物與新事物的聯(lián)系,捕捉新事物萌芽的能力,推測(cè)設(shè)想論證能力,探索新方向和新方法的思維等關(guān)鍵能力.

例9(2018年高考全國(guó)I 卷第16 題)已知函數(shù)f(x)=2 sinx+sin 2x,則f(x)的最小值是____.

評(píng)析首先對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)得f′(x)=4(cosx+1)可知函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.從而確定出函數(shù)的最小值點(diǎn),求得代入求得函數(shù)的最小值.該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)最小值問(wèn)題,在求解的過(guò)程中,破解問(wèn)題的關(guān)鍵是能想到利用導(dǎo)函數(shù)求最值,然后確定函數(shù)單調(diào)性,從而根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求出函數(shù)的最小值點(diǎn),求得函數(shù)的最小值.題目新穎,比較靈活,考查了基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握以及具有邏輯推理的關(guān)鍵能力.

例10(2021年高考乙卷理科第12 題)設(shè)a=2 ln 1.01,.則( ).

A.a

思路1根據(jù)對(duì)數(shù)性質(zhì),可知a >b.比較a和c:令則,

所以f(t)在(1,2)上單調(diào)遞增,則f(t)>f(1)=0,所以a>c.選B.

思路2分別構(gòu)造函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù)分析其在0 的右側(cè)包括0.01 的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性,結(jié)合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c,b與c的大小關(guān)系.

破解問(wèn)題的關(guān)鍵是想到構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)性質(zhì)解題.本題考查比較大小問(wèn)題,難度較大,關(guān)鍵難點(diǎn)是將各個(gè)值中的共同的量用變量替換,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而比較大小,經(jīng)典小題,考查了學(xué)生關(guān)鍵能力和綜合素養(yǎng).自此題后2022年全國(guó)甲卷和全國(guó)Ι 卷也考查了比較大小,利用構(gòu)造函數(shù),判斷函數(shù)的單調(diào)性從而解決問(wèn)題.

例11(2020年高考全國(guó)Ⅱ卷理科第21 題)已知函數(shù)f(x)=sin2xsin 2x.

(1)討論f(x)在區(qū)間(0,π)的單調(diào)性;

(3)設(shè)n∈N?,證明:

(1)思路1f(x)=sin2xsin 2x=2 sin3xcosx,則

思路2

思路3

令f′(x)=0 在x∈(0,π)上的根為:,當(dāng)時(shí),f′(x)>0,即f(x)遞增;當(dāng)時(shí)f′(x)<0,即f(x)遞減;當(dāng)時(shí)f′(x)>0,即f(x)遞增.

(2)解法1因?yàn)閒(x+π)=sin2(x+π)sin[2(x+π)]=sin2xsin 2x=f(x),所以函數(shù)f(x)是周期為π的函數(shù),由(1)的結(jié)論可得:f(0)=f(π)=0,,可得.

解法2

(3)結(jié)合(2)的結(jié)論有:

三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等綜合問(wèn)題,難點(diǎn)在于三角函數(shù)求導(dǎo)后依然是三角函數(shù),不同的函數(shù)進(jìn)行融合,利用導(dǎo)數(shù)的優(yōu)越性,三角函數(shù)的特殊性即周期性和有界性,將函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行了再次研究,題目會(huì)更加靈活多變,富有創(chuàng)新性和綜合性.[4]

例12(2020年新高考山東卷第21 題)已知f(x)=aex?1?lnx+lna.若f(x)≥1,求a的取值范圍.

解法1

等價(jià)于

令g(x)=ex+x,上述不等式等價(jià)于g(lna+x?1)≥g(lnx),可知g(x)為單調(diào)增函數(shù),上式又等價(jià)于lna+x?1 ≥lnx,即lna≥lnx?x+1,令h(x)=lnx?x+1,則,則函數(shù)h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,即h(x)max=h(1)=0,所以lna≥0,即a≥1.

解法2aex?1?lnx+lna≥1 等價(jià)于

令g(x)=xlnx(x >1).易知g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.上式等價(jià)于,則即在(0,+∞)上恒成立.令則所以h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以h(x)max=h(1)=1,即a的取值范圍是[1,+∞).[5]

此題還可以利用同構(gòu)放縮、分類討論和必要性探路解決,在此不再贅述.同構(gòu)思想本質(zhì)是化繁為簡(jiǎn)后對(duì)函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用,這也符合理解數(shù)學(xué)“大道至簡(jiǎn)”的解題模式,此法考查角度頗多,靈活多變,也會(huì)像極值點(diǎn)偏移法一樣成為熱門.

三、結(jié)束語(yǔ)

新題型從更高視角考查了學(xué)生構(gòu)建問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,對(duì)學(xué)生思維的系統(tǒng)性、深刻性、靈活性和創(chuàng)造性有了較高的要求,也是新時(shí)代人才選拔體系的必然要求,在《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的催生下,創(chuàng)新題型將會(huì)更加靈活并趨于成熟,也將會(huì)有更多的新題型呈現(xiàn)出來(lái),我們拭目以待.